அலகு
அறிமுகம்
அன்்ாட வாழகமகயில் நாம் பயன்படுத்தும் ்பாருடகளில் ்பரும்பாலானமவ அதிக எணணிகமக ்காணட துகளகளால் ஆனதே. இேற்கு முன் உளள அலகுகளில் ்பாருடகளின் உருவ ைற்றும் வடிவ அமைப்மபக கருோைல், அவற்றின் இயககத்மேப் பற்றிப் பயின்த்ாம். இதுவமை மிகப் ்பரிய ்பாருளாக இருநோலும் அமே ஒரு புளளிப் ்பாருளாக (Point object) ைடடுதை கருதிதனாம். இநே அலகில், ்பாருளின் உருவ ைற்றும் வடிவ அமைப்பிற்கு முககியத்துவம் ் காடுகக உளதளாம். ்பாதுவாகதவ இத்ேமகய ்பாருடகள அதிக அளவிலான துகளகளால் ஆனமவ. ஆகதவ அப் ்பாருளகள நகரும் தபாது அமே துகளகளால் ஆன ஒரு ்ோகுப்பின் ஒடடு ்ைாத்ே இயககைாகதவ கருதுகித்ாம். இத்துகளகளால் ஆன அமைப்பிமனக கணககில் ்காளளும் தபாது, நிம் மையம் என்் கருத்மே நாம் வமையறுககலாம்.
இந்த அலகில் மாணவரகள் அறிநது ககாள்்ள இருப்பது • துகளகளால் ஆன பல்தவறு அமைப்பின் நிம
்ோடர்புமடய கருத்துகள • சுழற்சி இயககத்தின் திருப்பு விமை ைற்றும் த • ைைநிமலயின் வமககள ைற்றும் அேற்கு உரி • பல்தவறு திணைப் ்பாருடகளின் நிமலைத் தி • திணைப் ்பாருடகளின் சுழற்சி இயககவியல் • சுழற்சி இயககத்திமன இடப்்பயர்வு இயககத் • உருளும் இயககம், நழுவும் ைற்றும் ைறுககும்
இயற்கையில் நாம் கைாண்பது, புள்ளி நி்ைகை்ை அ
கற்றலின் ந�ாககஙகள்:
லான அமைப்பு ைற்றும் பாருடகளின் இயககம்
: ் மையம் ைற்றும் அேதனாடு
காண உநேம் பற்றிய கருத்து ய எடுத்துககாடடுகள
ருப்புத்தி்ன்
திலிருநது தவறுபடுத்துேல் இயககஙகள.
இப்்பரிய (கனைான) ்பாருடகளின் மீது ்ையல்படும் விமைகள அக ைற்றும் பு் விமைகள என வமகப்படுத்ேப்படுகின்்ன. ்பாருளின் அமைப்பிற்குள உளள துகளகளுககிமடதய ்ையல்படும் விமைமய அகவிமை என்கித்ாம். ்வளிப்பு்த்தில் இருநது துகளகள அடஙகிய அமைப்பின் மீது ்ையல்படும் விமைமய பு் விமை என்கித்ாம். இப்பகுதியில், துகளகளினால் ஆன அமைப்புகமளக ்காணடு உருவாககும் திணைப் ்பாருடகமளப் பற்றிப் படிகக உளதளாம். ஒரு ்பாருளின் மீது எத்ேமகய பு்விமை ்ையல்படடாலும், அது ேனது பரிைாணத்மேதயா, உருவ அமைப்மபதயா ைாற்்ாைல் இருககுதையானால் அப்்பாருள திணைப்்பாருள எனப்படும். அோவது பு்விமைகள ்ையல்படும் தபாதும் திணைப் ்பாருளின் அணுவிமடத் ்ோமலவு ைா்ாது. ஆனால் நமடமும்யில் முழுமையான திணைப் ்பாருள என்பது கிமடயாது. ஏ்னனில் விமை ்ையல்படும் தபாது அமனத்துப் ்பாருடகளுதை ேனது வடிவத்மேதயா அல்லது உருவ அமைப்மபதயா ைாற்றிக ்காளகின்்ன. இநே அலகில் திணைப்
ல்்ல, மாைாகை திணமப் ப்பாருடகைளை… – தைகஸ் பிளாஙக (Max Planck)
5.1.1
்பாருடகளில் ஏற்படும் உருவ ைாற்்த்மேப் பு்ககணிககத்ேககோக எடுத்துக்காளகித்ாம். அலகு 7 இல் திடப்்பாருடகளின் மீடசியியல் என்் ேமலப்பின் கீழ ்பாருடகளின் மீோன உருவ ைாற்்த்மேப் பற்றித் ேனியாகப் பயில உளதளாம்.
நிம்ற மமயம் (CENTRE OF MASS)
இயஙகும் திணைப் ்பாரு்ளான்றில் உளள அமனத்துத் துகளகளும் ஒதை பாமேயில் இயஙகுவதில்மல. இயககத்தின் வமகமயப் ்பாருத்து ஒவ்்வாரு துகளும் ்வவ்தவ்ான பாமேமய தைற்்காளளும். எடுத்துககாடடாக, ஒரு பைப்பில் உருளும் ைககைத்தில், மையத்தின் பாமேயும், ைற்் புளளிகளின் பாமேயும் ்வவ்தவ்ாக இருககும். இநே அலகில் திணைப்்பாருளின் இடப்்பயர்வு ைற்றும் சுழல் இயககஙகமளப் பற்றியும் இமவ இைணடும் இமணநே இயககத்மேப் பற்றியும் விரிவாகப் படிகக உளதளாம்.
திணமப க்பாருளின் நிம்ற மமயம்
்பாரு்ளான்று (கிரிக்கட ைடமட-bat) காற்றில் குறிப்பிடட தகாணத்தில் எறியப்படும் தபாது நிம்மையம் ்ைல்லும் பாமே படம் 5.1 இல் காடடப்படடுளளது. ைடமடயின் அமனத்துப் புளளிகளும் பைவமளயப் பாமேமய தைற்்காளகின்்னவா?. உணமையில் ஒதை ஒரு புளளி ைடடுதை பைவமளயப் பாமேமயயும் ைற்் புளளிகள ் வவ்தவறு பாமேமயயும் தைற்்காளளும்.
்படம் 5.1 நிம் மையத்தின் பைவமளயப் பாமே
பைவமளயப் பாமேமய தைற்்காளளும் அககுறிப்பிடட புளளிதய ்பாருளின் நிம் மையம் என்்மழககப்படுகி்து. இவ்வியககைானது ேனித்து எறியப்படட புளளிப்்பாருளின் இயககத்மே ஒத்திருககும். ்பாரு்ளான்றின் ஒடடு ்ைாத்ே நிம்யும் ்ைறிநதிருப்போகத் தோன்றும் புளளியானது ்பாருளின் நிம் மையம் என வமையறுககப்படுகி்து. ஆகதவ இப்புளளியானது ஒடடு ்ைாத்ேப் ்பாருமளயும் குறிககி்து. ஒழுஙகான வடிவம் ைற்றும் சீைான நிம்மயப் ்பற்றிருககும் ்பாருடகளில் நிம்மையைானது ்பாருளின் வடிவியல் மையத்தில்(Geometric centre) அமைநதிருககும். எடுத்துககாடடாக வடடம் ைற்றும் தகாளப் ்பாருடகளுககு நிம் மையைானது அேன் மையத்திலும், ைதுைம் ைற்றும் ்ைவ்வக வடிவப் ்பாருடகள, கனைதுைம் ைற்றும் கன்ைவ்வகப் ்பாருடகளுககு அவற்றின் மூமலவிடடஙகள ைநதிககும் புளளியிலும் நிம்மையம் அமைநதிருககும். ைற்் ்பாருடகளுககுச் சிலமும்கமளப் பயன்படுத்திக காணலாம். நிம் மையைானது ்பாருடகளின் உளதளதயா அல்லது ்வளிதயதயா அமையலாம்.
