கற்றலின் ந�ோககஙகள்:
இந்த அலகில் மோணவரகள் அறிநது ககோள்்ள இருப்பது • அலைவுறு இயக்கம் – சீரலைவு இயக்கம் மற் • தனிச்சீரிலை இயக்கம் • தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வலரபட விளக்கம் • க்கோணச் சீரிலை இயக்கம் • கேரக்கோட்டு சீரிலை அலையியற்றி – கிலடத்த • சுருள்வில்களின் சதோகுப்பு்கள்: சதோடரிலணப் • தனி ஊைல • ஆற்்றலுக்கோன க்கோலவ – நிலை ஆற்்றல, இ • அலைவு்களின் வல்க்கள் – ்கட்டற்்ற அலை
அலைவு்கள் மற்றும் திணிப்பு அதிரவு்கள் • ஒத்ததிரவின் ்கருத்து
்படம் 10.1 தஞைோவூர தலையோட்டி சபோம்லம
தஞைோவூர ேடனப் சபோம்லமலய [தஞைோவூர தலையோட்டிப் சபோம்லம] நீங்்கள் போரத்திருககிறீர்களோ? இது ஓர உை்கப் பு்கழசபற்்ற
அைகு
வாழ்க்கை என்பது குழப்பத்தின இரு நி்ை
அறிமுகம்
றும் சீரற்்ற அலைவு இயக்கம்
ள மற்றும் சைங்குத்து அலைவு்கள் பு மற்றும் பக்க இலணப்பு
யக்க ஆற்்றல மற்றும் சமோத்த ஆற்்றல வு்கள், தலடயுறு அலைவு்கள், நிலை நிறுத்தப்பட்ட
லைவு்கள் CILLATIONS)
கைளு்ககு இ்ையே நிகைழும் மாறா அ்ைவுகைளாகும்.. – H.L.சமன்ச்கன் (H.L.Menken)
தமிழ்கக ்கைோச்ைோரத்லதப் பிரதிபலிககும் சபோம்லமயோகும். இநத சபோம்லமலய ஆட்டிவிட்டோல நி்கழவது என்ன? சபோம்லமயின் தலை மற்றும் உடல சதோடரச்சியோ்க முன்னும் பின்னும் இயங்கி, பின்னர இயக்கம் படிப்படியோ்க குல்றநது நிற்கி்றது. இகத கபோல ேோம் ைோலையில ேடககும் சபோழுது, ேம்முலடய ல்க்களும், ்கோல்களும் முன்னும் பின்னும் இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் கபோது நி்கழும். தோய் தன் குழநலதலய தூங்்கலவப்பதற்்கோ்க சதோட்டிலை ஆட்டும்சபோழுது சதோட்டிைோனது முன்னும் பின்னும் இயக்கமலடயும். முன்னர (Volume 1) விவோதித்த இயக்கங்்களிலிருநது இவவல்கயோன அலனத்து இயக்கங்்களும் கவறுபட்டலவ. இநத இயக்கங்்கள் படம் 10.2 இல விளக்கமோ்கக ்கோட்டப்பட்டுள்ளன. இத்தல்கய இயக்கங்்கலள அலைவுறு இயக்கம் அலைது அதிரவுறு இயக்கம் என்று அலழககின்க்றோம். இம்மோதிரியோன இயக்கம் அணுக்களில கூட நி்கழகின்்றது.
ஒரு திடப்சபோருளின் சவப்பநிலை உயரும் சபோழுது அணுக்கள் அதனுலடய ேடுநிலை அலைது
ைமநிலைலயப் சபோருத்து அதிரவலடகி்றது. ்கட்டிடங்்களின் ்கட்டலமப்பு மற்றும் எநதிரவியல ்கருவி்கலள ஆகியவற்ல்ற வடிவலமத்தல கபோன்்ற சபோறியியல பயன்போடு்களில அதிரவு இயக்கம் பற்றிய ்கற்்றல மி்கவும் முககியத்துவத்லத சபறுகி்றது.
சீரலலவு மறறும் சீரற்ற அலலவு இயககம்
இயற்பியலில இயக்கமோனது, மீண்டும், மீண்டும் நி்கழும் இயக்கம் சீரலைவு இயக்கம், எனவும் மீண்டும், மீண்டும் நி்கழோத இயக்கம் சீரற்்ற அலைவு இயக்கம் எனவும் இருவல்கயோ்க வல்கப்படுத்தப்படுகி்றது . 1. சீரலலவு இயககம் (Periodic motion)
சீரோன ்கோை இலடசவளியில தோனோ்ககவ மீண்டும், மீண்டும் நி்கழும் எநத ஒரு இயக்கமும் சீரலைவு இயக்கம் எனப்படும். எடுத்துக்கோட்டு ஊைல ்கடி்கோரத்தில உள்ள முட்்கள், சதோட்டிலின் அலைவு்கள், சூரியலனச் சுற்றிவரும் புவியின் இயக்கம், வளரும் மற்றும் கதயும் ைநதிரன் மற்றும் சிை.
2. சீரற்ற அலலவு இயககம் (Non-Periodic motion) சீரோன ்கோை இலடசவளியில தோனோ்ககவ மீண்டும், மீண்டும் நி்கழோத எநத ஒரு இயக்கமும் சீரற்்ற அலைவு இயக்கம் எனப்படும். எடுத்துக்கோட்டு நிை ேடுக்க நி்கழவு, எரிமலை சவடிப்பு நி்கழவு கபோன்்றலவ.
எடுத்துககோட்டு 10 . 1 கீழக்கோணும் இயக்கங்்களில, சீரலைவு மற்றும் சீரற்்ற அலைவு இயக்கங்்கலள வல்கப்படுத்து்க.
்படம் 10.2 அலைவுறு அலைது அதிரவுறு இயக்கங்்கள்
(a) கேலியின் வோலமீன் (Halley’s comet) (b) கம்கங்்களின் இயக்கம் (c) புவிலயச் சுற்றிவரும் ைநதிரனின் இயக்கம்.
தீரவு (a) சீரலைவு இயக்கம் (b) சீரற்்ற அலைவு இயக்கம் (c) சீரலைவு இயக்கம்
எடுத்துககோட்டு 10 .2 கீழக்கண்ட ைோரபு்களில, எநத ைோரபு ்கோைத்லதப் சபோருத்து சீரலைவு மற்றும் சீரற்்ற அலைவு இயக்கத்லதக குறிககும்? (a) sin ωt + cos ωt (b) ln ωt
தீரவு (a) சீரலைவு இயக்கம் (b) சீரற்்ற அலைவு இயக்கம்
சிந்தலைககு புவியோனது சூரியலன சுற்றிவரும் இயக்கம் சீரற்்ற அலைவு இயக்கம் எனில நி்கழவது என்ன? - விவோதிக்க
அலலவுறு இயககம் (Oscillatory motion)
ஒரு சபோருள் அலைது து்களோனது குறிப்பிட்ட ்கோை இலடசவளியில மீண்டும் மீண்டும் முன்னும் பின்னும் இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளுமோனோல அவவியக்கம் அலைவுறு இயக்கம் (அலைது அதிரவியக்கம்) எனப்படும்.
எடுத்துக்கோட்டு்கள் ேமது இதயதுடிப்பு, பூச்சியின் சி்றகின் இயக்கம், தோத்தோவின் ்கடி்கோரம் (Grand father’s clock-ஊைல ்கடி்கோரம்) கபோன்்றலவ
அலனத்து அலைவுறு இயக்கமும் சீரலைவு இயக்கமோகும். ஆனோல அலனத்து சீரலைவு இயக்கங்்களும் அலைவுறு இயக்கமோ்கோது என்பலத ்கவனத்தில ச்கோள்ளவும். (படம் 10.3 ல ்கோட்டப்பட்டுள்ளது)
்தனிச்சீரிலை இயககம் (SHM)
தனிச்சீரிலை இயக்கம் அலைவுறு இயக்கத்தின் சி்றப்பு வல்கயோகும். இதில து்களின் முடுக்கம் அலைது விலையோனது நிலையோன புள்ளியிலிருநது அது அலடநத இடப்சபயரச்சிககு கேரத்த்கவிலும், எப்சபோழுதும் நிலையோன புள்ளிலய கேோககியும் இருககும் எனைோம்.
ஒருபரிமோண இயக்கத்தில x என்பது து்கள் அலடநத இடப்சபயரச்சி மற்றும் ax என்பது அத்து்களின் முடுக்கம் எனில,
ax ∝ x (10.1)
ax = − b x (10.2)
இங்கு b என்பது மோறிலி. இது முடுக்கம் மற்றும் ஓரைகு இடப்சபயரச்சிககிலடகயயோன த்கவினோல அளவிடப்படுகி்றது. இதன் பரிமோணம் T −2 ககுச் ைமம்.
்படம் 10.3 அலைவுறு அலைது அதிரவுறு இயக்கங்்கள்
ஒரு தனிச்சீரிலை இயக்கம் அலைவுறு இயக்கமோகும் ஆனோல அலனத்து அலைவுறு
இயக்கமும் தனிச்சீரிலை இயக்கமோ்க இருக்க கவண்டிய அவசியமிலலை. சிநதிக்க
குறிபபு
ைமன்போடு (10.2) ன் இருபு்றமும் து்களின் நில்ற m – ஆல சபருககி நியூட்டனின் இரண்டோவது விதிலயப்பயன்படுத்த, விலையோனது,
_F_x= − k x (10.3)
இங்கு k என்பது விலை மோறிலி ஆகும். இம்மோறிலி ஓரைகு நீளத்திற்்கோன விலை என வலரயறுக்கப்படுகி்றது. இடப்சபயரச்சியும், விலையும் (அலைது முடுக்கம்) ஒன்றுகச்கோன்று எதிரத்திலையில உள்ளலத எதிரககுறி ்கோட்டுகி்றது.
்படம் 10.4 தனிச்சீரிலை இயக்கம்
சம ைல
து்களின் இடப்சபயரச்சி ைமநிலை புள்ளியிலிருநது வைதுபு்றம் (x கேரககுறி மதிப்பு), கேோககி உள்ளகபோது விலையோனது (அலைது முடுக்கம்) ைமநிலைப்புள்ளிலய கேோககிகய (இடதுபு்றம் கேோககி) இருககும். இகதகபோல து்களின் இடப்சபயரச்சியோனது ைமநிலைப் புள்ளியிலிருநது இடதுபு்றம் கேோககி உள்ளகபோது (x எதிரககுறி மதிப்பு), விலையோனது (அலைது முடுக்கம்) ைமநிலைப்புள்ளிலய கேோககிகய (வைதுபு்றம் கேோககி) இருககும். இவவல்கயோன விலையோனது மீள் விலை எனப்படும். ஏசனனில தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் து்கலள, மீள்விலையோனது எப்சபோழுதும் சதோடக்க நிலைகக்க (ைமநிலை அலைது ேடுநிலை) ச்கோண்டு வரும். இவவிலையோனது ஒருலமயவிலை ஆகும். இது ைமநிலைப்புள்ளிலய கேோககி சையலபடும் லமய ்கவரச்சி விலையோகும்.
இருபரிமோணம் மற்றும் முப்பரிமோணத்தில இதலன ேோம் சவகடர குறியீட்டில எழுதைோம்.
_F k r_ (10.4)
இ ங் கு _r எ ன் ப து எ டு த் து க ச ்க ோ ண் ட ஆதிப்புள்ளியிலிருநது து்களின் இடப்சபயரச்சியோகும். விலையும், இடப்சபயரச்சியும் கேரவிகிதத் சதோடரபு ச்கோண்டது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. அதோவது விலையின் அடுககும், இடப்சபயரச்சியின் அடுககும் ஒன்றுகச்கோன்றுச் ைமம்._
்படம் 10.6 வட்டப்போலதயின் இயங்கும் து்களின் விட்ட
y = + A
y = 0
y = A
A A
-y
+y
+y
(A) (B)
at t
-y
θ θ
ைர ழ
ெதாைல உள ஒ ல வ ஒ
படம் 10.5 இல ்கோட்டியவோறு சையல (விலையின் எண்மதிப்பு |
F |) மற்றும் விலளவு (இடப்சபயரச்சியின் எண் மதிப்பு | _r |) இவற்றிற்கு இலடகயயோன சதோடரலப வலரபடத்தில குறித்தோல, இரண்டோம் மற்றும் ேோன்்கோம் ்கோலபகுதி்கள் வழிகய சைலலும் கேரக்கோடோ்க அலமயும். அகக்கோட்டின் ைரிவு 1_
k
லய அளநது, விலைமோறிலி 1 k
–இன் எண்மதிப்லப ்கண்டறியைோம்.
ச = xx F
F
1 k
1 ச
=
k =
்படம் 10.5 விலை மற்றும் இடப்சபயரச்சி வலரபடம்
சீரோை வட்ட இயககத்தின் விட்டத்தின் மீ்தோை வீழல் ஒரு ்தனிச்சீரிலை இயககம்
m நில்ற ச்கோண்ட து்கள் ஒன்று v என்்ற சீரோன திலைகவ்கத்தில r ஆரம் ச்கோண்ட வட்டத்தின் பரிதி வழிகய இடஞசுழித்திலையில இயங்குவதோ்கக ்கருதுகவோம். (படம் 10.6 – ல ்கோட்டியுள்ளவோறு) ஆய
த்தின் மீதோன வீழச்சி
> 0
at t= 0
y = A sinθ =A sin t
A sin (
t)
ழ
ைர
y
y = r sin θ
x = r cos θ
r
x
| k = ச 1F |
|---|
| HடÝ 10.5 லை மä²Ý இடÜசபயரÖz வலரபடÝ |
| ழ+y y = + A Aθ at t > 0 ழெதாைல உள ஒ லவ ஒ Aθ y = 0y = A y = =Aat A sint=sinθ 0t A sin (t)-y -y | r y = r sin | θ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| x = r cos θ | x | ||||
| HடÝ 10.6 வØடÜபோலதå இயÕ¤Ý «>å ØடÚå தோன ழÖzைர |
அச்சு அலமப்பின் ஆதிப்புள்ளியோனது வட்டத்தின் லமயம் O வுடன் சபோருநதுவதோ்கக ச்கோள்்க. து்களின் க்கோணத்திலைகவ்கம் ω எனவும் ஒரு குறிப்பிட்ட கேரம் t இல அத்து்களின் க்கோண இடப்சபயரச்சி θ எனவும் ச்கோண்டோல
θ = ωt
்படம் 10.7 ்கோைத்லதப் சபோருத்து சைங்குத்து அச்சின் மீ
P7 P7
o
P3
P3
o
P1 P1
o
P5P5 o
P4
P6
y- அ
y- அ
y- அ
y- அ
x- அ
x- அ
x- அ
x- அ
P7
o
P3
o
P1 o
P5 o
y- அ
y- அ
y- அ
y- அ
x- அ
x- அ
x- அ
x- அ
சீரோன வட்ட இயக்கத்தில இருககும் ஒரு து்களின் நிலைலய (position), அநத வட்டத்தினுலடய விட்டத்தில விழச்சைய்தோல அநத வீழல (projection) ஒரு தனிச் சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும். இதன் மூைம் சீரோன வட்ட இயக்கம் மற்றும் அதிரவுறும் இயக்கம் ஆகியவற்றுககு இலடகய உள்ள சதோடரபிலன ேோம் இலணக்க முடியும்.
து வீழச்சியலடநத து்களின் நிலை
P8 P8
o
P2 P2
o
P4
o
P6
o
y- அ
y- அ
y- அ
y- அ
x- அ
x- அ
x- அ
x- அ
P8 P8
o
P7
P3
P1
P2 P2
o
P5
P4 P4
o
P6 P6
o
y- அ
y- அ
y- அ
y- அ
x- அ
x- அ
x- அ
x- அ
இகதகபோன்று எநத ஒரு அதிரவுறு இயக்கம் அலைது சுழல இயக்கத்திலன, சீரோன வட்ட இயக்கத்துடன் இலணக்க முடியும். கவறுவிதமோ்க கூறினோல இவவிரு இயக்கங்்களும் ஒகர இயலலப சபற்றுள்ளது.
படம் 10.7 –இல ்கோட்டியுள்ளவோறு வட்டப்போலதயில இயங்கும் து்களின் நிலைலய (position) அவவட்டப்போலதயின் சைங்குத்து விட்டத்தின் மீது அலைது சைங்குத்து விட்டத்திற்கு இலணயோன க்கோட்டின் மீது வீழல (projection) சைய்கவோம்.
இகதகபோல, கமற்கூறிய நி்கழலவ கிலடத்தளஅச்சு அலைது கிலடத்தள அச்சுககு இலணயோன க்கோட்டில ேோம் வீழச்சியலடயச் சைய்ய முடியும்.