்பரவலாக அமமந்த புள்ளி நிம்றகளின் நிம்றமமயம்
ஒரு புளளி நிம் என்பது எவ்விே வடிவமும் அளவும் இல்லாைல் சுழியற்் நிம்மயக ்காணடோக அனுைானிககப்படட ஒரு புளளியாகும். m1, m2, m3 . . . mn என்் n புளளி நிம்கமளக ்காணட ்ோகுப்பின் நிம் மையத்மேக கணடறிய, முேலில் நாம் ஆதிப்புளளிமயயும் ேகுநே ஆய அச்சு அமைப்மபயும் ்ேரிவு ்ையய தவணடும். படம் 5.2 இல் காடடியுளள படி x1,x2,x3…xn ஆகியமவ x அச்சில் புளளி நிம்களின் ஆய அச்சு நிமலகளாகக கருதுதவாம். xcmஎன்பது எல்லா புளளி நிம்களின் நிம் மைய நிமலயின் x ஆயத் ்ோமலவு எனில், அேன் ைைன்பாடு
x m x mCM
i i
i
=∑ ∑
o
Y
X
Z
(xCM, yCM, zCM)
m1 m2
m3
m4
rCM
்படம் 5.2 பைவலாக அமைநே புளளி நிம்களின் நிம்மையம்
இஙகு, Σmi என்பது எல்லாத் துகளகளின் ்ைாத்ே நிம். அோவது, M என்பது m Mi ஆகும்.
x m x MCM
i i (5.1)
இமேப்தபான்த் (படம் 5.2 இல் காடடியுளளபடி) பைவலாய அமைநதுளள புளளி நிம்களின் நிம் மையத்திற்கான y, z ஆயத்்ோமலவுகமளயும் நாம் கணடறியலாம்.
y m y MCM
i i (5.2)
z m z MCM
i i (5.3)
ஆகதவ, கார்டடீசியன் ஆய அச்சு அமைப்பில் இப்புளளி நிம்களின் நிம் மையத்தின் நிமல (xCM, yCM, zCM) ஆகும். ்பாதுவாக, நிம்மையத்தின் நிமலமய ்வகடர் வடிவிதலதய எழுதுகித்ாம்.
r m r MCM
i i= ∑ (5.4)
இஙகு, CM CM CM CMr x i y j z ˆˆ ˆ k என்பது
நிம் மையத்தின் நிமல ்வகடர் ஆகும். தைலும்,
i i i ir x i y k̂ˆ ĵ z என்பது ஒரு குறிப்பிடட புளளி
நிம்யின் நிமல ்வகடர் ஆகும். இஙகு i, j, kˆ ˆ ˆ என்பமவ மும்தய X, Y ைற்றும் Z அச்சுகளின் திமையில் அமைநே ஓைலகு ்வகடர்கள ஆகும்.
இருபுள்ளி நிம்றகளின் நிம்ற மமயம்
நிம் மையத்திற்கான தைற்கணட ைைன்பாடடின் மூலம், X அச்சில் மும்தய x1 ைற்றும் x2 ் ோமலவில் அமைநதுளள m1, m2 என்் இைணடு புளளி நிம்களின் நிம் மையத்மேக கணடறிதவாம். இநதநர்வில், ஆய அச்சு அமைப்மபப் ்பாருத்து நிம் மையத்தின் நிமலமயக கீழககணட மூன்று வழிகளில் காணலாம்.
(i) நிம்றகள் ந�ர X அச்சில் உள்்ளந்பாது படம் 5.3 (a) இல் காடடப்படடுளளமேப் தபால m1, m2 என்் நிம்கள ேன்னிச்மையாக எடுககப்படட ஆதிப்புளளிமயப் ்பாருத்து தநர் X அச்சில் மும்தய x1, ைற்றும் x2 நிமலகளில் உளளோக எடுத்துக ்காளதவாம். தநர் X அச்சிதலதய xcm என்் ்ோமலவில் அமைநே நிம் மையத்தின் ைைன்பாடானது
x m x m x m mCM
1 1 2 2
1 2
(ii) நிம்றகளில் ஏந்தனும் ஒன்று ஆதியுடன் ஒன்றியுள்்ளந்பாது
படம் 5.3 (b) இல் காடடப்படடுளளவாறு ஏதேனும் ஒரு நிம் ஆய அச்சின் ஆதிப்புளளிதயாடு ஒன்றியுளள தபாது கணககீடானது இன்னும் எளிோககப்படுகி்து. புளளி நிம் m1 ஆதிப்புளளிதயாடு ஒன்றும்தபாது, அேன் நிமல x1 சுழியாகி்து அோவது, x1 = 0 எனதவ,
x m m x
m mCM
1 2 2
1 2
0
இமே தைலும் எளிோககும் தபாது
x m x m mCM
2 2
1 2
| Ym m1 , y2 , z )mCM CM CM3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| (x |
| o |r | | CM |m |4 |
(iii) நிம்றமமயமானது ஆதியுடன் ஒன்றியுள்்ளந்பாது
ஆய அச்சு அமைப்பின் ஆதிப்புளளியானது நிம் மையத்தோடு ஒன்றியுளள தபாது xCM = 0 தைலும் படம் 5.3 (c) இல் காடடியுளளபடி நிம் m1 ன் நிமலயானது எதிர்குறி X அச்சில் அமையும். எனதவ இேன் நிமல எதிர்குறியாக இருககும்.
0 1 1 2 2
1 2
m x m x
m m
0 1 1 2 2 m x m x ;
m x m x1 1 2 2=
தைதல ்காடுககப்படடுளள ைைன்பாடு திருப்புதி்ன்களின் ேத்துவம் எனப்படுகி்து. இமேப்பற்றி பிரிவு 5.3.3 இல் விரிவாகப் பயிலலாம்.
்படம் 5.3 ஆதிப்புளளிமய நகர்த்துவேன் மூலம் இைணடு புளளிநிம்களின் நிம்மையம் கணககிடப்படுகி்து
m1
x2 xCM
CM o
Y
X
m1 m2
(-x1) (+x2)
CM o
Y
X
m1 m2
m2
CM
x2 xCM
o
Y
X x1
(a) ைறக ேந X அ உளேபா
(b) ைறக ஏேத ஒ ஆேயா ஒ€ளேபா
(c) ைறைமயமான ஆ€ட ஒ€ளேபா
எடுத்துககாட்டு 5. 1 3 kg, 5 kg என்் இரு புளளி நிம்கள X அச்சில் ஆதிப்புளளியிலிருநது மும்தய 4 m, 8 m என்் ்ோமலவில் உளளன. இரு புளளி நிம்களின் நிம் மையத்தின் நிமலகமள, (i) ஆதிப்புளளியிலிருநதும் (ii) 3 kg நிம்யிலிருநதும் காணக. தீரவு m1 = 3 kg, m2 = 5 kg என எடுத்துக ்காளதவாம்.
(i) ஆதிபபுள்ளியிலிருநது நிம்ற மமயத்ம்தக கணடறி்தல்
CM3 kg 5 kg
4 m 8 m
xCM
o
Y
X
புளளி நிம்கள X அச்சில் ஆதிப்புளளியிலிருநது x1 = 4m, x2 = 8m என்் ்ோமலவில் உளளன. எனதவ நிம் மையம்.
x m x m x
m mCM = + +
1 1 2 2
1 2
xCM = ×( ) + ×( )
+ 3 4 5 8
3 5
x mCM = + = =12 40 8
52 8
6 5.
ஆதிப்புளளியிலிருநது நிம் மையம் 6.5 m ்ோமலவில் அமைநதிருககும்.
(ii) 3 kg நிம்றயிலிருநது நிம்ற மமயத்ம்தக கணடறி்தல் 3 kg நிம்மய ஆதிப்புளளிககு X அச்சில் இடைாற்்ம் ்ையவோக ்காளதவாம். ஆதிப்புளளியானது X அச்சில் 3 kg நிம்யுளள இடத்தில் எடுத்துக ்காளளப்படுகி்து. எனதவ 3 kg புளளி நிம்யின் நிமல சுழியாகும் (x1 = 0) ைாற்்ப்படட ஆதிப் புளளியிலிருநது 5 kg நிம் 4 m ்ோமலவில் உளளது. (x2 = 4m)
CM3 kg 5 kg
4 m xCM
o
Y
X
xCM = ×( ) + ×( )
+ 3 0 5 4
3 5 x mCM = + = =0 20
8 20 8
2 5.
3 kg புளளி நிம்யிலிருநது 2.5 m ்ோமலவில் (5 kg புளளி நிம்யிலிருநது 1.5 m ்ோமலவிலும்) நிம் மையம் அமைநதுளளது.
இம்முடிவானது, நிம் மையம் அதிக நிம்ககு அருகில் உளளமேக காடடுகி்து.
ஆதிப்புளளி நிம்மையத்தில் அமையுைாறு _கருதும்தபாது, திருப்புத் தி்ன்களின் ேத்துவத்மே ஒத்து அமைகி்து. m_1 _x_1 = _m_2 _x_2; 3 × 2.5 = 5 × 1.5; 7.5 = 7.5
நிகழவு (i) மய (ii) உடன் ஒப்பிடும் தபாது 3 kg நிம்யின் நிம்மையத்திமன 6.5 m லிருநது 4 m ஐக கழிகக xcm = 2.5 m எனவும் கணடறியலாம் இது நிகழவு (i) இன் நிம்மையத்தின் நிமலயிதலதய உளளது
எடுத்துககாட்டு 5.2 R ஆைமுமடய சீைான பைப்பு நிம் அடர்த்தி ்காணட வடடத்ேடடிலிருநது R
2 ஆைமுமடய ஒரு சிறு ேடடு வடிவப் பகுதி படத்தில் காடடியுளளவாறு ்வடடி எடுககப்படுகி்து. மீேமுளள பகுதியின் நிம் மையத்மேக கணககிடுக. தீரவு ்வடடப்படாே வடடத்ேடடின் நிம்யானது M என எடுத்துக ்காளக. இேனுமடய நிம் மையைானது வடடத்ேடடின் வடிவியல் மையத்தில் அமையும். இப்புளளியிதலதய ஆதிப்புளளியும் ஒருஙகமைகி்து.
்வடடி எடுககப்படட சிறு வடடத்ேடடின் நிம் m என்க. (அேன் நிம் மையம் ஆதிப்புளளிககு) வலது பு்த்தில் R
2 என்் ்ோமலவில் படத்தில் காடடியுளளவாறு அமைநதிருககும். எனதவ வடடத்ேடடின் மீேமுளள பகுதியின் நிம் மையம் ஆதிப்புளளிககு இடது பு்த்தில் X ்ோமலவில் உளளோக எடுத்துக ்காளதவாம். திருப்புத்தி்ன்களின் ேத்துவத்திலிருநது, கீழகணடவாறு எழுே முடியும்.
R/2R
mM-m
x R/2
R/2R
mM-m
x R/2
M m x m R−( ) = ( ) 2
x m M m
R= −( )
2
பைப்பு நிம் அடர்த்தி s M R 2 (s என்பது ஓைலகு
பைப்பின் நிம்) எனில், சிறிய வடடத் ேடடின் நிம் (m) என்பது
m = பைப்பு நிம் அடர்த்தி x பைப்பு
m R
2
2
m M R
R M R
R M
2
2
2
2
2 4 4 x-ன் ைைன்பாடடில் m-ன் ைதிப்மபப் பிைதியிட
x
M
M M R
M
M R
x R
= −
× =
×
=
4
4 2
4 3 4
2
6 மீேமுளள வடடத் ேடடின் நிம்மையைானது வடடத் ேடடின் மையத்திற்கு இடப்பு்ம் R
6 என்்
்ோமலவில் இருககும்.
| = பைÜ® m Mm RைைåபாடMx = 4 M −Rx =6 | ம்R 2 2 |
|---|
| M | | 4 |
| Y3 kg() ()CM 5 kgo4 m30x × +×54x =CM 35+02+ 0 20xm = == 25.8 8CMCM3 kg ®ள ம் ±ந« 2.5 m ்ோமலà (5 kg ®ள ம் ±ந« 1.5 m ்ோமல³Ý)ம் மையÝ அமைந«ளள«. |
|---|
| இݯ}வான«, ம் மையÝ அக ம்க ¤ அ±x à உளளமேக காட©x ் «. ஆÜ®ள ம்மையÚà அமை°ைா² க±«Ýதபா«, ±Ü®Ú ்åக å ேÚ«வÚமே ஒÚ« அமைx ் «.m x = m x ; 3 × 2.5 = 5 × 1.5; 7.5 = 7.51 1 2 2 | | கழ¶ (i) மய (ii) உடå ஒÜ©Ý தபா« 3 kg ம் å ம் மையÚமன 6.5 m ±ந« 4m ஐக ககக x = 2.5 m என¶Ý கணட யலாÝ இ« கழ¶ (i) இå ம் மையÚå மலதலதய உளள«cm |
| R | R/2 x()RMm− xm=() 2 m Rx = Mm− 2 | |
|---|---|---|
| () |
xcm c
எடுத்துககாட்டு 5.3 10 kg, 5 kg நிம்யுமடய இரு புளளி நிம்களின் நிமல ்வகடர்கள மும்தய ˆˆˆ( 3 2 4 )_i j k_ m,
ˆˆˆ(3 6 5 )_i j k_ m ஆகும். நிம் மையத்தின் நிமலமயக கணடறியவும். தீரவு:
1
2
1
2
1 1 2 2
1 2
10
5
ˆˆˆ( 3 2 4 )
ˆˆˆ(3 6 5 )
m kg
m kg
r i j k m
r i j k m
m r m rr m m
_r_
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ10( 3 2 4 ) 5(3 6 5 ) 10 5
i j k i j k
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ30 20 40 15 30 25 15 ˆˆˆ15 50 65
15
i j k i j k
i j k
_r_ =
10 13 ˆˆˆ 3 3
i j k m
_r என்பது நிம்மையத்தின் நிமல ்வகடமைக குறிககும்._
சீராகப ்பரவியுள்்ள நிம்றயின் நிம்ற மமயம்
ஒரு ்பரிய ்பாருளில் நிம்யானது சீைாக பைவியுளளது எனில் அதில் ஒரு சிறிய நிம் (∆m) ஆனது புளளி நிம்யாக எடுத்துக ்காளளப்படுகி்து. தைலும் அச்சிறிய துகளகளுமடய
்பரிய வடடத்ேடடிலிருநது ்பாதுவான மையத்மே (common centre) ்பாருத்து சிறிய பகுதி ்வடடி்யடுககப்படடால் மீேமுளள வடடத்ேடடின் நிம் மையம் எஙகு அமையும்?