படம் 10.8 –இல ்கோட்டியுள்ளவோறு ஒரு சுருள்வில - நில்ற அலமப்லப (அலைது அலைவுறும் ஊைல) ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்கோட்டோ்கக ்கருதுகவோம். சுருள்வில கமலும் கீழும் இயககும் கபோது (அலைது ஊைல முன்னும் பின்னும் அலைவுறும் கபோது) அதன் நில்ற அலைது ஊைல குண்டின் இயக்கம் வட்ட இயக்கத்தில உள்ள புள்ளி்களுடன் இலணத்து ்கோட்டப்பட்டுள்ளது.
்படம் 10.8 சுருள்வில – நில்ற அலமப்பின் (அலைது தனிஊைல) இயக்கத்லத சீரோன வட்ட இயக்கத்துடன் ஒப்பிடல
எனகவ சீரோன வட்ட இயக்கத்தில து்களின் நிலைலய அநத வட்டத்தினுலடய விட்டத்தின் மீது (அலைது விட்டத்திற்கு இலணயோன க்கோட்டின் மீது) விழச் சைய்தோல (projection) அவவியக்கம் கேரக்கோட்டு இயக்கமோ்க அலமயும். இதலனகய தனிச்சீரிலை இயக்கம் எனக ்கருதுகிக்றோம். இவவட்டம் தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் கமற்க்கோள் வட்டம் (circle of reference) எனப்படும்.
தனிச்சீரிலை இயக்கமோனது ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தின் எநத ஒரு விட்டத்தின் மீதும் இயங்கும் து்கள் நிலையின் வீழவு (projection of position) எனவும் வலரயறுக்கப்படுகி்றது.
a. சுருள்்களுககு உள்கள உள்ள அலைவடிவத்தின் வீழச்சியிலன வலர்க.
b. சுருள்்களுககு சவளிகய உள்ள அலைவடிவத்தின் வீழச்சியிலன வலர்க.
கையல்்போடு
்தனிச்சீரிலை இயககத்தில் இடபக்பயரச்சி, திலைநவகம், முடுககம் மறறும் அவறறிறகோை வலர்பட வி்ளககம்
்படம் 10.9 குறிப்பிட்ட கேரத்தில உள்ள ஒரு து்களின் இடப்சபயரச்சி, திலைகவ்கம் மற்றும் முடுக்கம்
y
x
N P
2a cos
2a sin
y
N P
x = A cos
y= A sin
v sin
A
y
x
N P
v cos v
| | x |
|---|---|
| HடÝ 10.9 ¤ÜØட கேரÚல உãள ஒ± «>å இடÜசபயரÖz, ல ைகவ>Ý மä²Ý ¯©க>Ý |
ஒரு குறிபபிடை கைண யேரம் t இல் அதிரவ்ையும் துகைளானது சமநி்ைபபுள்ளியிலிருந்து கைைந்்த த்தா்ைவு இைபத்பேரச்சி எனப்படும்.
படம் 10.9 இல் ்கோட்டியுள்ளவோறு ஒரு குறிப்பிட்ட ்கண கேரம் t இல, A ஆரம் ச்கோண்ட வட்டத்தின் மீதோன து்களின் நிலை P என்்க. t என்்ற ்கணத்தில அதன் இடப்சபயரச்சி y – லய கீழக்கண்டவோறு தருவிக்கைோம். ∆_OPN இல_
sin sinθ θ= ⇒ = ON OP
ON OP (10.5)
ஆனோல θ = ωt, ON = y மற்றும் OP = A
y = A sin ω_t_ (10.6)
sin ωt = 1 எனும்சபோழுது இடப்சபயரச்சி y ஆனது சபரும மதிப்லப சபறும் (இநத மதிப்பு A–ககுச் ைமம்)
ேடுநி்ையிலிருந்து அதிரவ்ையும் துகைள் அ்ைந்்த த்பரும இைபத்பேரச்சி வீச்சு (A) எனப்படும். ்தனிச்சீரி்ச இே்ககைத்தில் வீச்சு மாறிலிோகும். த்பாதுவாகை ்தனிச்சீரி்ச இே்ககைத்்்த ்தவிர மறற எந்்த இே்ககைத்திறகும் வீச்சு மாறிலிோகை இரு்ககை ய்த்வயில்்ை, இது கைாைத்்்தப த்பாறுத்து மாறைாம்.
திலைநவகம் இடப்சபயரச்சி மோறும் வீதம் திலைகவ்கம் ஆகும். ்கோைத்லத ைோரநது ைமன்போடு (10.6) ஐ வல்கப்படுத்த ேோம் சபறுவது
அட்டவலண: 10.1 கவறுபட்ட ்கணகேரத்தில இடப்சபய ்கோைம்
0 T 4
ω_t_ 0 π
2
இடப்சபயரச்சி y =A sin ω_t_
0 A
திலைகவ்கம் v =A ω cos ω_t_
A ω 0
முடுக்கம் a =-A ω2 sin ω_t_
0 −_A_ ω2
v dy dt
d dt
= = (A sin ωt)
வட்ட இயக்கத்தில (மோ்றோ ஆரம்) வீச்சு A மோறிலி, கமலும் சீரோன வட்ட இயக்கத்திற்கு க்கோணத்திலைகவ்கம் ω மோறிலி, எனகவ
v dy dt
= = A ω cos ωt (10.7)
sin2 ωt + cos2 ωt =1 ⇒ cos ωt = 1 2-sin ω_t என்்ற திரிக்கோண முற்ச்றோருலமலயப் பயன்படுத்த_
v A t= −ω ω1 2sin ைமன்போடு (10.6) லிருநது
sinω_t y A_
=
v A y A
= −
ω 1
2
v A y= −ω 2 2 (10.8)
ைமன்போடு (10.8) – லிருநது இடப்சபயரச்சி y = 0 எனில அதன் திலைகவ்கம் v = ωA (சபருமம்) மற்றும் சபரும இடப்சபயரச்சி y = A, எனில அதன் திலைகவ்கம் v = 0 (சிறுமம்). இடப்சபயரச்சியோனது சுழியிலிருநது சபருமத்திற்கு அதி்கரித்தோல திலைகவ்கம் சபருமத்திலிருநது சுழிககு குல்றயும். இது எதிரதிலையில மீண்டும் நி்கழும்.
திலைகவ்கம் ஒரு சவகடர அளவு ஆல்கயோல, ைமன்போடு (10.7) – ஐ சவகடர கூறு்கலளக ்கண்டறிவதன் மூைமும் சப்றைோம்.
ரச்சி, திலைகவ்கம் மற்றும் முடுக்கம்
2
4
T 3
4
T 4 4 T T=
π 3 2 π 2_π_
0 −_A_ 0
−_A_ ω 0 A ω
0 A ω2 0
| 0 | π2 | π | 3π2 |
|---|---|---|---|
| 0 | A | 0 | −A |
| A ω | 0 | −A ω | 0 |
முடுககம் திலைகவ்க மோறுபோடு முடுக்கம் எனப்படும். ைமன்போடு (10.7) ஐ ்கோைத்லதப் சபோருத்து வல்கப்படுத்த, ேோம் சபறுவது
a dv dt
d dt
A t= = ( )ω ωcos
a A t y=− =−ω ω ω2 2sin (10.9)
∴ a d y dt
y= =− 2
2 2ω (10.10)
அட்டவலண 10.1 மற்றும் படம் 10.10 – லிருநது ேோம் அறிவது ேடுநிலைப்புள்ளியில (y = 0) து்களின் திலைகவ்கம் சபருமம் ஆனோல து்களின் முடுக்கம் சுழியோகும். சபரும நிலையில (y = ±A), து்களின் திலைகவ்கம் சுழி ஆனோல முடுக்கம் சபரும மதிப்புடன் ( Aω2) எதிரத்திலையில சையலபடுகி்றது.
o
o
A x
v
T t
T 2
T 2
T 2
T t
o
a
x = A sin ω t
v = ω A cos ω t
_a = –_ω 2 A sin ω t T t
க ை
சே வ
க இ
ட ெப
ய
்படம் 10.10 சவவகவறு ்கணகேரத்தில இடப்சபயரச்சி, திலைகவ்கம், முடுக்கத்தின் மோறுபோடு
எடுத்துககோட்டு 10 .3 கீழ்கண்டவற்றுள் எநத ைமன்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத குறிககி்றது? (i) x = A sin ωt + B cos ωt (ii) x = A sin ωt + B cos 2_ωt_ (iii) x = A eiωt
(iv) x = A ln ωt
தீரவு : (i) x = A sin ωt + B cos ωt
dx dt
= A ω cos ωt − B ω sin ωt
d x dt
2
2 = − _ω_2 (A sin ωt+ B cos ωt)
d x dt
2
2 = − ω_2_x
இநத வல்ககச்கழுச்ைமன்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு கபோன்று உள்ளது (ைமன்போடு 10.10).
எனகவ, x = A sin ωt + B cos ωt தனிச்சீரிலை இயக்கத்திலனக குறிககும்.
(ii) x = A sin ωt + B cos2 ωt
dx dt
= A ω cos ωt − B (2_ω_) sin2_ωt_
d x dt
2
2 = − ω_2 (A sin ωt+ 4_B cos 2_ωt)_
d x dt
2
2 ≠ − ω_2_x
இநத வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு தனிச்சீரிலையியக்கத்தின் வல்ககச்கழு ைமன்போடு (ைமன்போடு 10.10) கபோன்று அலமயவிலலை. எனகவ, x = A sin ωt + B cos 2ωt என்்ற ைோரபு தனிச்சீரிலை இயக்கத்திலனக குறிக்கோது.
(iii) x = A _e_iωt
dx dt
= A _ωe_iωt
d x dt
2
2 = −_A_ _ω_2 _e_iωt (_i_2 = -1)
d x dt
2
2 = −ω2_x_
இநத வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வல்ககச்கழு ைமன்போடு (ைமன்போடு 10.10) கபோன்று அலமநதுள்ளது. எனகவ, x = Aeiωt என்பது தனிச்சீரிலை இயக்கத்லதக குறிககும்.
(iv) x = A ln ω_t_
dx dt
= A t
_A t_ω
ω
=
d x dt
2
2 =- A t 2 ⇒ d x
dt
2
2 ≠−ω2_x_
இநத வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வல்ககச்கழு ைமன்போடு (ைமன்போடு 10.10) கபோன்று அலமயவிலலை. எனகவ, x = A ln ωt தனிச்சீரிலை இயக்கத்லதக குறிக்கோது.
| aa = – ω A sin ω t2 oக | T T2 | t |
|---|
| HடÝ 10.10 சவவகவ² >ணகேரÚலஇடÜசபயரÖz, லைகவ>Ý, ¯©க>Úå மோ²போ© |
எடுத்துககோட்டு 10 .4 ஒரு து்களோனது தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளுவதோ்க ச்கோள்கவோம். x1 நிலையில து்களோனது v1 திலைகவ்கத்லதயும் மற்றும், x2 நிலையில v2 திலைகவ்கத்லதயும் சபற்றிருப்பதோ்கக ்கருதுகவோம். அலைவு கேரம் மற்றும் வீச்சின் தல்கவு
T A
x x v x v x
= − −
2 2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2π எனக ்கோட்டு்க.
தீரவு ைமன்போடு 10.8 ஐப் பயன்படுத்த
v = ω _A x_2 2- ⇒_v_2 = ω2 (_A_2 − _x_2) எனகவ, x1 நிலையில,
_v A x_1 2 2 2 2
1= −ω ( ) (1)
இகதகபோல, x1 நிலையில,
_v A x_2 2 2 2
2 2= −ω ( ) (2)
ைமன்போடு (1) லிருநது ைமன்போடு (2) ஐ ்கழிக்க, ேோம் சபறுவது
_v v A x A x x x_1 2
2 2 2 2
1 2 2 2
2 2 2
2 2
1 2− = − − − = −ω ω ω( ) ( ) (
_A x A x x x_2 1 2 2 2
2 2 2
2 2
1 2− − − = −ω ω( ) ( ) ( )
ω π= − −
⇒ = − −
v v x x
T x x v v
1 2
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 22 (3)
ைமன்போடு (1) லிருநது ைமன்போடு (2) ஐ வகுக்க, ேோம் சபறுவது
v v
A x
A x A v x v x
v v 1 2
2 2
2 2 1 2
2 2 2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2=
−( ) −( )
⇒ = − −
ω
ω (4)
ைமன்போடு (3) ஐ ைமன்போடு (4) ஆல வகுக்க, ேோம் சபறுவது
T A
x x v x v x
= − −
2 2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2π
்தனிச்சீரிலை இயககத்தின் அலலவுந�ரம், அதிரகவண், கட்டம், கட்ட நவறு்போடு மறறும் க்தோடககக கட்டம்
i. அலலவுந�ரம் து்கசளோன்று ஒரு முழு அலைவிற்கு
எடுத்துகச்கோள்ளும் ்கோைம் அலைவுகேரம் என
)
வலரயறுக்கப்படுகி்றது. இது வழக்கமோ்க T என்்ற எழுத்தோல குறிக்கப்படுகி்றது. ஒரு முழுச்சுற்றுககு எடுத்துகச்கோண்ட ்கோைம் t = T, எனில
ω_T_ = 2π ⇒_T_ = 2π ω
(10.11)
தனிச்சீரிலை இயக்கத்திற்கு உட்படும் து்களின் இடப்சபயரச்சிலய லைன் (sine) அலைது ச்கோலைன் (cosine) ைோரபு்களோ்க குறிப்பிடைோம்.
y(t)= A sin 2π T
t அலைது y(t) = A cos 2π T
t
இங்கு T என்பது அலைவுகேரம். ்கோைம் t ககு பதிைோ்க t + T எனப் பிரதியிட்டோல அதன் ைோரபோனது,
y(t + T) = A sin 2π T
(t + T)
= A sin( 2π T
t + 2π)
= A sin 2π T
t = y(t)
y(t + T) = y(t) எனகவ இச்ைோரபு ஒரு அலைவுகேரத்திற்கு பி்றகும் மீண்டும் மீண்டும் நி்கழும் ைோரபு ஆகும். இநத y(t) என்பது சீரிலைச் ைோரபுக்கோன எடுத்துக்கோட்டோகும். ii. அதிரகவண் மறறும் நகோண அதிரகவண் து்கசளோன்று ஒரு சேோடியில ஏற்படுத்தும் அலைவு்களின் எண்ணிகல்க அதிரசவண் எனப்படும். இது f என்்ற எழுத்தோல குறிக்கப்படுகி்றது. இதன் SI அைகு s–1 அலைது சேரட்ஸ் ஆகும். (குறியீடு Hz).
்கணிதமுல்றயில அதிரசவண், அலைவு ்கோைத்துடன் கீழக்கண்டவோறு சதோடரபுபடுத்தப்படுகி்றது.
f T
= 1 (10.12)
ஒரு சேோடியில ஏற்படும் சுற்று்களின் எண்ணிகல்க க்கோண அதிரசவண் எனப்படும். இது வழக்கமோ்க ω (Omega) என்்ற கிகரக்கச் சிறிய எழுத்தோல குறிப்பிடப்படுகி்றது.
ைமன்போடு (10.11) மற்றும் (10.12), ஆகியவற்ல்ற ஒப்பிடும் சபோழுது, க்கோண அதிரசவண் மற்றும் அதிரசவண்ணின் சதோடரபு
ω = 2_πf_ (10.13)
க்கோண அதிரசவண்ணின் SI அைகு rad s–1 (கரடியன் சபர சை்கண்ட் என வோசிக்கவும்) iii. கட்டம் ஒரு குறிப்பிட்ட ்கணத்தில அதிரவலடயும் து்களின் ்கட்டம், அக்கணத்தில அத்து்களின் நிலைலய முழுலமயோ்கக குறிப்பிடுவதோகும்.
குறிப்பிட்ட ்கணத்தில ைமநிலைலயப் சபோருத்து அத்து்களின் நிலை (position) மற்றும் இயக்கத்திலை ஆகியவற்ல்ற ்கட்டம் விவரிககி்றது (படம் 10.11).
y = A sin (ω_t_ + φ0) (10.14)
இங்கு ωt + φ0 = φ என்பது அதிரவலடயும் து்களின் ்கட்டம் என அலழக்கப்படுகி்றது.
t = 0s (சதோடக்க ்கோைம்) இல, து்களின் ்கட்டம் (φ = φ0) சதோடக்கக ்கட்டம் என அலழக்கப்படுகி்றது. φ0 என்பது சதோடக்கக ்கட்டத்தின் க்கோணம் (angle of epoch) என அலழக்கப்படுகி்றது.
A sin φ i
+A
x
ti: φ(ti) = ω _t_i + φ i A
–A
_t_i
ω
t 2π ω
A sin φ (_t_i)
ω π
அ ேநர கட
t ேநர கட = 0: φ i
அல ெதாட க கட t = 0
்படம் 10.11 இரு கவறு ்கணகேரங்்களில அதிரவலடயும் து்களின் ்கட்டம்
கட்ட நவறு்போடு : தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் இரு து்கள்்கலளக ்கருதுகவோம்.
அவற்றின் ைமன்போடு்கள் y1 = A sin(ωt + φ1) மற்றும் y2 = A sin(ωt + φ2), எனில அவற்றுக கிலடகயயோன ்கட்ட கவறுபோடு ∆φ= (ωt + φ2) − (ω_t_ + φ1) = φ2 −φ1_._
எடுத்துககோட்டு 10 .5 ஒரு சைவிலியர கேோயோளி ஒருவரின் ைரோைரி இதயத்துடிப்லப அளவிட்டு மருத்துவரிடம் 0.8 s என்று அலைவு கேரத்தில குறிப்பிட்டோர. கேோயோளியின் இதயத்துடிப்லப ஒரு நிமிடத்திற்்கோன துடிப்பு்களின் எண்ணிகல்கயில கூ்றவும்.
தீரவு அளவிடப்பட்ட இதயத்துடிப்பு்களின் எண்ணிகல்க f என்்க. அலைவு கேரமோனது இதயத்துடிப்புககு எதிரவிகிதத்தில அலமவதோல,
f = 1 1 0 8
1 25 1
T s= = −
. .
1 நிமிடம் என்பது 60 விேோடி்கள் ஆகும்.
(1 வினோடி = 1 60
நிமிடம் ⇒ 1 s−1 = 60 min−1)
f = 1.25 s−1 ⇒ f = 1.25 × 60 min−1 = 75 துடிப்பு்கள்/ நிமிடங்்கள்
எடுத்துககோட்டு 10 .6 கீகழ ச்கோடுக்கப்பட்டுள்ள தனிச்சீரிலை அலைவு்களுக்கோன வீச்சு, க்கோண அதிரசவண், அதிரசவண், அலைவுகேரம் மற்றும் சதோடக்கக்கட்டம் ஆகியவற்ல்றக ்கணககிடு்க
a. y = 0.3 sin (40πt + 1.1)
b. y = 2 cos (πt)
c. y = 3 sin (2πt − 1.5)
தீரவு தனிச்சீரிலை அலைவுச்ைமன்போடு y = A sin(ωt + φ0) அலைது y =A cos(ωt + φ0) a. y = 0.3 sin(40πt +1.1) என்்ற அலைககு
வீச்சு A = 0.3 அைகு க்கோண அதிரசவண் ω = 40π rad s−1
அதிரசவண் f Hz= = = ω π
π π2
40 2
20
அலைவுகேரம் T f
s= = = 1 1
20 0 05.
சதோடக்கக ்கட்டம் φ0 = 1.1 rad b. y = 2 cos (πt) என்்ற அலைககு
வீச்சு A = 2 அைகு க்கோண அதிரசவண் ω = π rad s−1
அதிரசவண் f Hz= = = ω π
π π2 2
0 5.
அலைவுக்கோைம் T f
s= = = 1 1
0 5 2
. சதோடக்கக ்கட்டம் φ0 = 0 rad
| φ (ti) A | +Aஅேநர கட t : φ (t ) = ω t + φi i i A i sin φi |
|---|
c. y = 3 sin(2πt + 1.5) என்்ற அலைககு வீச்சு A = 3 க்கோண அதிரசவண் ω = 2π rad s−1
அதிரசவண் f Hz= = = ω π
π π2
2 2
1
அலைவுக்கோைம் T f
s= = = 1 1
1 1
சதோடக்கக ்கட்டம் φ0 = 1.5 rad
எடுத்துககோட்டு 10 .7 தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில a. இடப்சபயரச்சி மற்றும் திலைகவ்கத்திற்்கோன
்கட்ட கவறுபோடு π 2
கரடியன் அலைது 90°.
b. திலைகவ்கம் மற்றும் முடுக்கத்திற்்கோன ்கட்ட கவறுபோடு π
2 கரடியன் அலைது 90°.
c. இடப்சபயரச்சி மற்றும் முடுக்கத்திற்்கோன ்கட்ட கவறுபோடு π கரடியன் அலைது 180° எனக ்கோட்டு்க.
தீரவு a. தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும்
து்களின் இடப்சபயரச்சி
y = A sinω_t_
து்களின் திலைகவ்கம் v A t A t= = +
ω ω ω ω πcos sin
2 இடப்சபயரச்சி மற்றும் திலைகவ்கத்திற்கிலடறு-
கயயோன ்கட்ட கவறுபோடு π 2
. b. து்களின் திலைகவ்கம்
v = A ω cos ω_t து்களின் முடுக்கம்_
a A t A=− = +
ω ω ω ω π2 2
2 sin cos t
திலைகவ்கம் மற்றும் முடுக்கத்திற்்கோன ்கட்ட கவறுபோடு π
2 .
c. து்களின் இடப்சபயரச்சி
y = A sinω_t து்களின் முடுக்கம்_ a = − A ω2 sin ω_t_ = A ω2 sin(ω_t_ + π)
இடப்சபயரச்சி மற்றும் முடுக்கத்திற்்கோன ்கட்ட கவறுபோடு π கரடியன்.
நகோண சீரிலை இயககம்
நகோண சீரிலையியககத்தின் அலலவு ந�ரம் மறறும் அதிரகவண்
-θ max
+θ max 0
தா
இைழ
்படம் 10.12 அச்லைப்பற்றி தனித்து சுழலும் சபோருள் (வட்டு)
ச்கோடுக்கப்பட்ட அச்லைப்பற்றி தனித்து சுழலும் சபோருளின் அலைவு்கள், க்கோண அலைவு்கள் எனப்படும்.
எநத ஒரு புள்ளியில சபோருளின் மீது சையலபடும் சதோகுபயன் திருப்புவிலை சுழியோகின்்றகதோ அப்புள்ளி ைமநிலைப்புள்ளி எனப்படும்.
சபோருள் ைமநிலைப்புள்ளியிலிருநது இடசபயரச்சிககுள்ளோகும்கபோது, சையலபடும் பயனுறு சதோகுபயன் திருப்புவிலை க்கோண இடப்சபயரச்சிககு கேரத்கவில இருககும் மற்றும் இத் திருப்பு விலையோனது அப்சபோருலள ைமநிலைககு ச்கோண்டு வர முயற்சிககும். (திருப்பு விலை அைகு 5 இல விளக்கப்பட்டுள்ளது.)
சபோருளின் க்கோண இடசபயரச்சி
θ எனவும் சபோருளின் மீது சையலபடும் சதோகுபயன் திருப்பு விலை
τ எனவும் ச்கோண்டோல,
τ θ
µ (10.15)
τ κθ
=− (10.16)
இங்கு κ என்பது மீள்திருப்புவிலை மோறிலி. இது ஓரைகு க்கோண இடப்சபயரச்சிக்கோன திருப்பு விலையோகும். I என்பது ஒரு சபோருளின் நிலைமத்திருப்புத்தி்றன் மற்றும் α என்பது க்கோண முடுக்கம் எனில
τ α κθ = =−_I_
ஆனோல α θ =
d dt
2
2
எனகவ,
d dt I
2
2
θ κ θ
=− (10.17)
இச்ைமன்போடு தனிச்சீரிலை வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு கபோல உள்ளது. ஆல்கயோல ைமன்போடு (10.17) தனிச்சீரிலை இயக்கச்ைமன்போடு (10.10) உடன் ஒப்பிட ேோம் சபறுவது
ω κ = −
I rad s 1 என ேோம் சப்றைோம் (10.18)
அட்டவலண 10.2 தனிச்சீரிலை இயக்கம் மற்றும் க்கோண வ.எண் ்தனிச்சீரிலை இயககம் 1. து்களின் இடப்சபயரச்சி கேரகக்கோட்
இடப்சபயரச்சி r ஆல அளவிடப்படுகி்றது.
2. து்களின் முடுக்கம் a r
=−ω2
3. விலை, F m a = , இங்கு m என்பது து்களின்
நில்ற ஆகும். 4. மீள்விலை F kr
=− , இங்கு κ என்பது
மீள்விலை மோறிலி
5. க்கோண அதிரசவண், ω=
k m
rad s-1
க்கோணச்சீரிலை இயக்கத்தின் அதிரசவண் (ைமன்போடு 10.13 - லிருநது)
f I
Hz= 1
2π κ (10.19)
அலைவு கேரம் (ைமன்போடு 10.12 - லிருநது)
T I =2π
κ (10.20)
்தனிச்சீரிலை இயககம் மறறும் நகோணச்சீரிலை இயககம் ஒபபீடு
கேரக்கோட்டு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில, சபோருளின் இடப்சபயரச்சியோனது கேரக்கோட்டு இடப்சபயரச்சி r
ஆல அளவிடப்படுகி்றது. மீள்விலை F kr
=− , இங்கு k என்பது சுருள்
மோறிலி அலைது விலை மோறிலியோகும். இது ஓரைகு இடப்சபயரச்சிக்கோன விலைககுச் ைமம். கேரக்கோட்டு சீரிலை இயக்கத்தில சபோருளின் நிலைமக்கோரணி என்பது சபோருளின் நில்ற ஆகும்.
க்கோண சீரிலை அலை இயக்கத்தில, சபோருளின் இடப்சபயரச்சி க்கோண இடப்சபயரச்சி
θ ஆல அளவிடப்படுகி்றது. இங்கு சுருள்்கோரணி என்பது திருப்பு விலை மோறிலி ஆகும். அதோவது ஓரைகு க்கோண இடப்சபயரச்சிக்கோன இரட்லடயின் திருப்புத் தி்றனோகும் அலைது ஓரைகு க்கோண
ச்சீரிலை இயக்கம் ஒப்பீடு நகோணச்சீரிலை இயககம்
டு து்களின் இடப்சபயரச்சி க்கோண இடப்சபயரச்சி
θ ஆல அளவிடப்படுகி்றது. (சுழற்சி க்கோணம் எனவும் அலழக்கப்படுகி்றது) து்களின் க்கோண முடுக்கம் α ω θ
=− 2 .
திருப்பு விலை, τ α =I , இங்கு I என்பது சபோருளின்
நிலைமத்திருப்புத்தி்றன் மீள் திருப்பு விலை τ κθ
=− , இங்கு κ என்பது திருப்பு விலை மோறிலி (கிகரக்க எழுத்து κ ஐ ‘kappa’ என்று உச்ைரிக்கவும்) இம்மோறிலி ஒரு குறிப்பிட்ட முறுககு இலழலய சபோருத்து அலமயும்.
க்கோண அதிரசவண், ω κ =
I
| அØடவலண 10.2 தÖ ல ை இயக>Ý மä²Ý க>ோணÖ ல ை இயக>Ý ஒÜ© | ||
|---|---|---|
| வ.எÙ | EÖ லை இயககÝ | நகோணÖ லை இயககÝ |
| 1. | «>å இடr ÜசபயரÖz கேரகக>ோØ© இடÜசபயரÖz ஆல அளடÜப©xL«. | θ«>å இடÜசபயரÖz க>ோண இடÜசபயரÖz ஆல அளடÜப©xL«. (¦ழäz க>ோணÝ என¶Ý அலழ க>Üப©xL«) |
| 2. | ar=− ω«>å ¯©க>Ý 2 | αω=− θ«>å க>ோண ¯©க>Ý .2 |
| 3. | mFm= aல ை, , இÕ¤ எåப« «>å லL ஆ¤Ý. | Iτα= I±Ü® ல ை, , இÕ¤ எåப« சபோ±å லைமÚ±Ü®Ú Lå |
| 4. | κFk=− rãல ை , இÕ¤ எåப« ãல ை மோ | κτκ=− θκ㠱ܮ ல ை , இÕ¤ எåப«±Ü® ல ை மோ (xகரக> எµÚ« ஐ ‘kappa’எå² உÖை க>¶Ý) இÝமோ ஒ± ¤ÜØட¯²க¤ இலழலய சபோ±Ú« அலம °Ý. |
| 5. | k rad sω =mக>ோண அரசவÙ, -1 | κக>ோண அரசவÙ, ω =I |
இடப்சபயரச்சிக்கோன மீள் திருப்பு விலையோகும். க்கோண சீரிலை இயக்கத்திற்கு உட்படும் சபோருளின் நிலைமக ்கோரணி என்பது சபோருளின் நிலைமத் திருப்புத் தி்றன் ஆகும்.
ந�ரந்போககு சீரிலை அலலயியறறி (LHO)
சுருள்வில் – நில்ற அலமபபின் கிலடத்்த்ள அலலவுகள்
்படம் 10.13 சுருள்வில நில்ற அலமப்பின் கிலடத்தள அலைவு்கள்
y
0 x
k m
_x_o
y
0 x
k
_x_o
m
y
0 x
k
_x_o
m
படம் 10.13 ்கோட்டியுள்ளவோறு, நில்றயற்்ற சுருள்விலலுடன் m நில்ற ச்கோண்ட சபோருள் இலணக்கப்பட்டுள்ளது. இநத சுருள்வில - நில்ற அலமப்போனது உரோய்வற்்ற கிலடத்தளத்தின் மீது லவக்கப்பட்டுள்ளது எனகச்கோள்்க. சுருள்விலலின் வில்றப்பு மோறிலி அலைது விலை மோறிலி அலைது சுருள்வில மோறிலி k ஆகும். இநத அலமப்பின் மீது விலை சைலுத்தப்படோதகபோது நில்ற m ன் ைமநிலைப்புள்ளி, அலைது ேடுநிலைப்புள்ளி x0 என்்க. நில்றலய, ைமநிலையில இருநது வைப்பு்றமோ்க x சதோலைவிற்கு இடம்சபயரச் சைய்து பின்பு விடுவித்தோல, நில்றயோனது ேடுநிலைப்புள்ளி x0 ஐப் சபோருத்து முன்னும் பின்னும் அலைவுறும்.
சுருள்விலலின் நீட்சியோல ஏற்படும் மீள்விலை F என்்க. இவவிலையோனது நில்றயின் இடப்சபயரச்சிககு கேரத்த்கவில இருககும். ஒரு பரிமோண இயக்கத்திற்கு
F ∝ x F = − k x
எனக ்கணிதவியல முல்றயில ேோம் சப்றைோம். இங்கு, மீள்விலையோனது எப்சபோழுதும் இடப்சபயரச்சிககு எதிரதிலையில சையலபடும் என்பலத எதிரககுறி ்கோட்டுகி்றது.
இச்ைமன்போடு ஹீக விதி என்று அலழக்கப்படுகி்றது (போரக்க அைகு 7). இங்கு மீள்விலையோனது இடப்சபயரச்சியுடன் கேரகபோககில உள்ளலத ்கவனத்தில ச்கோள்்க (அதோவது விலை மற்றும் இடப்சபயரச்சியின் அடுககு (exponent) ஒன்்றோகும்). இது எப்சபோழுதும் ைரியோ்க இருப்பதிலலை, ஏசனன்்றோல சிை கேரவு்களில அதி்கமோன அளவு இழுவிலைலய ேோம் சைலுத்தும்கபோது, அலைவு்களின் வீச்சு்கள் அதி்கமோ்க அலமயும். (அதோவது விலையும், இடப்சபயரச்சியும் x ன் அதி்க அடுககு்களுககு கேரத்த்கவோ்க அலமயும்) எனகவ இநத அலமப்பின் அலைவு்கள் கேரகபோககு அலைவு்களோ்க இருப்பதிலலை என்பதோல இலவ கேரகபோககு அலைோத அலைவு்களோகும். இதுவலர ேம்முலடய விவோதங்்களின் படி கேரகபோககு அலைவு்கள் மட்டுகம விவோதிக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் அடிப்பலடயில ஹீக விதி ஏற்புலடயதோ்க அலமகின்்றது. அதோவது (விலை மற்றும் இடப்சபயரச்சி கேரகபோககு சதோடரபுலடயலவ)
நியூட்டனின் இரண்டோம் இயக்க விதியிலிருநது தனிச்சீரிலை இயக்கத்திற்கு உட்படும் து்களின் ைமன்போட்லட கீழக்கண்டவோறு ேோம் எழுத முடியும்.
m d x dt
k x 2
2 =−
d x dt
k m
x 2
2 =− (10.21)
ைமன்போடு (10.21) ஐ தனிச்சீரிலை இயக்கச் ைமன்போடு (10.10), உடன் ஒப்பிட, ேோம் சபறுவது
ω2 = k m
அதோவது அலையியற்றியின் க்கோண அதிரசவண் அலைது இயலபு அதிரசவண்
ω= k m
rad s−1 (10.22)
அலையியற்றியின் அதிரசவண்
f k m
= = ω π π2
1 2
Hz (10.23)
மற்றும் அலைவு்களின் அலைவுகேரம்
T f
m k
= = 1 2π s (10.24)
தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில அலைவு்களின் அலைவுகேரம் வீச்லைப்சபோருத்தது அலை என்பலதக ்கருத்தில ச்கோள்்க. இது அலைவு்கள் கதோரோயமோ்க சிறிய அளவில உள்ளகபோது மட்டுகம சபோருநதும். தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வல்ககச்கழுச் ைமன்போட்டின் தீரலவப் பின்வருமோறு எழுதைோம்.