நிம்களின் கூடடுத்்ோமகயிமனக ்காணடு நிம்மையத்தின் ஆயத்்ோமலவுகளுககான ைைன்பாடடிமனப் ்ப்லாம்.
x
m x m
y m y m
z m z m
CM i i
i
CM i i
i
CM i i
i
= ( )
= ( )
= ( )
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x m x m
y m y m
z m z m
CM i i
i
CM i i
i
CM i i
i
= ( )
= ( )
= ( )
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(5.5)
x m x m
y m y m
z m z m
CM i i
i
CM i i
i
CM i i
i
= ( )
= ( )
= ( )
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∆
∆
∆
∆
∆
∆
ைற்்்ாரு வமகயில் அநேச் சிறிய துகளகளின் நிம்மய மீநுண (infinitesimally small) ைதிப்பாக (மிகச்சிறியது) (dm) கருதும்்பாழுது கூடடுத்்ோமகமய கீழககணடவாறு ்ோமகயீடாகக கூ்லாம்.
x
xdm
dm y
ydm
dm
z zdm
dm
cm cm
cm
; ;
xdm
dm y
ydm
dm
z zdm
dm
cm
cm
; ; (5.6)
z
z
c
c
; ;
மீநுண ைதிப்பளவு என்பது சுழிமய தநாககிச் ்ைல்லககூடிய மிக மிகச் சிறிய அளவாகும்.
எடுத்துககாட்டு 5.4 M நிம்யும் l நீளமும் ்காணட சீைான நீள அடர்த்தி ்காணட (uniform rod) ேணடின் நிம் மையத்மேக கணக. தீரவு M நிம்யும் l நீளமும் உமடய ஒரு சீைான நீள அடர்த்தி ்காணட ேணடிமனக (uniform rod) கருதுக. அேன் ஒரு முமன படத்தில் காடடியுளளபடி ஆதிப்புளளியுடன் ஒன்றியிருப்போக எடுத்துக்காளதவாம். ேணடானது X அச்சில் மவககப்படடுளளது. ேணடினுமடய நிம்
| ggˆ 24ˆjk ˆ)ˆ 65ˆjk ˆ) m mrmmijˆˆ 24ˆˆ kiˆˆ)5 (3 65jk11 2212 | ) | |
|---|---|---|
| mk 10mk 5ri (31ri (32 mrr1 2 10(3r3015r ijˆ= r்வக |
| 10 5ijˆˆ 20 ˆˆ40kiˆˆ 15 30 jk |25 | | 15ijˆ 50 ˆ 65kˆ | | 1510 ˆ 13 kmˆ33எåப« ம்மையÚå டம ைக ¤க¤Ý. |மல |
| எ©Ú« க கா Ø© 5.310 kg, 5 kg ம்°மட ய இ± (3®ளijˆ 24ம்ˆ கå kˆ)(3மலijˆ 65 ்வˆ கடßகளkˆ) ¯ம்தய m, m ஆ¤Ý. ம் மையÚå ரமலமயக¶: கணட ய¶Ý.mk 10 gmk 5 gri (3 ˆ 24ˆjk ˆ)1ri (3ˆ 65ˆjk ˆ) m2 mr mrr1 mm 2 10(3ijˆˆ 24ˆˆ kiˆˆ)5 (3 65jk )r11 22 10 530ijˆˆ12 20 ˆˆ40kiˆˆ 15 30 jk 251515ijˆ 50 ˆ 65kˆ15r ijˆ 1033ˆ 13 kmˆ= rஎåப« ம்மையÚå மல்வகடம ைக ¤க¤Ý. |
|---|
மையத்மேக கணடறிய, ஆதிப்புளளியிலிருநது x ்ோமலவில் dx நீளமும் dm என்் மீநுண நிம்யும் ்காணட சிறுபகுதிமய எடுத்துக ்காளதவாம். ேணடின் நீள அடர்த்தி (ஓைலகு நீளத்திற்கான
நிம்) l = M l
சிறிய பகுதியின் நிம் dm M dx= l
ேணடின் நிம் மையத்திற்கான ைைன்பாடமட கீழககணடவாறு எழுேலாம்.
x xdm
dmCM = ∫ ∫
x x M dx
M xdxCM
o
o
=
= ∫
∫
1
=
=
1 2
1 2
2
0
2
l l
l
l
x
xCM = 2
நிமல l 2
என்பது ேணடின் வடிவியல் மையைாகும். இதிலிருநது சீைான ேணடிமனப் ்பாறுத்ேவமை அேன் வடிவியல் மையத்திதலதய (Geometric centre) நிம் மையம் அமையும் என்் முடிவிற்கு வைலாம்.
நிம்ற மமயத்தின் இயககம்
ஒரு திணைப் ்பாருள இயஙகும் தபாது, அேன் நிம் மையமும் ்பாருதளாடு தைர்நதே இயஙகும். நிம் மையத்தின் திமை தவகம் vCM முடுககம் aCM தபான்் இயககவியல் அளவுகமளப் ்ப்,
நிம் மையத்தின் நிமலமய ்ோடர் வமகயீடு
x
dx
o
்ையவேன்மூலம் ்ப்லாம். எளிமையாகக கணககிட, ்பாருள X – அச்சில் ைடடும் இயஙகுவோகக கருதுதவாம். ைைன்பாடு 5.5 லிருநது
v dx dt
m dx dt
m m v mCM
CM i
i
i
i i
i
v m v mCM
i i
i
(5.7)
a d dt
dx dt
dv dt
m dv dt
m
m
CM CM CM
i i
i
i
=
=
=
=
∑ ∑
∑ a m
i
i∑
a m a mCM
i i
i
(5.8)
பு்விமைகள இல்லாே தபாது,
Fext = 0 அமைப்பின் ேனித்ேனியான துகளகள அகவிமையினால் ைடடுதை இயககதைா அல்லது இடப்்பயர்தவா அமடயும். இது நிம்மையத்தின் நிமலமய பாதிககாது. அோவது பு்விமை இல்லாேதபாது நிம் மையம் ஓயவு நிமலயிதலா அல்லது சீைான இயககநிமலயிதலா இருககும். எனதவ நிம் மையம் ஓயவு நிமலயில் இருககும் தபாது vCM
சுழியாகும். சீைான இயககத்தில் உளளதபாது நிம்மையத்தின் திமைதவகம் ைாறிலியாக இருககும். ( v or vCM CM= =0 ைாறிலி). இஙதக நிம் மையைானது முடுககத்திமனக ்காணடிருககாது a CM =( )0 . ைைன்பாடு 5.7 ைற்றும் 5.8 லிருநது,
v m v m
CM i i
i
= =∑ ∑
0 அல்லது ைாறிலி
a m a mCM
i i
i
= =∑ ∑
0
இஙகு ஒவ்்வாரு துகளும் அகவிமையின் காைணைாக அவற்றின் திமைதவகம் ைற்றும் முடுககத்துடன் இயஙகுகின்்ன.