_x(t) = A sin(_ωt + φ) (10.25)
அலைது
x(t) = A cos(ωt +φ) (10.26)
இங்கு A, ω மற்றும் φ ஆகியலவ மோறிலி்கள். வல்ககச்கழுச் ைமன்போடு 10.21 –ன் சபோதுத்தீரவு
(அ) நில்ற ஓர நிலைமப்பண்போ்கவும் சுருள் மோறிலி மீட்சிப்பண்போ்கவும் இருப்பதோல அலைவுகேரம்
Τ=2π m k
Τ= =2 2π π ைலமப ப
இடெபய க
(ஆ) x
d x dt
m k
= =−2
2
இட ெபய க ,
இட ெபய க இன் எண்மதிப்பு m
k ககுச்
ைமம். எனகவ அலைவுகேரம் Τ=2π m k
குறிபபு
x(t) = A sin(ωt +φ)+ B cos(ωt +φ) ஆகும். இங்கு A, B மோறிலி்கள்.
சுருள்வில்லின் கைஙகுத்து அலலவுகள்
்படம் 10.14 ்கம்பி சுருள்்கள்
்படம் 10.15 சுருள் மோறிலி ச்கோண்ட நில்றயற்்ற சுருள்வில்கள்
L L
F1=–kl
m
Fg=mgl
L + l
y y=0
m
m
படம் 10.15 –ல ்கோட்டியுள்ளவோறு, நில்றயற்்ற விலை மோறிலி அலைது சுருள்வில மோறிலி k (spring constant) ச்கோண்ட சுருள்விலைோனது கூலரயின் கமற்பகுதியில இலணக்கப்பட்டுள்ளதோ்க ்கருதுகவோம். நில்ற m இலணக்கப்படுவதற்கு முன்பு சுருள்விலலின் நீளம் L என்்க. சுருள்விலலின் மற்ச்றோரு முலனயில நில்ற m இலணக்கப்படும்கபோது சுருள்விலைோனது l நீளத்திற்கு விரிவலடகி்றது. சுருள்விலலின் நீட்சி ்கோரணமோ்க ஏற்படும மீள்விலை F1 என்்க நில்ற m –ல சையலபடும் ஈரப்பு விலையோனது சைங்குத்தோ்க கீழகேோககி சையலபடும். இநத அலமப்பிற்கு தனித்த சபோருளின் விலைப்படம் ேோம் வலரய முடியும். இது படம் 10.15–ல
| l | |||
|---|---|---|---|
| m | y |
| இடெபய |
|---|
| க |
்கோட்டப்பட்டுள்ளது. அலமப்போனது ைமநிலையில உள்ள கபோது,
_F_1 + mg = 0 (10.27
ஆனோல சுருள்வில l இடப்சபயரச்சிககு நீட்சியலடநதுள்ளது. எனகவ
F1 ∝ l ⇒ F1 = − k l (10.28)
ைமன்போடு (10.28) ஐ ைமன்போடு (10.27) –ல பிரதியிட ேோம் சபறுவது
– k l + mg = 0 mg = k l அலைது
m k
l g
= (10.29)
மி்கச்சிறிய அளவிைோன பு்ற விலைலய நில்ற மீது ேோம் சைலுத்தினோல, அநத நில்ற கமலும், கீழகேோககிய திலையில இடப்சபயரச்சி y-ககு நீள்கி்றது, பி்றகு அது கமலும், கீழும் அலைவுறுகி்றது. இப்சபோழுது சுருள்விலலின் நீட்சி (y + l) (சுருள்விலலின் சமோத்த நீட்சி ்கோரணமோ்க ஏற்படும் மீள்விலை.
F2 ∝ (y + l) F2 = − k (y + l) = −_ky_−_kl_ (10.30)
d y dt
2
2 , என்்ற முடுக்கத்துடன் இயங்கும் நில்றககு தனித்த விலைப்படம் வலரநதோல, ேோம் சபறுவது
− − + =ky kl mg m d y dt
2
2 (10.31)
நீட்சியின் ்கோரணமோ்க நில்ற மீது சையலபடும் சமோத்த விலை
F = _F_2 + mg F = − ky_−_kl + mg (10.32)
ஈரப்புவிலையோனது மீள்விலைககு எதிரோ்க அலமயும், ைமன்போடு (10.29) ஐ ைமன்போடு (10.32), இல பிரதியிட, ேோம் சபறுவது
F = −_ky_ − kl + kl = −_ky_
நியூட்டனின் இரண்டோம் விதிலயப் பயன்படுத்த
m d y dt
k y 2
2 =−
d y dt
k m
y 2
2 =− (10.33)
இச்ைமன்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் வல்ககச்கழுச் ைமன்போட்டின் வடிவமோகும். எனகவ
அலைவுகேரம் T m k
= 2π s (10.34)
சுருள்விலலின் கிலடத்தள அலைவு்கள் மற்றும் சைங்குத்து அலைவு்களின் அலைவுகேரம்
ைமமோ்க இருககும்
குறிபபு
ைமன்போடு (10.29) பயன்படுத்தி, அலைவுகேரத்லத கவறு வடிவில எழுதினோல
அலைவுகேரம் T m k
l g
= =2 2π π (10.35)
இச்ைமன்போட்டிலிருநது புவிஈரப்பு முடுக்கம் g யின் மதிப்லப சப்றைோம்
g l T
=
4 2
2π m s−2 (10.36)
எடுத்துககோட்டு 10 .8 சுருள்வில தரோசு 0.25 m நீளமும் 0 முதல 25 kg வலர நில்றலய அளவிடும் வல்கயிலும் அலமக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சுருள்வில தரோைோனது 11.5 m s–2 ஈரப்பு முடுக்கம் ச்கோண்ட X என்்ற ேோம் அறிநதிரோத க்கோள் ஒன்றில எடுத்துக ச்கோள்ளப்படுகி்றது. M kg நில்ற ச்கோண்ட ஒரு சபோருள் சுருள் விலலில தரோசில சதோங்்க விடப்படும் சபோழுது 0.50 s அலைவுக்கோைத்துடன் அலைவுறுகி்றது. சபோருளின் மீது சையலபடும் ஈரப்பியல விலைலய ்கணககிடு்க.
தீரவு ைமன்போடு (10.29) பயன்படுத்தி, முதலில சுருள்வில தரோசின் வில்றப்பு மோறிலிலய ேோம் ்கணககிடைோம்.
k mg l
N m= = ×
= −25 11 5 0 25
1150 1. .
அலைவு்களின் அலைவுகேரம் Τ=2π M k
இங்கு M –ன்பது சபோருளின் நில்றயோகும். M என்பது சதரியோத நில்றயோதைோல ைமன்போட்லட மோற்றி அலமக்க ேோம் சபறுவது
M kT kg= = = 2
2
2
24 1150 0 5
4 7 3
π π ( )( . ) .
சபோருளின் மீது சையலபடும் ஈரப்பு விலை W = Mg = 7.3 × 11.5 = 83.95 N ≈ 84 N
சுருள்வில்களின் க்தோகுபபுகள்
்படம் 10.16 உநது வண்டியின் அதிரவுத்தோங்கியில சுருள்வில்களின் சதோகுப்பு
சுருள்விலலின் வில்றப்புத் தன்லமயோனது, சுருள்மோறிலி அலைது விலைமோறிலி அலைது வில்றப்பு மோறிலியோல அளவிடப்படுகி்றது.
சுருள்மோறிலியின் மதிப்பு அதி்கசமனில சுருள்விலைோனது வில்றப்போ்க இருககும். சுருள்விலலை நீட்சியலடயச் சைய்யகவோ அலைது அமுக்கச் சைய்யகவோ அதி்க விலைலய சைலுத்த கவண்டும் என்பலத இது உணரத்துகின்்றது. இகதகபோல சுருள்மோறிலியின் மதிப்பு குல்றசவனில குல்றநத விலைலய சைலுத்தி சுருள்விலலை நீட்சியலடயச் சைய்யகவோ அலைது அமுக்ககவோ முடியும்.
இரு சுருள்வில்கலள இரு வழி்களில இலணக்க முடியும். ஒன்று சதோடரிலணப்பில இலணத்தல மற்ச்றோன்று பக்க இலணப்பில இலணத்தல.
a. சுருள்வில்கள் சதோடரிலணப்பில உள்ள கபோதும்
b. சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில உள்ளகபோதும்
சதோகுபயன் சுருள்மோறிலிலய கீழக்கோணும் துலணப்பிரிவு்களில ேோம் ்கணககிடைோம்.
a. சதோடரிலணப்பில இலணக்கப்பட்டுள்ள சுருள்வில்கள் இரண்டு அலைது அதற்கு கமற்பட்ட சுருள்வில்கள் சதோடரிலணப்பில இலணக்கப்பட்டுள்ளன என்்க. சதோடரிலணப்பில உள்ள சுருள்வில்கள் ஏற்படுத்தும் நி்கர விலளவிற்குச் ைமமோன விலளலவ ஏற்படுத்தும் ஒரு சுருள்விலலை (சதோகுபயன் சுருள்வில) அச்சுருள்வில சதோகுப்புககு பதிைோ்க ேோம் பயன்படுத்தைோம். தனித்தனி சுருள்மோறிலி்களின் மதிப்பு்கள் k1 , k2 , k3 , (சதரிநத அளவு்கள்), மற்றும் சதோகுபயன் சுருள்மோறிலி ks (சதரியோத அளவு்கள்) ஆகியவற்றுககிலடகய ்கணிதவியல சதோடரபிலன ேோம் சப்றைோம். எளிலமக்கோ்க k1 , k 2 சுருள் மோறிலி ச்கோண்ட இரு சுருள்வில்கலள மட்டும் ்கருதுகவோம். அலவ படம் 10.17 - ல ்கோட்டியுள்ளவோறு m என்்ற நில்றயுடன் இலணக்கப்பட்டுள்ளதோ்க ச்கோள்்க. இதன் மூைம் சப்றப்படும் முடிவிலனப் பயன்படுத்தி சதோடரிலணப்பில எநத ஒரு எண்ணிகல்கயிலும் இலணக்கப்படும் சுருள் வில்களுக்கோன சபோதுவோன முடிலவப் சப்றைோம்.
்படம் 10.17 சுருள்வில்களின் சதோடரிலணப்பு
y
0 x
k1 k2 m
_x_o
படம் 10.18 இல ்கோட்டியுள்ளவோறு பு்றவிலை F வைதுபு்றம் கேோககி சைலுத்தப்படுவதோ்கக ச்கோள்கவோம். ஒவசவோரு சுருள்விலலின் சுருள்மோறிலி சவவகவ்றோனலவ கமலும் அவற்றுககிலடகயயோன பிலணப்பு இறுக்கமோ்க (rigid) இருப்பதிலலை. ஆதைோல அலவ சவவகவறு நீளத்திற்கு நீட்சியலடகின்்றன.
சைலுத்தப்பட்ட விலை F - ன் ்கோரணமோ்க சுருள்்கள் அதனுலடய ைமநிலையிலிருநது (நீட்சியலடயோ நிலை) நீட்சியலடநத சதோலைவு்கள் முல்றகய x1 மற்றும் x2 என்்க. எனகவ, நில்றப் புள்ளியின் சமோத்த இடப்சபயரச்சி
x = x1 + x2 (10.37)
ேுககின் விதியிலிருநது
F = − ks (_x_1 + _x_2) ⇒ _x_1 + _x_2 =− F ks
(10.38)
சுருள்வில்கள் சதோடரிலணப்பில உள்ளதோல −_k_1_x_1 = −_k_2_x_2 = F
⇒ =−_x F k_1
1
and _x F k_2
2
=− (10.39)
எனகவ ைமன்போடு (10.39) – ஐ ைமன்போடு (10.38) -இல பிரதியிட்டு சதோகுபயன் சுருள்மோறிலிலயக ்கணககிட முடியும்.
− − =− F k
F k
_F ks_1 2
1 1 1
1 2_k k ks_
= +
அல்லது
k k k
k ks= + 1 2
1 2
N m−1 (10.40)
“n” சுருள்வில்கள்்கலள சதோடரிலணப்பில இலணப்பதோ்கக ச்கோண்டோல சதோடரிலணப்பின் சதோகுபயன் சுருள் மோறிலி
்படம் 10.18 சதோடரிலணப்பில உள்ளகபோது சதோகுபயன்
y
0 x
k1 k2
F →
_x_o
m இைண
1 1 1 1 1 1
1 2 3 1_k k k k k ks n ii_
n
= + + + + = = ∑… (10.41)
அலனத்து சுருள் மோறிலி்களும் ைமம் எனில அதோவது
1 k
n k
k k ns
s= ⇒ = (10.42)
சதோகுபயன் சுருள்மோறிலி “n” மடங்கு குல்றயும் என்பலத இது ்கோட்டுகி்றது. ஆ்ககவ, சுருள்வில்கள் சதோடரிலணப்பில இலணக்கப்படும் சபோழுது சதோகுபயன் சுருள்மோறிலியோனது தனித்த சுருள் மோறிலிலயவிட குல்றவோ்க இருககும். ைமன்போடு 10.39 – லிருநது ேோம் சபறுவது
_k_1_x_1 = _k_2_x_2
இறுக்கப்பட்ட நீளம் அலைது நீட்சியலடநத நீளம் x1 மற்றும் x2-க்கோன த்கவு
x x
k k
2
1
1
2
= (10.43)
முதல மற்றும் இரண்டோவது சுருள்விலலில கதககி லவக்கப்பட்டுள்ள மீள் நிலையோற்்றல
_முல்றகய U k x_1 1 1 21
2 = _மற்றும் U k x_2 2 2
21 2
= , எனில அவற்றின் த்கவு
U U
k x
k x
k k
x x
k k
1
2
1 1 2
2 2 2
1
2
1
2
2
2
1
1 2 1 2
= =
= (10.44)
சுருள் மோறிலி
y
0 x
ks m
_x_o
F →
யான
எடுத்துககோட்டு 10 .9 1N m-1 மற்றும் 2 N m-1 சுருள்மோறிலி்கள் ச்கோண்ட இரு சுருள்வில்கள் சதோடரிலணப்பில இலணக்கப்படுவதோ்க ச்கோள்கவோம். இவவலமப்பின் சதோகுபயன் சுருள்மோறிலிலயக (ks) ்கணககிடு்க. கமலும் ks ஐ பற்றி ்கருத்து கூறு்க.
தீரவு k1 = 1 N m−1, k2 = 2 N m−1
k k k
k ks= + 1 2
1 2
N m−1
ks= × + =
1 2 1 2
2 3
N m−1
ks < _k_1 and ks < _k_2 எனகவ சதோகுபயன் சுருள் மோறிலியோனது k1
மற்றும் k2 மதிப்பு்கலளவிடக குல்றவோ்க இருககும்.
a. ்பகக இலணபபில் சுருள்வில்கள் இரண்டு அலைது அதற்கு கமற்பட்ட சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில இலணக்கப்பட்டுள்ளன என்்க. பக்க இலணப்பில உள்ள சுருள்வில்கள் ஏற்படுத்தும் நி்கர விலளவிற்குச் ைமமோன விலளலவ ஏற்படுத்தும் ஒரு சுருள்விலலை (சதோகுபயன் சுருள்வில) அச்சுருள்வில சதோகுப்பு்களுககு பதிைோ்க ேோம் பயன்படுத்தைோம். தனித்தனி சுருள் மோறிலி்களின் மதிப்பு்கள் k1, k2, k3, (சதரிநத மதிப்பு்கள்), மற்றும்
வில்றப்பு மோறிலியின் தலைகீழ சேகிழவுத்தன்லம மோறிலி (flexible constant) அலைது
இணக்கம் (compliance) எனப்படுகி்றது. இது C என்்ற எழுத்தோல குறிக்கப்படுகி்றது. இது N-1m அை்கோல அளவிடப்படுகி்றது. n சுருள்்கள் சதோடரிலணப்பில இருப்பின், சதோகுபயன் இணக்கம்
C Cs i i
n
= = ∑
1 n சுருள்்கள் பக்க இலணப்பில இருப்பின், சதோகுபயன் இணக்கம்
1 1 1_C Cp ii_
n
= = ∑
குறிபபு
சதோகுபயன் சுருள் மோறிலி kp (சதரியோத அளவு) ஆகியவற்றுககிலடகயயோன ்கணிதவியல சதோடரபிலன ேோம் சப்ற முடியும். எளிலமக்கோ்க k1 மற்றும் k2 சுருள் மோறிலி ச்கோண்ட இரு சுருள்வில்கள்்கலள மட்டும் ்கருதுகவோம். அலவ படம் 10.19 ல ்கோட்டியுள்ளவோறு m என்்ற நில்றயுடன் இலணக்கப்பட்டுள்ளதோ்கக ச்கோள்்க. இதன் மூைம் சப்றப்படும் முடிவிலனப் பயன்படுத்தி பக்க இலணப்பில எநத ஒரு எண்ணிகல்கயிலும் இலணக்கப்படும் சுருள்வில்களுக்கோன சபோதுவோன முடிலவப் சப்றைோம்.