| mvmii(5.7)i dv dt ii |
|---|
| ∑mi(5.8) |
| dxoxமைய Úமேக கணடய, ஆÜ®ள±ந« x்ோமலà dx ள¯Ý dm எå் ¬ண ம் °Ý்காணட z²ப¤மய எ©Ú«க ்காளதவாÝ.Mேண}å =ள அடßÚ (ஓைல¤ ளÚäகான l ∫ம் ) l ∫ dm = M dxlzய ப¤å ம் ேண}å ம் ∫மையÚ äகான ைைåபா டமடழககணடவா² எµேலாÝ. ∫xdmx =dm M x dx 1x = = xdxCM M 1 x 1 l = o = CM ll 2 2 ox2 l = 22l 02மல எåப« ேண}å வ}யà மைய ை ா¤Ý. CMஇ±ந« ைான ேண}மனÜ ்பா²Úேவமை அேå வ}ய à மையÚ தலதய (Geometric centre) ம் மையÝ அமை°Ý எå் ¯}ä¤ வைலாÝ. |
|---|
பு்விமைகள ்ையல்படும்தபாது (i.e. Fext ≠ 0), நிம்மையத்தின் முடுககத்திற்கான ைைன்பாடமட கீழககணடவாறு ்ப்லாம்.
F m a F Ma a F Mext i CM ext CM CM ext= ( ) = =∑ ; ;
எடுத்துககாட்டு 5.5 50 kg நிம்யுளள ஒரு ைனிேர் நிமலயான நீரின் பைப்பில் மிேநது ்காணடிருககும் 300 kg நிம்யுமடய படகில் ஒரு முமனயில் நின்று ்காணடிருககி்ார். அவர் ேமையில் நிமலயாக உளள ஒருவமை ் பாருத்து படகின் ைறுமுமனமய தநாககி 2 m s-1 என்் ைா்ா திமைதவகத்தில் நடநது ்ைல்கி்ார். (a) நிமலயான உற்றுதநாககுபவமை ்பாருத்தும் (b) படகில் நடநது ்காணடிருககும் ைனிேமைப் ்பாருத்தும் படகின் திமைதவகம் என்ன?
m m CM
m m CM
[ேகவல்: படகுககும் ைனிேருககும் இமடதய உைாயவு உளளது. ஆனால் படகுககும் நீருககும் இமடதய உைாயவு கிமடயாது.] தீரவு ைனிேரின் நிம் m1 = 50 kg படகின் நிம் m2 = 300 kg நிமலயான உற்றுதநாககுபவமைப் ்பாருத்து: ைனிேர் நகரும் திமைதவகம் v1 = 2 m s-1 தைலும் படகு நகரும் திமைதவகம் v2 (கணடறியப்பட தவணடியது) என்க.
(i) ்தமரயில் நிமலயாக உள்்ள உறறுந�ாககு்பவமரப க்பாருத்து ்படகின் திமைநவகத்ம்தக கணககிடு்தல் அமைப்பின் மீது பு்விமைகள ்ையல்படாேதபாது, படகு – ைனிே அமைப்பின் அகவிமையாக ்ையல்படும் உைாயவின் காைணைாக ைனிேன் - படகு அமைப்பு (boat – man system) இயஙகுகி்து. ஆகதவ நிம் மையத்தின் திமைதவகம் சுழியாகும் (vCM = 0). நிம்மையத்தின் ைைன்பாடு (5.7) லிருநது,
0 1 1 2 2
1 2
= = + +
∑ ∑
m v
m
m v m v
m m
i i
i
0 1 1 2 2
= +m v m v
− =m v m v 2 2 1 1
v
m
m v
2
1
2
1 = −
v
2
50
300 2
100
300 = − × = −
v ms 2
1 0 33= − − .
இஙதக, நிமலயாக உளள உற்றுதநாககுபவருககு எதிர் திமையில் படகு ்ைல்வமே எதிர்குறி காடடுகி்து. (ii) �டககும் மனி்தமரப க்பாருத்து ்படகின் திமைநவகத்ம்தக கணடறி்தல் : படகின் ைார்புத் திமைதவகத்மே பின்வருைாறு கணககிடலாம்.
v v v21 2 1
இஙதக, v21 என்பது நடககும் ைனிேமைப் ் பாருத்து படகின் ைார்புத் திமைதவகைாகும்
v21 0 33 2 .
v ms21 12 33= − −.
ைனிேர் ேன்னுமடய வலப்பு்ம் நகரும்தபாது படகு அவரின் இடதுபு்ைாக நகர்வமே விமடயில் உளள எதிர்குறி காடடுகி்து.
| ∑∑mv0 ==m0 =+mv−=mv11mv =−m2250v2 =−300vm=− 03.22 |
|---|
கவடித்்தலின் நிம்ற மமயம் ஓயவு நிமலயிதலா அல்லது சீைான இயககத்திதலா உளள ்பாருளின் அகவிமைகளினால் (internal forces) ்வடித்ேல் நமட்பறுகி்து எனில், அேன் நிம் மையத்தின் நிமல பாதிககப்படுவதில்மல. அது, அதே ஓயவு நிமலயிதலா அல்லது சீைான திமைதவகத்திதலா இருககும். ஆனால் ்வடித்ேபகுதிகளின் இயககவியல் அளவுகள (kinematic quantities) பாதிககப்படும். ்வடித்ேலானது பு்விமைகளின் காைணைாக நிகழகி்து எனில் நிம்மையம், ைற்றும் ்வடித்ே பகுதிகள ஆகியவற்றின் இயககவியல் அளவுகள பாதிககப்படும்.