்படம் 10.19 சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில
y
0 x
k2
k1
m
_x_o
படம் 10.20 –ல ்கோட்டியுள்ளவோறு விலை F-ஐ வைது பு்றமோ்க சைலுத்துவதோ்க ச்கோள்கவோம்.
இநகேரவில, இரு சுருள்்களும் ஒகர அளவிைோன நீட்சி அலைது இறுக்கத்திலன அலடகின்்றது. நில்ற m அலடநத இடப்சபயரச்சி எனில
F = −_k_p_x_ (10.45)
இங்கு kp என்பது சதோகுபயன் சுருள்மோறிலி ஆகும். முதல சுருளில x நீட்சிலய ஏற்படுத்தும் விலை F1 எனவும், இரண்டோவது சுருளில அகத அளவு x நீட்சிலய ஏற்படுத்தும் விலை F2 எனவும் ச்கோண்டோல, சதோகுபயன் விலையோனது.
F = − k_1_x – k_2_x (10.46)
ைமன்போடு (10.46) மற்றும் (10.45), ஆகியவற்ல்ற ைமன்சைய்ய ேோம் சபறுவது
_k_p = _k_1 + _k_2 (10.47)
சபோதுவோ்க n சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில இலணக்கப்பட்டிருப்பின்,
k kp i i
n
= = ∑
1
(10.48)
_அலனத்து சுருள்வில மோறிலியின் மதிப்பும் ைமசமனில அதோவது k_1 = _k_2= … = kn = k
kp = n k (10.49)
சதோகுபயன் சுருள்மோறிலி n மடங்கு அதி்கரிககும் என்பலத இது ்கோட்டுகி்றது. ஆ்ககவ சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில இலணக்கப்பட்டிருப்பின் சதோகுபயன் சுருள் மோறிலி தனித்தனி சுருள் மோறிலியின் மதிப்பிலனவிட அதி்கமோ்க இருககும்.
்படம் 10.20 சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில உள்ளக
y
0 x
k2
k1
m
_x_o
F →
இைண
சுருள் மோறிலி சுருள்விலலின் நீளத்திற்கு எதிர விகிதத் சதோடரபுலடயது
சுருள்விலலின் நீளம்
ஒரு சுருள்விலைோனது இரு துண்டு்களோ்க சவட்டப்படுவதோ்கக ச்கோள்கவோம். ஒன்றின் நீளம் l1 மற்ச்றோன்றின் நீளம் l2 இங்கு l1 = nl2 எனில முதல நீளத்தின் சுருள் மோறிலி
_k k n_1
1 =
+(n ) மற்றும் இரண்டோவது நீளத்தின் சுருள்மோறிலி k2 = (n+1) k, ஆகும். இங்கு k என்பது சவட்டப்படுவதற்கு முன்பு சுருள் மோறிலி ஆகும்.
குறிபபு
எடுத்துககோட்டு 10 . 10 1 N m−1 மற்றும் 2 N m−1 சுருள் மோறிலி ச்கோண்ட இரு சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில இலணக்கப்படுவதோ்கக ச்கோள்கவோம். சதோகுபயன் சுருள்மோறிலிலயக ்கணககிடு்க கமலும் kp ஐ பற்றி ்கருத்து கூறு்க.
தீரவு k1 = 1 N m−1, k2 = 2 N m−1
kp = _k_1 + _k_2 N m−1
kp = 1 + 2 = 3 N m−1
kp > k1 கமலும் kp > k2 எனகவ சதோகுபயன் சுருள்மோறிலியோனது k1 மற்றும் k2 மதிப்லபவிட அதி்க மதிப்பு ச்கோண்டது.
எடுத்துககோட்டு 10 . 1 1 கீழக்கோணும் அலமப்பு்களின் சதோகுபயன் சுருள்வில மோறிலியின் மதிப்லபக ்கணககிடு்க. அலனத்து சுருள்வில்களுககும் சுருள்மோறிலி்களின் மதிப்பு ைமம் எனக ச்கோண்டு ்கணககீடு சைய்்க.
(a) (b)
k1
k3
k1
k2
k2
k4 k5
k6
k4
k3m
m
தீரவு a. k1 மற்றும் k2 பக்க இலணப்பில உள்ளதோல,
ku = _k_1 + _k_2 இகதகபோல, k3 மற்றும் k4 பக்க இலணப்பில kd = _k_3 + _k_4
போது சதோகுபயன் சுருள்வில
y
0 x
kp m
_x_o
F →
யான
ku மற்றும் kp ஆகியலவ சதோடரிலணப்பில உள்ளன.
எனகவ k k k
k keq u d
u d
= +
_அலனத்து சுருள்வில மோறிலி்களும் ைமம் என்பதோல k_1 = _k_2 = _k_3 = _k_4 = k அதோவது ku = 2k மற்றும் kd = 2k
எனகவ, k k k
keq = = 4 4
2
b. k1 மற்றும் k2 பக்க இலணப்பில உள்ளதோல, _k_A = _k_1 + _k_2 _இகதகபோல, k4 மற்றும் k5 உள்ளதோல, k_B = _k_4 + _k_5 kA, k3, kB, மற்றும் k6 சதோடரிலணப்பில உள்ளதோல 1 1 1 1 1
3 6_k k k k keq A B_
= + + +
_அலனத்து சுருள் மோறிலி்களும் ைமம் என்பதோல k_1 = _k_2 = _k_3 = _k_4 = _k_5 = _k_6 = k எனகவ kA = 2k மற்றும் kB = 2k
1 1 2
1 1 2
1 3 k k k k k keq
= + + + =
k k eq = 3
எடுத்துககோட்டு 10 . 12 m நில்றயோனது v என்்ற கவ்கத்தில ஒரு உரோய்வற்்ற கிலடத்தள பரப்பில சைன்று, ஏ்றத்தோழ நில்றயற்்ற, சுருள் மோறிலி k ச்கோண்ட சுருள்வில மீது கமோதுகின்்றது. கமோதலுககு பி்றகு நில்றயோனது அலமதிநிலைககு வருகின்்றது எனில சுருள்விலலின் அமுக்கத்லத ்கணககிடு்க.
தீரவு நில்றயோனது சுருள்விலலை கமோதும்கபோது நில்றயின் இயக்க ஆற்்றல இழப்போனது சுருள்விலலில மீள் நிலை ஆற்்றைோ்க சப்றப்படுகி்றது. (ஆற்்றல மோ்றோகக்கோட்போட்டின்படி)
x என்பது சுருளின் இறுக்கமலடநத தூரம் என்்க, ஆற்்றல மோ்றோக க்கோட்போட்டின்படி
1 2
1 2
2 2_m v k x x v m k_
= ⇒ =
்தனிச்சீரிலை இயககத்தில் ்தனி ஊைலின் அலலவுகள் மறறும் ்தனிஊைலின் விதிகள்
்தனி ஊைல்:
o
l
சம
ை ல
(a) (b)
(c) o
T
l
(d)
_m mg_sin
_mg_cos
்படம் 10.21 தனி ஊைல
தனி ஊைல என்பது சீரலைவு இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் ஒரு இயநதிரவியல அலமப்போகும். நீளமோன ்கயிற்றில (நில்றயற்்ற மீட்சித் தன்லமயற்்றதோ்க ்கருது்க) m நில்ற ச்கோண்ட ஊைலகுண்டு ஒரு முலனயில சதோங்்க விடப்பட்ட நிலையில மறு முலனயோனது படத்தில [படம் 10.21 (a).] ்கோட்டியுள்ளவோறு தோங்கியில சபோருத்தப்பட்டுள்ளது. ைமநிலையில, தனி ஊைல அலைவு்றோமல சைங்குத்தோ்க கீழகேோககி சதோங்கிக ச்கோண்டிருககும். இநநிலை ைம நிலைப்புள்ளி அலைது ேடுநிலைப்புள்ளி எனப்படும். தனி ஊைைோனது ைமநிலைப் புள்ளியிலிருநது சிறிய இடப்சபயரச்சிககு உட்படுத்தப்பட்டு விடப்படும் கபோது, ஊைல குண்டோனது முன்னும் பின்னும் இயக்கத்லத
| l | |
|---|---|
| T |
| m | |
|---|---|
| |
கமற்ச்கோள்ளும். தனி ஊைலின் நீளம் l என்பது சதோங்்கவிடப்பட்ட புள்ளிககும் ஊைல குண்டின் ஈரப்பு லமயதிற்கும் இலடப்பட்ட சதோலைவு ஆகும்.
படம் 10.21 (d) இல ்கோட்டப்பட்டுள்ளது கபோல ஊைல குண்டின் மீது எநத ஒரு இடம் சபயரநத நிலையிலும் இரு விலை்கள் சையலபடுகின்்றன.
i. ஈரப்பியல விலை F m g = சைங்குத்தோ்க
கீழகேோககி சையலபடுகி்றது. ii. சதோங்்கவிடப்பட்ட புள்ளிலய கேோககி
்கயிற்றின் வழியோ்க சையலபடும் இழுவிலை T
ஈரப்பியல விலையின் இருகூறு்களோவன a. கைஙகுத்து கூறு: ்கயிற்றின் வழியோ்க
இழுவிலைககு எதிரதிலையில சையலபடும் கூறு . Fas = mg cosθ.
b. க்தோடுவியல் கூறு: ்கயிற்றிற்கு சைங்குத்தோ்க உள்ள கூறு அதோவது விலலின் சதோடுக்கோட்டு திலையில உள்ள கூறு Fps = mg sinθ.
எனகவ, ்கயிற்றின் வழிகய விலையின் சைங்குத்துககூறு
_T F m v las_− = 2
இங்கு v என்பது ஊைல குண்டின் கவ்கம்
T mg m v l
− =cosθ 2
(10.50)
படம் 10.21 – ஐ ேோம் உற்று கேோககும்கபோது ஈரப்பியல விலையின் சதோடுக்கோட்டு கூ்றோனது எப்சபோழுதும் ைமநிலை கேோககிகய அலமயும். அதோவது ஈரப்பியல விலையோனது, ஊைல குண்டின் ைமநிலைப்புள்ளியிலிருநது அலடநத இடப்சபயரச்சியின் எதிரதிலையில அலமயும். இநத சதோடுவியல விலைகய மீள் விலையோகும். சதோடுவியல விலைலய நியூட்டனின் இரண்டோம் விதியின் மூைம் ேோம் சப்றைோம்.
நியூட்டனின் 2 வது விதியிலிருநது
_F ma_= இங்கு இடப்பக்கத்தில நி்கரவிலை
T-Fas மற்றும் வைது பக்கத்தில m _a_
லமயகேோககு விலைககு mv l
2
ைமமமோ்க
உள்ளதோல ஊைல குண்டு அலைவுறுகி்றது.
குறிபபு
m d s dt
F m d s dt
Fps ps
2
2
2
20+ = ⇒ =−
m d s dt
mg 2
2 =− sinθ (10.51)
இங்கு s என்பது ஊைல குண்டின் இடப் சபயரச்சியோகும். இது வட்டவிலலின் வழிகய அளவிடப்படுகி்றது. வட்ட விலலின் நீளத்லத க்கோண இடப்சபயரச்சியின் வோயிைோ்க சப்றைோம். அதோவது
s = l θ (10.52) இதன் முடுக்கம்,
d s dt
l d dt
2
2
2
2= θ (10.53)
ைமன்போடு (10.53) ஐ ைமன்போடு (10.51), ல பிரதியிட
l d dt
g 2
2
θ θ=− sin
d dt
g l
2
2
θ θ=− sin (10.54)
கமற்்கண்ட வல்ககச்கழு ைமன்போட்டில sin θ இருப்பதனோல, இச்ைமன்போடு கேரகபோக்கற்்ற (இரண்டோம் வரிலை ஒருபடித்தோன) ைமன்போடோகும். சிறிய அலைவு்களுககு கதோரோயமோ்க sin θ ≈ θ என்பதோல கமற்்கண்ட வல்ககச்கழு ைமன்போடு கேரகபோககு வல்ககச்கழுச் ைமன்போடோகி்றது.
d dt
g l
2
2
θ θ=− (10.55)
இது ேன்கு அறிநத அலையியக்கத்திற்்கோன வல்ககச்கழு ைமன்போடு. எனகவ அலையியற்றியின் க்கோண அதிரசவண்ணோனது (அலமப்பின் இயலபு அதிரசவண்)
ω2 = g l
(10.56)
ω = g l
rad _s_−1 (10.57
அலையியக்கத்தின் அதிரசவண்
f g l
= 1
2π Hz (10.58)
அலையியக்கத்தின் அலைவுகேரம்
T l g
= 2π s (10.59)
்தனி ஊைலின் விதிகள் தனி ஊைலின் அலைவுகேரமோனது
a. கீழக்கண்ட விதி்களின் அடிப்பலடயில அலமநதுள்ளது.
(i) நீ்ளத்தின் விதி ச்கோடுக்கப்பட்ட புவிஈரப்பு முடுக்கத்தின் மதிப்பிற்கு, தனி ஊைலின் அலைவுகேரம் தனிஊைலின் நீளத்தின் இருமடி மூைத்திற்கு கேரத்த்கவில அலமயும்.
_T l_µ (10.60)
(ii) முடுககத்தின் விதி ச்கோடுக்கப்பட்ட தனி ஊைலின் நீளம் மோ்றோதிருககும் கபோது ஊைலின் அலைவுகேரம் புவிஈரப்பு முடுக்கத்தின் இருமடி மூைத்திற்கு எதிரத்கவில அலமயும்.
T g
µ 1 (10.61)
b. பின்வரும் கோரணிகல்ளச் ைோரநதிருககோது
(i) ஊைல் குண்டின் நில்ற தனி ஊைலில ஊைல குண்டின் அலைவுகேரம் நில்றலய ைோரநதிரோது. இது தோகன கீகழ விழும் சபோருளின் இயக்கத்லத கபோன்்றது. எனகவ மோ்றோத நீளம் ச்கோண்ட தனிஊைலில ஊைல குண்டோ்க யோலன ஊைலுற்்றோலும் எறும்பு ஊைலுற்்றோலும் அலைவுக ்கோைம் போதிக்கோது. இரண்டும் ஒகர அலைவுக்கோைத்லத சபற்றிருககும்.
(ii) அலலவுகளின் வீச்சு சிறிய க்கோண அளவு்களில தனி ஊைல (க்கோண இடப்சபயரச்சி சிறியதோ்க உள்ளகபோது) அலைவுற்்றோல அலைவுகேரம் வீச்சிலன ைோரநதிரோது.
எடுத்துககோட்டு 10 . 13 தனி ஊைல கைோதலன்களில, கதோரோயமோ்க சிறிய க்கோணங்்கலள பயன்படுத்துகவோம். இச்சிறிய க்கோணங்்கலள விவோதிக்க
θ ( டிகிரியில்) θ ( நரடியனில்) sin θ
0 0 0 5 0.087 0.087 10 0.174 0.174 15 0.262 0.256 20 0.349 0.342 25 0.436 0.422 30 0.524 0.500 35 0.611 0.574 40 0.698 0.643 45 0.785 0.707
θ என்பது கரடியனில உள்ளகபோது, சிறிய க்கோணங்்களுககு sin θ ≈ θ
18 π
4 π
2 π
2
y =
3_π π θ **(in radian)_**
θ
_y = sin_θ
y
0
அதோவது θ வோனது 10 டிகிரி மற்றும் அலதவிட குல்றவோ்க இருககும்கபோது, θ ்வ யரடிேனில் குறிபபிடைால் sin θ வோனது θ வுககு ைமம். θ அதி்கரிககும்சபோழுது sinθ மதிப்போனது θ விலிருநது படிப்படியோ்க கவறுபடுகி்றது.