எடுத்துககாட்டு 5.6 5 kg நிம்யுளள எறியைானது, (projectile) அது இயககத்தில் உளளதபாதே ோனாக ்வடித்து இரு கூறுகளாகப் பிரிகி்து. அதில் 3 kg நிம்யுமடய
ஒரு கூ்ானது, வீச்சின் நான்கில் மூன்று பஙகு 3
4 _R_
்ோமலவில் விழுகி்து. ைற்்்ாரு கூறு
எஙகு விழும்? தீரவு பு்விமைகளின் துமணயின்றி ோனாக ்வடிப்போல் எறியத்தின் நிம் மையம் பாதிககப்படாது. தைலும் நிம்மையைானது ்ோடர்நது பைவமளயப் பாமேயிதலதய ்ைல்லும். ஆனால் அேன் கூறுகளானது பைவமளயப் பாமேமய தைற்்காளளாது. கூறுகள அமனத்தும் ேமையில் விழும்தபாது நிம்மையம் எறியப்படட புளளியிலிருநது படத்தில் காடடப்படடதுதபால் R ்ோமலமவ (்நடுககம்) அமடகி்து. ஆகதவ
� நடககும் ைனிேமனப்்பாருத்து படகின் ைார்புத் திமைதவகத்தின் எணைதிப்பானது, நிமலயாக உற்றுதநாககுபவமைப் ்பாருத்து படகின் ைார்புத் திமைதவகத்தின் எணைதிப்மப விட அதிகம்.
� நிமலயாக உற்றுதநாககுபவருககும் படகில் நடநது ்ைல்பவருககும் எதிர்திமையில் படகு இயஙகுவோல் இரு விமடகளும் எதிர்குறியில் உளளன.
இறுதியில், படத்தில் காடடியுளளபடி நிம் மையைானது எறி புளளியிலிருநது R ்ோமலவில் (்நடுககம்) அமைநதிருககும்.
2 kg3 kg
CMR
d3 4R 1
4R
R+d
நிம்மையத்தின் இறுதி நிமலமய ஆதி புளளியாக எடுத்துக ்காணடால், திருப்புத்தி்ன்களின் ேத்துவத்தின் படி
m x m x1 1 2 2=
இஙகு, m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, x1 = 1 4
R ைற்றும் x2 = d என எடுத்துக ்காளக.
3 1
4 2
3
8 × = × =R d;d R
எறி புளளிககும் 2 kg நிம் விழுநதுளள புளளிககும் இமடதயயுளள ்ோமலவு R+d.
R + = + = =d R R R R 3
8
11
8 1 375.
எனதவ 2 kg நிம்யுமடய ைற்்்ாரு கூ்ானது எறிபுளளியிலிருநது 1.375 R என்் ்ோமலவில் விழுகி்து. (இஙகு R என்பது எறி்பாருளின் கிமடத்ேள ்நடுககைாகும்)
திருபபு விமை மறறும் நகாண உந்தம் (Torque and Angular Momentum)
ஒரு ்பாருளின் மீது நிகை விமை ்ையல்படும்தபாது, அவ்விமையானது தநர்தகாடடு இயககத்மே விமையின் திமையில் ஏற்படுத்தும். ்பாருளானது ஒரு புளளியிதலா அல்லது அச்சிதலா ்பாருத்ேப்படடுளளது எனில், அவ்விமையானது ்பாருமள சுழலச் ்ையகி்து. சுழற்சியானது விமை
| நட க¤Ý ைேமனÜ்பா±Ú« படxå ைாß®Ú மைதவகÚå எணைÜபான«, �மலயாக உä²தநாக¤பவமைÜ ்பா±Ú« படxå ைாß®Ú மைதவகÚå எணைÜமப ட அகÝ.மலயாக உä²தநாக¤பவ±க¤Ý படxà நட ந« ்ைàபவ±க¤Ý எßமைà �பட¤ இயங¤வோà இ± மடக´Ý எߤà உளளன. |
|---|
| இ²à, படÚà காட}°ளளப} ம்மையைான« எ ®ள±ந« R ்ோமலà (்ந©ககÝ) அமைந±க¤Ý.3 kg 2 kgR CM3 R 1 R d4 4R+dம்மையÚå இ² மலமயஆ ®ளயாக எ©Ú«க ்காணடாà, ±Ü®Ú்åகå ேÚ«வÚå ப}mx = mx1x = R4xஇங¤, m = 3 kg, 11m = 2 kg, 22 ைä²Ý = d என எ©Ú«க ்காளக.1 31 3 ×= Rd2 2 ×= ;d 1 R4 82 எ ®ளக¤Ý 2 kg ம் µந«ளள ®ளக¤Ý இமடதய°ளள ்ோமல¶ R+d.3 11R +=dR += RR = 1.375 R8 8எனதவ 2 kg ம்°மடய ைä்்ா± ·்ான« எ®ள±ந« 1.375 R எå் ்ோமலà µx்«. (இங¤ R எåப« எ்பா±å xமடÚேள ்ந©ககைா¤Ý) |
|---|
்ையல்படும் புளளிமயப் ்பாறுத்து அமையும். இவ்வாறு விமை ஏற்படுத்தும் சுழற்சி விமளமவ விமையின் திருப்புத்தி்ன் என்கித்ாம். இது திருப்புவிமை எனவும் அமழககப்படுகி்து. இவ்வமக இயககத்திற்கு நமடமும் வாழகமகயில் ஏைாளைான எடுத்துககாடடுகள உளளன. அவற்றில் சில: கீல்கமளப் ்பாறுத்து கேவுகமள தி்நது மூடுேல் ைற்றும் திருகு கு்டு (wrench) மூலம் திருகு ைம்மய (nut) சுழலச்்ையேல்.
சுழற்சியின் அளவானது விமையின் எணைதிப்பு, அேன் திமை, ைற்றும் விமை ்ையல்படும் புளளிககும் அச்சுககும் இமடபடட ்ோமலவு இவற்ம் ைார்நேது. திருப்பு விமையானது சுழற்சி இயககத்மே ஏற்படுத்தும்்பாழுது அப்்பாருளின் தகாண உநேைானது தநைத்மேப் ்பாருத்து ைாறுபடும். இப்பகுதியில் திருப்பு விமை ைற்றும் திணைப்்பாருளில் அேன் விமளவு ஆகியமவ பற்றி பயில்தவாம்.
திருபபு விமையின் வமரயம்ற
ஒரு புளளி அல்லது அச்மைப் ்பாருத்து ்பாருளின் மீது ் ையல்படுத்ேப்படும் பு் விமையின் திருப்புத்தி்ன் திருப்பு விமை என வமையறுககப்படுகி்து. திருப்பு விமையின் ைைன்பாடு
r F (5.9)
இஙகு, r என்பது படம் 5.4 ல் காடடியுளளவாறு ஆயபுளளியிலிருநது ் பாருளின் மீது
F என்் விமை ்ையல்படும் புளளியின் நிமல ்வகடைாகும்.
்படம் 5.4 ஒரு திணைப்்பாருளின் மீோன திருப்புவிமை
F θ
O r
இஙகு r ைற்றும்
F இன் ்பருககுத் ்ோமகமய ்வகடர் ்பருககம் அல்லது குறுககுப் ்பருககம் எனலாம். இரு ்வகடர்கமள, ்வகடர் ்பருககம் அல்லது குறுககு ்பருககம் ்ையயும்தபாது வரும் ்வகடைானது அவ்விரு ் வகடர்களுககு ் ைஙகுத்துத் திமையில் இருககும். (அலகு 2 பிரிவு 2.5 இல் காணக : ேமலப்பு : 2.5) எனதவ திருப்பு விமை
τ என்பது ்வகடர் அளவாகும். திருப்பு விமையானது எணணளவில் rFsinθ, என்் எணைதிப்மபயும், r ைற்றும்
F ககு ்ைஙகுத்ோன திமையும் ்பற்றிருககி்து. இேன் அலகு N m.
rFs ˆin n (5.10)
இஙகு θ என்பது r ைற்றும்
F-ககு இமடப்படட தகாணம் ைற்றும் rFs ˆin n என்பது
τ இன் திமையில் அமைநே ஓைலகு ்வகடர். திருப்புவிமை
τ என்பது r ைற்றும்
F ஆகிய இரு ்வகடர்களில் இருநது ்ப்ப்படுவோல், இேமன தபாலி ்வகடர் (pseudo vector) என்றும் அமழககலாம். திருப்பு விமையின் திமையிமன வலகமக விதிமய பயன்படுத்தி காணலாம். இவ்விதியின்படி, வலதுமகயின் விைல்கள நிமல்வகடரின் திமையிலும் உளளஙமக விமையின் திமைமயப் பார்த்ேவாறும் மவத்துக்காணடு விைல்கமள ைடககும்தபாது நீடடப்படட கடமடவிைல் திருப்பு விமையின் திமைமயக குறிககும். இது படம் 5.5 இல் காடடப்படடுளளது.
்படம் 5.5 வலகமக விதியின் மூலம் திருப்பு விமையின் திமை
F
r
|——|——|——| | θ F | | r |
திருப்பு விமையின் திமைமயக ் காணடு, அத்திருப்பு விமை எவ்வமகயான சுழற்சிமய ஏற்படுத்தும் என்று கணடறியலாம். உோைணைாக திருப்பு விமையின் திமையானது ேளத்திற்கு ்வளிதய ்ையல்படுகி்து எனில் திருப்பு விமையினால் ஏற்படும் சுழற்சி கடிகாை முள சுழலும் (இடஞ்சுழி) திமைககு எதிர்த் திமையிலும், ைா்ாக ேளத்மே தநாககி திருப்பு விமையானது ்ையல்படுகி்து எனில் சுழற்சியின் திமை கடிகாை முள சுழலும் திமையிதலதய (வலஞ்சுழி) ்ையல்படுகி்து. இமவ படம் 5.6 இல் காடடப்படடுளளன.
்படம் 5.6 திருப்பு விமையின் திமை ைற்றும் சுழற்சியின் வமககள
திருப்பு விமையின் எணைதிப்பும், திமையும் பல நிகழவுகளில் ேனித்ேனிதய ்ப்ப்படுகின்்ன. திருப்பு விமையின் திமைமயக கணடறிய வலகமகவிதி அல்லது ்வகடர் விதிமய பயன்படுத்தியும், எணைதிப்மப கணடறிய ஸ்தகலர் வடிவத்மே பயன்படுத்தியும், அோவது
r F sin (5.11)
என்் ைைன்பாடடின் மூலமும் ்ப்லாம்.
திருப்பு விமையின் எண ைதிப்மப ்ப் sinθ மவ r அல்லது F உடன் தைர்த்து இருவமககளில் குறிககலாம்.
r F r F sin (5.12)
r F r F sin (5.13)
இஙகு, F sin என்பது r ககு ்ைஙகுத்ோன
F இன் கூறு. அதே தபால் r sin என்பது
F ககு ்ைஙகுத்ோன r ன் கூறு. இவ்விரு நிகழவுகமளயும் படம் 5.7 இல் காணலாம்.
்படம் 5.7 திருப்பு விமைமயக கணககிடும் இருமும்கள
O
O
F cos θ
θ
θ
θ
F sin θ
(a) τ = r (F sin θ) = r(F⊥)
(b) τ =(r sin θ) F = (r⊥)F
r cos θ
r sin θ
r
r
F
F
r ைற்றும்
F ககு இமடப்படட தகாணம் θ மவ அடிப்பமடயாகக ்காணடு திருப்பு விமையானது ்வவ்தவறு ைதிப்புகமளப் ்பறும். r ைற்றும்
F ஆனது ஒன்றுக்கான்று ்ைஙகுத்ோக உளளதபாது திருப்பு விமையின் ைதிப்பு ்பருைைாகும். அோவது θ = 90° எனும்்பாழுது sin 90° = 1, என்போல் max rF
|——|——|
|——|——|——|
| Fθ | F cos |
|---|
|——|——|
| θ | |||
|---|---|---|---|
| θ | |||
| Fr cos θ |
| rθ |
r ைற்றும்
F இமணயாக ஒதை திமையிதலா, எதி்ைதிர் திமையிதலா ்ையல்படும்தபாது திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழியாகி்து. இரு ்வகடர்களும் இமணயாக ஒதை திமையில் உளளதபாது θ = 0o ைற்றும் sin 0o = 0. இரு ்வகடர்களும் இமணயாக எதி்ைதிர் திமையில் உளளதபாது θ = 180o ைற்றும் sin 180o = 0. எனதவ விமையானது ஆோைப்புளளியில் ்ையல்படுகி்்ேனில் r = 0 ைற்றும் τ = 0 அோவது திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழியாகும். இேன் ்வவ்தவ்ான நிகழவுகமள கீழகணட அடடவமண 5.1 காணலாம்.
அட்டவமண 5.1. ் வவ்தவறு நிகழவுகளில் τ இன் ைதிப்பு
F
O r
F
r O
θ = _90_ο; max rF θ = _0_ο; τ = 0
F
r
O
F
O
θ = 1_80_ο; τ = 0 r = 0; τ = 0
எடுத்துககாட்டு 5.7 ஸ்தபனரின் மகப்பிடிககு ்ைஙகுத்ோக படத்தில் காடடியுளளவாறு விமை ்ைலுத்ேப்படுகி்து. (i) திருகு ைம் (Nut) யின் மையத்மேப் ்பாருத்து விமையின் திருப்பு விமை (ii) திருப்பு விமையின் திமை ைற்றும் (iii) திருகு ைம்மயப் (Nut) ் பாருத்து திருப்பு விமை ஏற்படுத்தும் சுழற்சியின் வமக ஆகியவற்ம்க காணக.
15 cm
2.5 N
தீரவு ஸ்தபனரின் மகப்பகுதியின் நீளம், r = 15 cm = 15× 10-2 m ்ைலுத்ேப்படட விமை, F = 2.5 N r ககும் F ககும் இமடப்படட தகாணம் θ = 90o
(i) திருப்பு விமை, rF sin
τ = × × × °( )−15 10 2 5 902 . sin
[இஙகு, sin 90° = 1]
ii) வலகமக விதிப்படி, திருப்பு விமையின் திமையானது ோளின் ேளத்திலிருநது ்வளிதநாககி அமைநதுளளது.
(iii) திருப்பு விமை ஏற்படுத்திய சுழற்சி கடிகாைத்தின் திமைககு எதிர்திமையில் உளளது.