(கரடியனில)
கவப்பநிலலயிைோல் ்தனி ஊைலின் நீ்ளத்தில் ஏற்படும் வில்ளவு
சவப்பநிலை மோறுபோட்டின் ்கோரணமோ்க சதோங்்கவிடப்பட்ட ்கம்பியோனது போதிப்- பலடகி்றது என ச்கோள்்க. சவப்பநிலை உயரத்தும்கபோது ்கம்பியின் நீளத்தில ஏற்படும் போதிப்போனது
l = _l_o (1 + α ∆t) என மோற்்றமலடகி்றது. இங்கு lo என்பது ்கம்பியின் ஆரம்ப நீளம் மற்றும் l என்பது சவப்பநிலையின் உயரவோல ஏற்படும்
| θ θ θ ( }x à) ( நர}யà) sin 051015202530354045θக>y | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 00.087 0.0870.174 0.1740.262 0.2560.349 0.3420.436 0.4220.524 0.5000.611 0.5740.698 0.6430.785 0.707sin θ ≈ θஎåப« கர}யல உãளகபோ«, zயோணÕ>´க¤ y = sinθπ (கர}ய θ ல)(in radian )θ மä²Ý அலத ட θ்வ யர}ேà sinθ θோன« ¶க¤ ைமÝ. மÜபோன« ²ப©xL«. | ||||||
| y = θ | ||||||
| 0 π π π 3π18 4θ 2 2அதோவ« வோன« 10 }x sin θ ¤லL வோ> இ±க¤Ýகபோ«, θ ¤படைாà வஅ> க¤Ýசபோµ« ±ந« ப}Üப}யோ> கவ | ||||||
| கவபHலலைோ à E ஊைåNÚà ஏறH©Ý லN¶சவÜபலை மோ²போØ}å >ோரணமோ>சதோÕ>டÜபØட >Ýயோன« போÜ-பலட xL« என ச>ோã>. சவÜபலைஉயரÚ«Ýகபோ« >Ýå ளÚல ஏäப©ÝபோÜபோன« l = l (1 + α ∆t)llஎன மோäLமல டxL«. இÕ¤ எåப«>Ýå ஆரÝப o ளÝ மä²Ý எåப«சவÜபலைå உயரவோல o ஏäப©Ý |
எடுத்துககோட்டு 10 . 14 : ஒரு தனி ஊைலின் நீளம் அதன் சதோடக்க நீளத்திலிருநது 44% அதி்கரிககி்றது எனில தனிஊைலின் அலைவுகேரம் அதி்கரிககும் ைதவீதத்லத ்கணககிடு்க.
தீரவு _T l_µ என்பதோல
T = மோறிலி l
T T
l l
l f
i
= +
= =
44 100 1 44 1 2. .
எனகவ, _T_f = 1.2 _T_i = _T_i + 20% _T_i
U வடிவக குழோயின் திரவத்்தம்்பத்தின் அலலவுகள்:
்படம் 10.22 U- வடிவ ்கண்ணோடிக குழோய்
0 0 y
y 00
h
y 2y
்கம்பியின் இறுதி நீளம். ∆t என்பது சவப்பநிலை மோற்்றம் மற்றும் α என்பது நீள்விரிசவண் என்்க. எனகவ
எனகவ,T l g
l g
l g
= = +
=2 2 1 20 0π π α π( t)∆
l g
l g
l g
= +
= +2 1 2 10 0π α π α( t) ( t)∆ ∆
T T t T t= + ≈ +0
1 2
01 1 1 2
( ) ( )α α∆ ∆
⇒ T T
T T T
T T
t 0
0
0 0
1 1 2
− = − = =
∆ ∆α
இங்கு ∆T என்பது சவப்பநிலை மோறுபோட்டின் ்கோரணமோ்க அலைவு கேரத்தில ஏற்படும் மோறுபோடு மற்றும் T0 என்பது தனிஊைலின் சதோடக்க நீளம் l0 ஆ்க உள்ளகபோது உள்ள அலைவுகேரம்.
ஒரு சீரோன குறுககுசவட்டுப்பரப்பு A ச்கோண்ட தி்றநத புயங்்கலளக ச்கோண்ட U வடிவ ்கண்ணோடிக குழோலய ்கருது்க. படம் 10.22–ல ்கோட்டப்பட்டதுகபோல, போகுநிலையற்்ற, அமுக்க இயைோத ρ அடரத்தி ச்கோண்ட திரவமோனது U வடிவக குழோயின் புயங்்களில h உயரத்திற்கு நிரப்பப்பட்டுள்ளதோ்க ச்கோள்்க. குழோயும் திரவமும் அலைவற்்ற நிலையில உள்ளசதனில திரவத்தம்ப மட்டம் ைமநிலைப் புள்ளி 0 வில இருககும். திரவத்தின் மீது எநத ஒரு புள்ளியில அழுத்தத்லத அளவிட்டோலும் ைமமோ்க இருககும். கமலும் புயங்்களின் கமற்பகுதியிலும் அழுத்தம் (குழோயின் இருபு்றங்்களின் உள்ள முலன்களில) ைமமோ்க இருககும். இவவழுத்தம் வளி மண்டை அழுத்தத்திற்குச் ைமம். இதனோல குழோயின் புயங்்களில திரவமட்டங்்கள் ைமநிலையில இருககும். ஏகதனும் ஒரு புயத்தில ேோம் ்கோற்ல்ற ஊதுவதன் மூைம் கதலவயோன விலைலய சைலுத்துவதோல ைமநிலைப் புள்ளி O விலிருநது திரவ மட்டம் மோறுபடுகி்றது. அதோவது ஒரு புயத்தில ஊதப்பட்ட ்கோற்றின் அழுத்தம் மற்ச்றோரு புயத்லதவிட அதி்கம். இநத அழுத்த மோறுபோடு திரவத்லத ேடு அலைது ைமநிலைப் சபோருத்து சிறிது கேரம் அலைவு்கலள உருவோககுகி்றது பின் இறுதியோ்க அலமதி நிலைககு திரும்புகி்றது. இதன் அலைவுகேரம்.
T l g
= 2 2
π விேோடி (10.62)
இங்க்க l என்பது U - வடிவ குழோயில உள்ள திரவத்்தம்்பத்தின் கமோத்்தநீ்ளம்
+1 α( t)∆
்தனிச்சீரிலை இயககத்தின் ஆற்றல்
a. நிலல ஆற்றலுககோை ைமன்்போடு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில விலைககும் இடப்சபயரச்சிககும் இலடகயயோன சதோடரபு ேுக விதியின்படி
_F kr_=−
சபோதுவோ்க விலை என்பது சவகடர அளவு ஆதைோல முப்பரிமோணத்தில இது மூன்று கூறு்கலள ச்கோண்டது. கமலும் கமற்்கண்ட ைமன்போட்டில விலையோனது ஆற்்றல மோற்்றோ விலையோகும். இநத விலைலய ஒருகூறு ச்கோண்ட ஸ்க்கைோர ைோரபிலிருநது தருவிக்க முடியும். ஒருபரிமோண இயக்கத்தில
| ∆t α>Ýå இ² ளÝ. எåப«சவÜபலை மோäLÝ மä²Ý எåப«ã , Tசவ==Ù22ππஎå l >. எனகவ l (t1 + α∆ ) 21παg gஎனகவl=+21πα (t ∆ )g 001TT=+ ()11 αα∆∆tT ≈+ () t2T TT− ∆T 1⇒ −=1 == α ∆tT T1 T 220 ∆T 0இÕ¤ எåப« சவÜப0 லை மோ²போØ}åT>ோரணம0ோ> அலை¶00 க ேரÚல ஏäப©Ýlமோ²போ© மä²Ý எåப« தஊைåசதோடக> ளÝ ஆ> உãளகப ோ« உãளஅலை¶க ேரÝ. 00 |
|---|
F = − k x (10.63)
சதோகுதி 1, அைகு 4 இல விவோதித்தது கபோல ஆற்்றல மோற்்றோ விலைப்புைத்தினோல சைய்யப்பட்ட கவலை போலதலயச் ைோரநதிரோது. கீழக்கண்ட ைமன்போட்டிலிருநது அதன் நிலையோற்்றலைக ்கணககிட முடியும்.
F dU dx
=− (10.64)
(10.63) லவயும் (10.64), லயயும் ஒப்பிட
− =− dU dx
kx
dU = k x dx
ஒபபு மோறி சதோல்கயீட்டு மோறிலி x’ என்பது ஒப்பு மோறியோகும்.
tdt xdx pdp yyyy = = =∫∫∫
2
000 2
மோறி t, x மற்றும் p என்பன ஒப்பு மோறி்கள் ஏசனனில சதோல்கயீட்டின் கபோது t, x அலைது p ஆகிய எநத மோறி்கலள லவத்து சதோல்கயீட்லட ேோம் சைய்யும்கபோதும் ஒகர விலட கிலடக்கப்சபறும்.
சிறிய இடப்சபயரச்சி dx- ஐ கமற்ச்கோள்ள F என்்ற விலையினோல சைய்யப்பட்ட கவலை நிலை ஆற்்றைோ்க கை்கரிக்கப்படுகி்றது.
U x k x dx k x kx x
x
( )= ′ ′= ′( ) =∫ 1
2
1
20
2
0
2 (10.65)
ைமன்போடு (10.22), லிருநது விலை மோறிலியின் மதிப்பு k = m ω2 லய ைமன்போடு (10.65) இல ேோம் பிரதியிட
U x m x( )=1 2
2 2ω (10.66)
இங்கு, ω என்பது அலைவுறு அலமப்பின் இயலபு அதிரசவண். ைமன்போடு (10.6) லிருநது சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் து்கள்்களுககு, ேோம் சபறுவது
x = A sin ω_t_
U m A t(t) sin= 1 2
2 2 2ω ω (10.67)
்படம் 10.23 ்கோைத்லதப் சபோருத்து நிலை ஆற்்றல மோறுபோடு
T 2
O
U(t)
U(t) T
t
உஙகள் சிந்தலைககு நிலை ஆற்்றைோனது சிறுமம் எனில இரண்டோம் நிலை வல்ககச்கழு கேர மதிப்பில இருககும் ஏன்?
b. இயகக ஆற்றலுககோை ைமன்்போடு இயக்க ஆற்்றல
KE mv m dx dtx= =
1 2
1 2
2 2
(10.68)
து்களோனது சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்கி்றது எனில, ைமன்போடு (10.6) லிருநது x = A sin ω_t எனகவ திலைகவ்கமோனது_
v dx dt
A tx = = ω ωcos (10.69)
= −
_A x_
A ω 1
2
v A xx = −ω 2 2 (10.70) எனகவ,
KE mv m A xx= = −( )1 2
1 2
2 2 2 2ω (10.71)
KE m A t= 1 2
2 2 2ω ωcos (10.72)
|——| | உஙகã zநEலைக¤லை ஆäLைோன« z²மÝ எலஇரÙடோÝ லை வல>கச>µ க ேர மÜல இ±க¤Ý ஏå? |
்படம் 10.24 ்கோைத்லதப் சபோருத்து இயக்க ஆற்்றல மோறுபோடு
T 2
o
KE(t) KE(t)
T t
c. சமோத்த ஆற்்றலுக்கோன ைமன்போடு இயக்க ஆற்்றல மற்றும் நிலை ஆற்்றல இவற்றின் கூடுதல சமோத்தஆற்்றல ஆகும். E = KE + U (10.73)
E m x m x= − + 1 2
1 2
2 2 2 2 2ω ω(A )
எனகவ, x2 ஐ நீக்க,
E m A= = 1 2
2 2ω = மோறிலி (10.74)
மறுதலையோ்க ைமன்போடு (10.67) மற்றும் ைமன்போடு (10.72), லிருநது ேோம் சபறும் சமோத்த ஆற்்றல
E m A t m A t= + 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2ω ω ω ωsin cos
= + 1 2
2 2 2 2_m A t_ω ω ω(sin t cos )
திரிக்கோணமிதி முற்ச்றோருலமயிலிருநது, (sin2 ω_t_ + cos2 ω_t)_ = 1
E m A= 1 2
2 2ω = மோறிலி
்படம் 10.25 நிலை ஆற்்றல மற்றும் இயக்க ஆற்்றல இரண்டும் மோறுபடும் ஆனோல சமோத்த ஆற்்றல மோ்றோது
T 2
O
E
En er
gy
K(t)
U(t)
U(t) + K(t)
T t
எனகவ சமோத்த ஆற்்றலைக ச்கோண்டு சப்றப்படும் சீரிலை அலையியற்றியின் வீச்சு
A E m
E k
= = 2 2
2ω (10.75)
எடுத்துககோட்டு 10 . 15 ஒருபரிமோண இயக்கத்திற்்கோன இயக்க ஆற்்றல மற்றும் சமோத்த ஆற்்றல இவற்றின் ைமன்போடு்கலள கேரகக்கோட்டு உநதத்லதக ச்கோண்டு எழுது்க.
தீரவு இயக்க ஆற்்றல KE mvx=
1 2
2
பகுதி மற்றும் சதோகுதிலய m ஆல சபருக்க
KE m
m v m
v m
px x x= = = 1
2 1
2 1
2 2 2 2 2(m )
இங்கு, px என்பது சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் து்களின் கேரகக்கோட்டு உநதம்.
ஆற்றல் மோ்றோ விதி: இயக்க ஆற்்றல மற்றும் நிலை ஆற்்றல இரண்டும் சீரலைவு ைோரபு
மற்றும் அவற்றின் மதிப்பு்கள் அலைவு்கோைம் பி்றகு மீண்டும் நி்கழும். ஆனோல x அலைது
t ன் எலைோ மதிப்பு்களுககும் சமோத்த ஆற்்றல மோறிலி. தனிச்சீரிலை இயக்கத்திற்கு இயக்க ஆற்்றலும் நிலை ஆற்்றலும் எப்சபோழுதும் கேரககுறி. இயக்க ஆற்்றலை எதிரமதிப்பில எடுத்துகச்கோள்ளககூடோது. ஏசனனில இது திலைகவ்கத்தின் இருமடிககு கேரவிகிதப் சபோருத்தமலடயோது என்பலத நிலனவில ச்கோள்்க. ஒரு இயற்பியல அளவின் அளவீடு இயல எண்ணோ்ககவ இருக்க கவண்டும். இயக்க ஆற்்றல எதிரகுறி எனில, திலைகவ்கத்தின் எண்மதிப்பு ்கற்பலன எண்ணோகும், இது ேலடமுல்றயில ஏற்புலடயது அலை. ைமநிலையில முழுவதும் இயக்க ஆற்்றைோ்கவும், சபரும நிலையில முற்றிலும் நிலையோற்்றைோ்கவும் இருககும்.
x = –A x = _x_0 = 0 x = A
Etotal =
KE = k(_A_2 – _x_2)1 2
U =
x
U
U U U U
KE
KE KE
KE
_kx_21 2
_kA_21 2
ஆ ற
எர ஆ ற
குறிபபு
| KE = 12U = | k(A x )2 – 2 KE12 kx U2 | Etotal = 2 |
|---|
சமோத்த ஆற்்றல என்பது இயக்க ஆற்்றல மற்றும் நிலை ஆற்்றல்களின் கூடுதல ஆகும். எனகவ ைமன்போடு (10.73) மற்றும் ைமன்போடு (10.75) லிருநது
E KE U x m
p m xx= + = + =( ) 1 2
1 2
2 2 2ω மோறிலி
எடுத்துககோட்டு 10 . 16 : அலைவுறும் து்களின் நிலை ஆற்்றல மற்றும் இயக்க ஆற்்றல இரண்டும் ைமமோ்க உள்ள நிலைலய ்கணககிடு்க.
தீரவு அலைவுறும் து்களின் நிலை ஆற்்றல மற்றும் இயக்க ஆற்்றல இரண்டும் ைமம் எனில 1 2
1 2
2 2 2 2 2_m x m x_ω ω(A )− =
_A_2 − _x_2 = _x_2
2_x_2 = _A_2
⇒ =±_x A_ 2
்படம் 10.26 ஆற்்றல மோ்றோ விதி – சுருள்வில நில்ற மற்
சுருள்வில் நிைறக்கான ஆ நிைல A
KE PE TE
A B
நிைல D KE PE TE
D E
TE -
சமநிைல சமநிைல
v = vmax
v
KE
PE
KE TE
TE
v
v = 0
PE
KE
PE
TE
TE
ெமாத்
தனி ஊசல் அைமப்பின் ஆற்ற
றும் தனி ஊைல அலமப்பு
ற்றல் பட்ைட வைரபடம் நிைல B
KE PE TE நிைல C
KE PE TE
C
நிைல E KE PE TE
KE - PE - TE -
சமநிைல
v = vmax
KE
KE
PE
TE
TE
max
v
PE
KE
PE
TE
TE
இயக்க ஆற்றல் நிைல ஆற்றல் நிைல
ெமாத்த எந்திர ஆற்றல்
த எந்திர ஆற்றல்
ல்பட்ைட வைரபடம்
அலலவுகளின் வலககள்
கட்டற்ற அலலவுகள்** _அலையியற்றிலய அதன் ைமநிலைப்புள்ளியிலிருநது இடம்சபயரச் சைய்து அலைவு்றச் சைய்தோல அது அலைவுறும் அதிரசவண்ணோனது இயலபு அதிரசவண்ணிற்கு ைமமோ்க இருககும். இவவல்க அலைவு்கள் அலைது அதிரவு்கள் ்கட்டற்்ற அலைவு்கள் அலைது ்கட்டற்்ற அதிரவு்கள் எனப்படும். **எடுத்துககோட்டுகள்:
_
i. இலைக்கலவயின் அதிரவு்கள். ii. இழுத்துக்கட்டப்பட்ட ்கம்பியின் அதிரவு்கள். iii. தனி ஊைலின் அலைவு்கள். iv. சுருள்வில நில்ற அலமப்பின் அலைவு்கள்.
்தலடயுறு அலலவுகள்
தனி ஊைல அலைவுறும் கபோது (முநலதய நி்கழவில) அலைவின் வீச்ைோனது மோறிலி எனவும்
அலையியற்றியின் சமோத்த ஆற்்றல மோ்றோதது எனவும் எடுத்துக ச்கோள்கிக்றோம். ஆனோல உண்லமயில ஊட்கத்தின் உரோய்வு மற்றும் ்கோற்றின் இழுலவயோல ்கோைம் அதி்கரிககும்கபோது வீச்சு குல்றகின்்றது. இதன் அலைவு்கள் நிலைநிறுத்தப்படோமல இருககும் மற்றும் சீரிலை அலையியற்றின் ஆற்்றல படிப்படியோ்க குல்றகின்்றது. இநத ஆற்்றல இழப்பு அலையியற்றி சூழநதுள்ள ஊட்கம் உட்்கவரதைோல ஏற்படுகி்றது. இநத வல்க அலை இயக்கம் தலடயுறு அலைவு்கள் என அலழக்கப்படுகின்்றது. கவறுவிதமோ்க கூறினோல அலையின் வீச்சு குல்றகின்்றது மற்றும் அலையியற்றியின் ஆற்்றல ஊட்கத்தின் தலடககு எதிரோ்க சைய்யப்பட்ட கவலையோ்க மோற்்றப்படுகி்றது. இவவல்க இயக்கம் தலடயுறு இயக்கம் என அலழக்கப்படுகின்்றது மற்றும் இநநி்கழவில உரோய்வு விலை (தலடயுறு விலை) அலையி- யற்றியின் திலைகவ்கத்திற்கு கேரத்கவில இருககும்.
்படம் 10.27 தலடயுறு சீரிலை அலையியற்றி – ்கோைம் அதி்கரிககும்கபோது வீச்சு குல்றகி்றது
A
t0
(x )
–A
ெபா ைச வவ அைலேய ெதாட அைல
இ ட
ெப ய
கால
ஆனா, அ ைற உைற‚ ƒ„ ைற ெகா…ேட வ .
எடுத்துககோட்டுகள்: i. தனி ஊைலின் அலைவு்கள் (்கோற்றின்
தலடயுடன்) அலைது எண்சணய் நிரப்பப்பட்ட ்கைனிற்குள் தனி ஊைலின் அலைவு்கள்.
ii. சதோட்டிச் சுற்றில ஏற்படும் மின்்கோநத அலைவு்கள்
iii. ்கோலவனோ மீட்டரில ஏற்படும் தலடயுறு அலைவு
நிலலநிறுத்்தப்பட்ட அலலவுகள்
ஊைலில ஆடிக ச்கோண்டிருககும்கபோது ஒரு சிை அலைவு்களுககு பி்றகு அலைவு நிறுத்தப்படும். இதற்கு ்கோரணம் தலடயுறு விலையோகும். இதலனத் தவிரக்க தள்ளு விலைலயச் சைலுத்தி அலைவு்களோனது நிலை நிறுத்தப்படுகி்றது.
பு்ற மூைத்திலிருநது ஆற்்றலை பயன்படுத்தி அலையியற்றிககு அளிப்பதனோல அலைவு்களின் வீச்சு மோ்றோமல இருககும். இவவல்க அதிரவு்கலள நிலை நிறுத்தப்பட்ட அதிரவு்கள் என்கிக்றோம்.
எடுத்துககோட்டு: அதிரவுறும் இலைக்கலவயின் ஆற்்றலை மின்்கைஅடுககு அலைது மின் மூைத்திலிருநது சப்றச்சைய்தல
திணிபபு அதிரவுகள்
எநத ஒரு அலையியற்றி, தோன் இழநத ஆற்்றலை பு்றச்சீரலைவு அலமப்பினோல சபற்று சதோடரநது இயங்குகின்்றகதோ அநத அலையியற்றிலய திணிப்பு அலையியற்றி அலைது இயக்கப்பட்ட அலையியற்றி என அலழககின்க்றோம்.
இவவல்க அதிரவு்களில, சபோருளோனது ஆரம்பத்தில இயலபு அதிரசவண்ணில அதிரவுறும் பின்னர பு்ற சீரலைவு விலையின் ்கோரணமோ்க பு்ற சீரலைவு விலையின் அதிரசவண்ணில அதிரவுறும். இத்தல்கய அதிரவு்கள் திணிப்பு அதிரவு்கள் என்று அலழக்கப்படுகி்றது. எடுத்துககோட்டு: ்கம்பி இலைக ்கருவி்களில சப்றப்படும் அதிரவு்கள்
ஒத்்ததிரவு** _ஒத்ததிரவு திணிப்பு அதிரவின் சி்றப்பு நி்கழவு ஆகும். இங்கு பு்ற சீரலைவு விலையின் (அலைது இயககி விலையின்) அதிரசவண்ணும் அதிரவுறும் சபோருளின் இயலபு அதிரசவண்ணும் ைமமோ்க இருககும். இதன் விலளவினோல அதிரவுறும் சபோருளின் வீச்சு அதி்கரிக்க ஆரம்பித்து சபரும வீச்சு நிலைலயப் சபறும். இநத நி்கழலவ ஒத்ததிரவு எனவும் அதன் அதிரவு்கள் ஒத்திலைவு எனவும் அலழக்கப்படுகி்றது. **எடுத்துககோட்டு:
ஒலியோல ்கண்ணோடி உலடதல_
கரடிகயோ (அலைது சதோலைக- ்கோட்சி) ஏற்பி சுற்றுக்கலள, கரடிகயோ நிலையத்துடன் (அலைது
சதோலைக்கோட்சி) இலைவு சைய்தலில ஒத்திலைவு தத்துவம் பயன்படுகி்றது.
குறிபபு
| அைலேய ெதாட அைலகாலஆனா, அ ைறஉைற ைற ெகா ேட வ. |
|---|
குறிப்பு மின்தூககியில தனி ஊைல:
(i) a முடுக்கத்துடன் கமலகேோககி இயங்கும் மின் முடுக்கம்.
geff = g + a என்பதோல அலைவுகேரம்
T l g
l g aeff
= = +( )
2 2π π
அலைவுக்கோைமோனது புவிஈரப்பு முடுக்கத்திற் மின்தூககி கமகை இயங்கும்கபோது அலைவுக
(ii) a முடுக்கத்துடன் கீழகேோககி இயங்கும் மின்தூ
அலைவுகேரம் T l g
l g aeff
= = −( )
2 2π π
அலைவுக ்கோைமோனது புவிஈரப்பு முடுக்கத்திற் இயங்கும்கபோது அலைவுகேரம் அதி்கரிககும்.
(iii) மின் தூககியோனது a > g வுடன் விழும்கபோது எனகவ, அலைவுகேரம்
T l g
l a geff
= = −( )
2 2π π
இநநி்கழவில, ஊைல தலைகீழோ்க திரும்பி அத அலைவுறும்.
(iv) மின்தூககியோனது a = g என்்ற முடுக்கத்துடன் geff = g - g =0. எனகவ அலைவுகேரம் T → ∞ எனும்கபோது ஊைைோனது அலைவு்றோ
(v) தனிஊைைோனது கிலடத்தளத்தில a முடுக்கத் லவக்கப்பட்டுள்ளது எனில சதோகுபயன் முடுக
T l g
l g aeff
= = +
2 2 2 2
π π .
ஒத்திலைவு அதிரவு்கள் போைத்தில ஏற்படுவலத தவிரக்க போைத்தின் மீது இரோணுவ வீரர்கள் அணிவகுத்து ்கடநது
சைலை அனுமதிக்கப்பட மோட்டோர்கள். இரோணுவ வீரர்கள் போைத்லதக ்கடநது
சைலலும்கபோது, அவர்கள் போைத்தின் மீது ்கோைடி எடுத்து லவககும் அதிரசவண் போைத்தின் இயலபு அதிரசவண்ணிற்கு ைமம் எனில இப்போைம் ஒத்திலை அதிரவு்கலள சப்றைோம். வீச்சின் மதிப்பு மி்கப்சபரியது என்பதோல போைம் இடிநதுவிழ வோய்ப்புள்ளது.
தூககி ஈரப்பு முடுக்கத்தோல ஏற்படும் சதோகுபயன்
கு எதிரத்கவில சதோடரபுலடயது. எனகவ ்கோைம் குல்றகி்றது. ககி சதோகுபயன் geff = g - a என்பதோல
.
கு எதிரத்கவில உள்ளதோல மின்தூககி கீழகேோககி
சதோகுபயன் முடுக்கம் geff = a - g .
னுலடய சபரும உயரப்புள்ளிலயப் சபோருத்து
கீகழ விழும்கபோது சதோகுபயன் முடுக்கம்
து மற்றும் அதன் இயக்கம் நிறுத்தப்படுகி்றது.
_துடன் இயங்கிக ச்கோண்டு இருககும் ்கோரில ்கம் geff = g a_2 2+ எனகவ, அலைவுகேரம்
„ ஒரு சபோருள் அலைது து்கள் குறிப்பிட்ட ்கோை இல முன்னும் பின்னும் திரும்ப திரும்ப இயக்கமல அதிரவியக்கம் எனப்படும்.
„ தனிச்சீரிலை இயக்கத்திற்கு ஒரு சபோருளின்மீது சை புள்ளியிலிருநது அது அலடநத இடப்சபயரச்சிககு கேோககியதோ்க அலமயும்.
விலை Fx „ இங்கு k என்பது விலை மோறிலி, அதன் மதிப்பு ஓரைகு „ சீரிலை இயக்கத்திலுள்ள து்கள் ஒன்றின் இடப்சபய „ சீரிலை இயக்கத்திலுள்ள து்கள் ஒன்றின் திலைகவ
„ சீரிலை இயக்கத்திலுள்ள து்கள் ஒன்றின் முடுக்கம்
„ து்கள் ஒன்று ஒரு அலைலவ முழுலமயோ்க நி்கழ
வலரயறுக்கப்படுகி்றது. இதலன T எனக குறிப்பி
„ ஒரு து்களோல ஓரைகு ்கோைத்தில ஏற்படுத்து எனப்படும். இது f என குறிக்கப்படுகி்றது. இதன் அதிரசவண்ணோனது அலைவுக்கோைத்துடன் f =
„ க்கோணச்சீரிலை இயக்கத்தின் அதிரசவண் f = 2
„ n சுருள்வில சதோடர இலணப்பில உள்ளகபோது சு
1 1 1 1
1 2 3_k k k ks_
= + +
„ n சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில உள்ளகபோது
kp=
„ U வடிவக குழோயில உள்ள திரவம் அலைவுறும்கப
„ ஆற்்றல மோ்றோ அலமப்பு ஒன்றில ஒரு பரிமோணத்தி
எண்ணியல முல்றயில F dU dx
=− எனப் சப்றப்ப
„ தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில உள்ள து்கள் ஒன்றின்
„ தனிச்சீரிலை இயக்கத்தில உள்ள து்கள் ஒன்றின்
„ சீரிலை இயக்கத்தில உள்ள து்கள் ஒன்றின் சமோத்
„ அலைவு்களின் வல்க்கள் – ்கட்டற்்ற அலைவு அலைவு்கள் மற்றும் திணிப்பு அதிரவு்கள்
„ ஒத்ததிரவு என்பது திணிப்பு அதிரவு்களின் சி்றப்பு
்போடச்சுருககம்
டசவளியில ஒரு புள்ளிலய ஆதோரமோ்கக ச்கோண்டு டநதோல அவவியக்கம் அலை இயக்கம் அலைது
யலபடும் விலை அலைது முடுக்கமோனது நிலையோன கேரத்கவிலும் எப்சபோழுதும் அநநிலைப்புள்ளிலய
= − _k x நீளத்தில சுருள்வில உணரும் விலைககுச் ைமம். ரச்சி, y = A sin ωt. ்கம் v = A ω cos ωt = ω A y_2 2- .
, a d y dt
y= =− 2
2 2ω .
த்த எடுத்துக ச்கோள்ளும் ்கோைம் அலைவு கேரம் என
டைோம். அலைவுகேரம் T = 2π ω
.
ம் அலைவு்களின் எண்ணிகல்க அதிரசவண் அைகு s−1 அலைது சேரட்ஸ் ்கணிதமுல்றப்படி
T 1 எனும் சதோடரலப சபற்றுள்ளது.
I 1 π
κ in Hz
ருள் மோறிலியின் சதோகுபயன் 1 1
0_k kn ii_
n
+ + = = ∑…
சுருள் மோறிலி்களின் சதோகுபயன்
k i
n
i = ∑
1
ோது அதன் அலைவுகேரம் T l g
=2 2
π விேோடி
ல விலையின் புைமோனது நிலையோற்்றலில இருநது
டுகி்றது.
நிலை ஆற்்றல U x m x( )=1 2
2 2ω .
இயக்க ஆற்்றல KE mv m xx= = − 1 2
1 2
2 2 2 2ω (A ) .
த ஆற்்றல E m A= = 1 2
2 2ω மோறிலி
்கள், தலடயுறு அலைவு்கள், நிலைநிறுத்தப்பட்ட
வல்கயோகும்.
த ைச இ
F=−_kx x_=a= −ω2 A sinω t a= −ω2 y
dt 2 d 2_x_ + ω
U= 2 1 kx 2_F_ = − dx
dU
TE = 2 1 _k A_2 KE = 2
1 mv 2
L
T
ms
Ø
Ø-mg sinØ
வைகெக சமபா
T = 2π g l
dt 2 _d_2 = − l
g
(2
(1
U - வ வ ழா
T = 2π _2_g l
dt 2 d 2_y_ =− l
2_g y_
அைல
த ஊச
வைக ெக சமபா
அைல ேநர அைல ேநர
கருத்து வ
யக (SHM)
V=Aω cosωt +A sinω_t_
v = ω _A_2 − y 2
T = ω 2π
2_x_ = 0
ேகாண SHM
ω = I κ
ேந ேபா SHM
ω = m k
–ைற அைம
) பக இைண
) ெதாட இைண
k
c m
k1
k1
k2 m
m k2
k p = k1 + _k_2
k s = _k_1 + _k_2
_k_1_k_2
க
க இைண
லர்படம்
| Ø Ls | Tm |
|---|
| n Ø |Ø |
I. ைரியோை விலடலய ந்தரக்தடுகக 1. தனிசீரிலை இயக்கத்தில ஒரு முழு
அலைவிற்்கோன இடப்சபயரச்சிககு எதிரோன முடுக்கமோனது ஏற்படுத்துவது
(NSEP 2000-01 model)
(a) நீள்வட்டம் (b) வட்டம் (c) பரவலளயம் (d) கேரகக்கோடு
2. சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் து்கள், A மற்றும் B என்்ற புள்ளி்கலள ஒகர திலைகவ்கத்துடன் ்கடககி்றது. A யிலிருநது B ககு சைலை எடுத்துகச்கோள்ளும் கேரம் 3 s மற்றும் B யிலிருநது A ககு சைலை மீண்டும் 3 s எடுத்துகச்கோள்ளுகி்றது எனில அதன் அலைவுகேரம். (a) 15 s (b) 6 s
(c) 12 s (d) 9 s
3. புவியின் கமற்பரப்பில உள்ள வினோடி ஊைலின் நீளம் 0.9 m. புவிலயப்கபோை n மடங்கு முடுக்கத்லதப் சபற்றுள்ள X என்்ற க்கோளின் கமற்பரப்பில உள்ளகபோது அகத ஊைலின் நீளம் (a) 0.9n (b) 0 9.
n m
(c) 0.9n2m (d) 0 9
2
.
n 4. a முடுக்கத்துடன், கிலடத்தளத்தில இயங்கிக
ச்கோண்டிருககும் பள்ளி வோ்கனத்தின் கமற்கூலரயில ்கட்டி சதோங்்கவிடப்பட்ட தனி ஊைல ஒன்றின் அலைவுகேரம்.
_a) T_∝ g a
a 1
2 2+ _b) T_∝
1
2 2_g a_+
c) T_∝_T g aa 2 2+ d) T_∝_T a (g a ) 2 2+
5. 1:2 என்்ற விகிதத்தில நில்றச்கோண்ட A மற்றும் B என்்ற இருசபோருள்்கள், முல்றகய kA மற்றும் kB சுருள்மோறிலி ச்கோண்ட நில்றயற்்ற இரு சுருள்வில்கள் மூைம் தனித்தனிகய சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ளது. இரு சபோருள்்களும் சைங்குத்தோ்க அலைவுறும் கபோது அவற்றின் சபருமத்திலைகவ்கங்்கள் 1:2 என்்ற விகிதத்தில உள்ளகபோது A யின் வீச்ைனோது B யின் வீச்லைப்கபோல _______ மடங்்கோகும்
a) k k
B
_A_2 b) k
k B
_A_8
c) 2_k k_
B
A
d) 8_k k_
B
A
6. m நில்றயுடன் இலணக்கப்பட்ட சுருள்விலைோனது சைங்குத்தோ்க அலைவுறும்கபோது அதன் அலைவுகேரம் T ஆகும். அச்சுருள்விலைோனது இரு ைமபோ்கங்்களோ்க சவட்டப்பட்டு அவற்றுள் ஒன்றுடன் அகத நில்ற சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ளது அதன் சைங்குத்து அலைவின் அலைவுகேரம்
a) ′=_T T_2 b) ′=T T 2
c) ′=_T T_2 d) ′=T T 2
7. ஒரு தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் இடப்சபயரச்சி, y(t) = A sin (ωt + ϕ). இங்கு A என்பது அலைவின் வீச்சு, ω என்பது க்கோண அதிரசவண் மற்றும் ϕ என்பது ்கட்டம். அலைவின் வீச்சு 8 cm மற்றும் அலைவு கேரம் 24 s. சதோடக்க கேரத்தில (t = 0) இடப்சபயரச்சி 4 cm எனில, t = 6 s கேரத்தில இடப்சபயரச்சி:
(a) 8 cm
(b) 4 cm
(c) 3 cm4
(d) 3 cm8
்பயிறசி விைோககள்
8. ஒரு தனி ஊைலின் அலைவுகேரம் T1 அது சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ள புள்ளியோனது y = k t2 என்்ற ைமன்போட்டின்படி சைங்குத்தோ்க கமலகேோககி இயங்குகின்்றது. இங்கு y என்பது ்கடநத சைங்குத்து சதோலைவு மற்றும் k = 1 m s−2, இதன் அலைவுகேரம் T2 எனில T
T 1 2
2 2
(g = 10 m s_−_2) (IIT 2005) என்பது
a) 5 6
b) 11 10
c) 6 5
d) 5 4
9. k சுருள் மோறிலி ச்கோண்ட ேலலியலபு சுருள் விலைோனது ஓர அல்றசயோன்றின் கமற்கூலரயில சபோருத்தப்பட்டு அதன் கீழமுலனயில M நில்ற ச்கோண்ட சபோருளோனது சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ளது. சுருள்விலலை நீட்சியு்றோத நிலையில சபோருலள விடுவிககும் கபோது சுருள் விலலின் சபரும நீட்சி (IIT 2002)
a) 4 Mg k
b) Mg k
c) 2 Mg k
_d) Mg k_2
10. தனி ஊைல ஒன்று மி்க அதி்க உயரம் ச்கோண்ட ்கட்டிடத்தில சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ளகபோது, சீரிலை அலை இயற்றிலயப் கபோை தன்னிச்லையோன முன்னும் பின்னும் இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்கி்றது. ைமநிலைப்புள்ளியிலிருநது 4 m சதோலைவில, ஊைல குண்டின் முடுக்கமோனது 16 m s−2 எனில அதன் அலைவுகேரம்
(NEET 2018 model)
a) 2 s b) 1 s c) 2_π_s (d) π_s_
11. ஒரு உள்ளீடற்்ற க்கோள்கம் நீரினோல நிரப்பட்டுள்ளது இது ஒரு நீண்ட ்கயிற்றினோல சதோங்்கவிடப்பட்டுள்ளது. க்கோளத்தின் அடிப்- பகுதியின் உள்ள ஒரு சிறு துலளயினோல நீரோனது சவளிகயறும் நிலையில க்கோளம் அலைவுறும்கபோது அதன் அலைவுகேரம் (a) ஆரம்பத்தில அதி்கரித்து பி்றகு குல்றயும்
(b) ஆரம்பத்தில குல்றநது பி்றகு அதி்கரிககும் (c) சதோடரநது அதி்கரிககும் (d) சதோடரநது குல்றயும்
12. அலையியற்றியின் தலடயுறு விலையோனது திலை கவ்கத்திற்கு கேரத்த்கவில உள்ளது எனில த்கவு மோறிலியின் அைகு (AIPMT 2012)
a) kg m s_−1 b)_ kg m s_−2_
c) kg s_−1 d)_ kg s
13. 1 rad s–1 க்கோண அதிரசவண் ச்கோண்ட, தனிச்சீரிலை இயக்கத்திலுள்ள ஒரு து்களின் சமோத்த ஆற்்றல 0.256 J. t =
π 2
s கேரத்தில
அத்து்களின் இடப்சபயரச்சி 2 cm8 எனில, அவவியக்கத்தின் வீச்சு:
a) 8 cm b) 16 cm c) 32 cm d) 64 cm
14. தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் ஒரு து்களின் இடப்சபயரச்சி y - ஆனது t0, 2t0 மற்றும் 3t0 கேரங்்களில முல்றகய A, B மற்றும் C எனில,
∙_A_ + C 2_B_
∙ன் மதிப்பு:
(a) cos ω_t0 (b) cos_ 2ω_t0_
(c) cos 3_ω_t0 (d) 1 15. சுருள்விலலின் ஒரு முலனயில இலணக்கப்பட்ட
3 kg நில்றயோனது உரோய்வற்்ற, ைமதள கமலை ஒன்றின் மீது 2π அலைவு கேரமும் 2m வீச்சும் உலடய தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்கி்றது எனில, அச்சுருள்விலலின் மீது சையலபடும் சபரும விலை
(a) 1.5 N (b) 3 N (c) 6 N (d) 12 N
விலடகள்: 1) d 2) c 3) a 4) b 5) b 6) b 7) d 8) c 9) c 10) d 11) a 12) c 13) b 14) a 15) c
II. சிறு விைோககளுககு விலடயளிகக 1. சீரலைவு மற்றும் சீரற்்ற அலைவு இயக்கம்
என்்றோல என்ன? இரு உதோரணங்்கள் தரு்க
2. சுருள் விலலின் விலை மோறிலி என்்றோல என்ன?.
3. தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் அலைவுகேரம் வலரயறு.
4. தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் அதிரசவண் வலரயறு.
5. ஆரம்ப ்கட்டம் (epoch) என்்றோல என்ன?.
6. இரு சுருள்வில்கள் சதோடர இலணப்பில உள்ள சதோகுப்லப பற்றி சிறு குறிப்பு வலர்க.
7. இரு சுருள்வில்கள் பக்க இலணப்பில உள்ள சதோகுப்லப பற்றி சிறு குறிப்பு வலர்க.
8. தனி ஊைலின் அலைவுகேரம் பற்றி எழுது்க.
9. தனி ஊைலின் விதி்கலளத் தரு்க?.
10. கேரகபோககு சீரிலை அலையியற்றியின் அலைவுகேரம் பற்றி எழுது்க.
11. ்கட்டற்்ற அலைவு்கள் என்்றோல என்ன?.
12. தலடயுறு அலைவு்கலள விளககு்க. எடுத்துக்கோட்டு தரு்க.
13. திணிப்பு அதிரவு்கலள வலரயறு. எடுத்துக்கோட்டு தரு்க.
14. நிலை நிறுத்தப்பட்ட அலைவு்கள் என்்றோல என்ன? எடுத்துக்கோட்டு தரு்க.
15. ஒத்ததிரவு விளககு்க. எடுத்துக்கோட்டு தரு்க.
III. க்பரு விைோககள் 1. சீரிலை அலை இயக்கம் என்்றோல என்ன?
எடுத்துக்கோட்டு தரு்க மற்றும் எலைோ சீரிலை இயக்கங்்களும் சீரலைவு இயக்ககம ஆனோல அதன் மறுதலை உண்லமயலை ஏன்?. விளககு்க.
2. சீரோன வட்ட இயக்கத்தின் வீழல சீரிலை இயக்கம் என்பலத விவரி.
3. க்கோணச்சீரிலை அலையியற்றி என்்றோல என்ன? அதன் அலைவுக ்கோைத்லத ்கணககிடு்க.
4. சீரிலை அலை இயக்கத்திற்கும் க்கோண சீரிலை அலை இயக்கத்திற்கு இலடகயயோன கவறுபோடு்கலள தரு்க.
5. தனிஊைலை விரிவோ்க விவோதிக்க. 6. சுருள்விலலின் கிலடத்தள அலைவு்கலள
விவரி. 7. சுருள்விலலின் சைங்குத்து அலைவு்கலள
விவரி. 8. U வடிவககுழோயில திரவ தம்பத்தின்
அலைவு்கலளப் பற்றி சிறுகுறிப்பு வலர்க. 9. தனிச்சீரிலை இயக்கத்தின் ஆற்்றலை விரிவோ்க
விவோதிக்க. 10. அலைவு்களின் ேோன்கு வல்க்கலள விரிவோ்க
விளககு்க.
IV. எண்ணியல் கணககுகள் 1. ஒரு பரிமோணத்தில இயங்கும் அலமப்பின்
சமோத்த ஆற்்றல E = p 2
x
2_m + V(x) = மோறிலி, இங்கு_
p x என்பது x – கூறில கேரகக்கோட்டு உநதம் மற்றும்
V(x) என்பது அலமப்பின் நிலை ஆற்்றல ஆகும். ஆற்்றலின் சமோத்த கேர வல்ககச்கழுவோனது,
விலை Fx = – d
dx V(x) தருகி்றது என நிரூபி.
நிலை ஆற்்றல V(x) = 1 2
kx2 என கதரநசதடுப்பதன்
மூைம் ேுககின் விதிலய ைரிபோரக்கவும்.
2. கிலடத்தளத்துடன் 45° க்கோணம் ஏற்படுத்தும் ைோய்தளத்தில லவக்கப்பட்டுள்ள உருளும் டிரோலியில l = 0.9 m நீளமுள்ள தனிஊைல முல்றயோ்க சபோருத்தப்பட்டுள்ளதோ்க ச்கோள்கவோம். ைோய்தளமோன உரோய்வற்்றது எனில தனிஊைலின் அலைவுக்கோைத்லத ்கணககிடு்க.
விலட: 0.86 s
3. ρ அடரத்தி ச்கோண்ட திரவத்தின் மீது m நில்றச்கோண்ட மரக்கட்லட மிதநது ச்கோண்டிருககி்றது. அக ்கட்லட இகைைோ்க கீழகேோககி அமுக்கப்பட்டு விடப்படும் கபோது சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்கி்றது. அதன்
அலைவுகேரம் T m Ag
=2π ρ
எனக ்கோட்டு்க.
4. ஒத்த அதிரசவண்ணும் சவவகவ்றோன வீச்சு்களும் ச்கோண்ட இரு சீரிலை இயக்கங்்கள் x மற்றும் y அச்சு்களின் வழிகய x = A sin (ωt + φ) (x அச்சின் வழியோ்க) மற்றும் y = B sin ωt (y அச்சின் வழியோ்க) என்்ற வீச்சு்களுடன் இயக்கமலடகி்றது எனக ச்கோள்்க.
x A
y B
xy AB
2
2
2
2 22
+ − =cos sinϕ ϕ எனக ்கோட்டு்க
a. φ = 0 b. φ = π c. ϕ π =
2
d. ϕ π =
2 மற்றும் A = B (e) ϕ π
= 4
ஆகிய சி்றப்பு நி்கழவு்கலளயும் விவோதிக்க. குறிபபு: து்களோனது ஒன்றுக ச்கோன்று
சைங்குத்தோ்க சையலபடும் இரு சீரிலை இயக்கங்்களுககு உட்படுத்தப்படும் கபோது து்களோனது கவறுபோலதயின் வழியோ்க இயக்கமலடயும், அப்போலதகய லிைோக�ோ படம் என்று அலழக்கப்படுகி்றது.
விலட
(a) y B A
x= , என்்ற ைமன்போடு ஆதிவழிச்
சைலலும் கேரமல்ற ைோய்வுடன் கூடிய கேரகக்கோட்டுச் ைமன்போடோகும்.
(b) y B A
x=− , என்்ற ைமன்போடு ஆதிவழிச்
சைலலும் எதிரமல்ற ைோய்வுடன் கூடிய கேரகக்கோட்டுச் ைமன்போடோகும்.
(c) x A
y B
2
2
2
2 1+ = என்்ற ைமன்போடு நீள்
வட்டத்தின் ைமன்போடோகும். அதன் லமயம் ஆதியில அலமயும்.
(d) x2+y2 = A2, என்்ற ைமன்போடு வட்டத்திற்்கோன ைமன்போடோகும். அதன் லமயம் ஆதியில அலமயும்.
(e) x A
y B
xy AB
2
2
2
2
2 1 2
1 2
+ − = , என்பது நீள்
வட்டத்தின் ைமன்போடோகும். (ைோய்நத நீள்வட்டம்)
k1k
5. தனிச்சீரிலை இயக்கத்லத கமற்ச்கோள்ளும் து்களின் (a) இயக்க ஆற்்றலின் ைரோைரி மதிப்போனது
நிலையோற்்றலின் ைரோைரி மதிப்பிற்குச் ைமம். (b) ைரோைரி நிலையோற்்றல = ைரோைரி இயக்க
ஆற்்றல = 1 2
(சமோத்த ஆற்்றல) எனக ்கோட்டு்க
குறிப்பு : ைரோைரி இயக்க ஆற்்றல
= <இயக்க ஆற்்றல> = 1 0_T_
Kineticenergy dt T ( )∫ (இயக்க ஆற்்றல)dt
மற்றும் ைரோைரி நிலையோற்்றல
= <நிலையோற்்றல> = 1 0_T_
Kineticenergy dt T ( )∫ (நிலையோற்்றல)dt
6. கீழக்கோணும் அலமப்பில நில்ற m ஆனது ைமநிலைப்புள்ளியிலிருநது சைங்குத்தோ்க கீழகேோககி சிறிது இடம்சபயரச்சி சைய்து பின் விடப்பட்டோல அலைவு கேரத்திற்்கோன ைமன்போட்லட ்கணககிடு்க.
(்கப்பி சமலலியது மற்றும் உரோய்வற்்றது கமலும் ்கம்பியும் சுருள்விலலும் கைைோனது)
k2
m
k
m
k
m
k2
1
m
k
m
k
m
குறிப்பு மற்றும் விலட்கள்: கேரவு (a)
இங்கு ்கப்பியோனது சுருள் விலலினுள் சபோருத்தப்பட்டுள்ளது. நில்றயோனது y - ககு இடம்சபயரநதோல சுருள்விலலும் y ககு நீட்சி அலமயும். எனகவ, F = T = ky
T m k
= 2π
கேரவு (b) நில்ற y ககு இடம்சபயரநதோல, ்கப்பி y அளவு
நீட்சி அலடயும். T = 4ky
T m k
= 2 4
π
(a) (b)
நமறநகோள் நூல்கள் (BOOKS FOR REFERE 1. Vibrations and Waves – A. P. French, CBS p
2. Concepts of Physics – H. C. Verma, Volume
3. Fundamentals of Physics – Halliday, Resnick
4. Physics for Scientist and Engineers with M Publishers, Eighth Edition.
NCE) ublisher and Distributors Pvt. Ltd.
1 and Volume 2, Bharati Bhawan Publisher.
and Walker, Wiley Publishers, 10th edition.
odern Physics – Serway and Jewett, Brook/Coole
அதிரவி
அதிரவு்கள் பற்றி அறிநது ச்கோள்கவோமோ!
்படிகள்
• கீழக்கோணும் உரலி / விலரவுக குறியீட்லடப் பயன் பக்கத்திற்குச் சைல்க.
• சையலபோட்டிற்்கோன ைோளரத்தில ஒலி அதிரவு உண் சபோத்தோலன அழுத்தி, கீகழ ச்கோடுக்கப்பட்டுள்ள “s ே்கரத்தி அதிரவு்கலளக ்கோணவும்
• வைப்பக்க ைோளரத்தில “Number of Resonators”, “M கபோன்்றவற்றின் ே்கரத்திலய ே்கரத்தி “frequency
• சவவகவறு அதிரவு்கலளக ்கோண “Gravity"என்ப
உரலி: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/resona *படங்்கள் அலடயோளத்திற்கு மட்டும். * கதலவசயனில Flash Player or Java Script அனுமதிக்க.
இலணயச் கையல்்போடு
்படி 1
்படி 3
யககம்
படுத்தி “Resonance” என்னும் இலணயப்
டோககும் ்கருவி ச்கோடுக்கப்பட்டிருககும். ’Play’ im speed” என்பதில உள்ள ே்கரத்திலய
ass” மற்றும் “Spring constant” " என்பதில அதிரசவண்்கலளக ்கோணவும். தில” On”, “Off” என்பலதத் சதரிவு சைய்யவும்.
nce
்படி 4
்படி 2