எடுத்துககாட்டு 5.8
ˆˆ ˆ4i 3j 5k N விமையானது ˆˆ ˆ7i 4j 2k m என்் புளளியில் அமைநே நிமல்வகடரின் மீது ்ையல்படுகி்து. ஆதிமயப் ்பாருத்து திருப்பு விமையின் ைதிப்மப காணக. தீரவு
r 7i 4j ˆˆ kˆ 2
F 4i 3j ˆˆ kˆ 5
திருப்பு விமை,
r F
i j k 7 4 2 4
ˆ
3 5
ˆ ˆ
i 20 6 j 35 8 k 21ˆˆ 1ˆ 6
14i 4 ˆˆ 3̂j 37k N m
τ = × −37 5 10 2. N m
15 cm
2.5 N 90°
| r |F |
| ர¶æதபன å மகÜப¤å ளÝ, r = 15 cm = 15× 10 m்ை³ÚேÜபடட மை, F = 2.5 N-2r க¤Ý F க¤Ý இமடÜப டட தகாணÝ θ = 902.5 N o90°15 cm rF s in()(i) ±Ü® மை, τ= 15 ××10 25.s ×° in 90τ= 37.N51× 0[இங¤ m, sin 90° = 1]−2−2ii) வலகமக Üப}, ±Ü® மைå மையான« ோå ேளÚ±ந« ்வதநாகx அமை ந«ளள«.(iii) ±Ü® மை ஏäப©Úய ¦ழäz க}காைÚå மைக¤ எßமைà உளள«. |
|---|
| ˆˆij 744 ˆi2 06 14ˆˆi4 | |
|---|---|
| kˆ235 | |
| ˆj33j 37 |
|——|——|——|——|——|
| 15 cm |
| எ©Ú« க கா Ø© 5.84iˆˆ3j 5kˆ 7iˆˆ4j 2kˆN மையான« m எå் ®ளà அமைந ே மல்வகட å « ்ையàப©x் «. ஆமயÜ ்பா±Ú« ±Ü® ரம¶ைå ை Üமப காணக.r7 ˆi4 ˆj 2kˆF4 ˆi3 ˆj 5kˆ rF±Ü® மை, ˆˆij kˆ 74 24 35 ˆi2 06 ˆj3 58 k2ˆ 1 16 14ˆˆi4 3j 37 kˆ N m |
|---|
எடுத்துககாட்டு 5.9 பளு தூககி ஒன்றின் கைத்தின் நீளம் 20 m அககைைானது ்ைஙகுத்து அச்தைாடு 30o தகாணத்தில் நிறுத்ேப்படடுளளது. 2 டன் எமடயானது கைத்ோல் தூககி நிறுத்ேப்படடுளளது. பளுதூககியின் கைம் ்பாருத்ேப்படட நிமலயான புளளிமயப் ்பாருத்து புவியீர்ப்புவிமை ஏற்படுத்திய திருப்பு விமைமயக காணக. [ேகவல்: 1 டன் = 1000 kg; g = 10 m s-2 , கைத்தின் எமட பு்ககணிககத்ேககது]
30
r
150
60 mg
r
தீரவு
க ்ப ரு ம் ்ப ா ன் ம ம ய ா ன கணககுகளில் r மறறும்
F ககு இமடநயயுள்்ள நகாணம்
ந�ரடியாக ககாடுககப்படுவதில்மல. எனநவ மாணவரகள் r மறறும்
Fககு இமடநயயுள்்ள நகாணத்ம்த θ என எடுத்துகககாள்்ளப ்பழகவும். அமமபபில் உள்்ள மற்ற நகாணஙகம்ள குறியிடும்ந்பாது α, β, ϕ எனவும் குறிககலாம்.
குறிபபு
்ோஙகவிடப்படட நிம்யினால் ஏற்படும் விமை
F = mg = 2000 x 10 = 20000 N;
கைத்தின் நீளம் r = 20 m
இநே கணககிற்கு மூன்று ் வவ்தவறு மும்களில் தீர்வு காணலாம். மும்ற – I விமை F ககும் கைத்தின் நீளம் r ககும் இமடதயயான தகாணம் θ = 150°
்பாருத்ேப்படட நிமல புளளிமயப் ்பாருத்து கைத்தின் திருப்பு விமை
r F sin 20 20000 150sin
400000 90 60sin
[இஙகு, sin cos90o _]_
400000 60cos
400000 1 2
cos 60 1 2
= 200000 N m
2 105 N m
மும்ற– II விமைமயயும், பளுதூககியில் கைம் ்பாருத்ேப்படட புளளியிலிருநது ்ைஙகுத்து ்ோமலமவயும் கருதுதவாம்.
r F
r mgcos
20 60 20000cos
20 1 2
20000
200000 Nm
2 105 N m
r
60 mg
r s in
6 0
r cos 60
r
மும்ற– III பளு தூககியின் கைம் ் பாருத்ேப்படட புளளிமயயும் ்ைஙகுத்து விமைமயயும் கருதுதவாம்.
r
φ=60°
T=mg mg cos 60mg sin 60
60°
r F r mg cos
20 20000 60cos
20 20000 1 2
200000 Nm
2 105 N m
மூன்று மும்களும் ஒதை தீர்விமன ேருகி்து.
பமடப்பாற் விமளயா ஒரு புகழ ஒரு ்ைவ் படத்தில் க ஒரு காலி ோவிச்்ைல் காைணம், விமைமய (N) ஒன் விமை சுழி விமைகளு நிமலயில் விமளயா
அச்மைப க்பாருத்து திருபபு விமை (Torque about an axis)
இதுவமை ஒரு புளளிமயப் ்பாருத்து திருப்பு விமைமயப் பற்றி பயின்த்ாம். இப்பகுதியில் அச்மைப் ்பாருத்து திருப்பு விமைமயப் பற்றி பயிலலாம். திணைப்்பாருள ஒன்று AB மயப் ்பாருத்து சுழல்வது படம் 5.8 இல் காடடப்படடுளளது. திணைப்்பாருளில் P என்் புளளியில் F விமை ்ையல்படுகி்து என ்காளக. விமை F ஆனது ேளம் ABP ல் அமையாைலும் இருககலாம். அச்சு AB யில் ஏதேனும் ஒரு புளளிமய ஆதிப்புளளி O என எடுத்துக்காளதவாம்.
்படம் 5.8 அச்மைப் ்பாருத்து திருப்பு விமை
F
r O
P
A
B
்ல் ைற்றும் புதுமைகள நிம்நே பாைம்பரிய டடுகளுககு ேமிழகம் ்பயர் ்பற்்து. அதில் ்பற்் விமளயாடடு சில்லுகதகாடு (பாணடி). வக வடிவகடடத்தினுள பல ்ைவ்வகப்பிரிவுகள ாடடியுளளவாறு உளளன. ்ைவ்வக கடடஙகளில்
னால் ோவிச் ்ைல்ல தவணடும். ஒற்ம் காலில் லும்தபாது ஒரு பு்ைாக ைாயநது ்ைல்வேற்குக ைாயநே நிமலயில் இயற்மகயாகதவ, புவிஈர்ப்பு யும் (mg), ேமையின் ்ைஙகுத்து விமையும் றுக்கான்று ைைன்்ையயப்படுவோல் திருப்பு யாகி்து. இவ்வாறு இல்மல எனில் இவ்விரு ம் ்வவ்தவறு புளளிகளின் வழிதய ்ையல்படும் ்ோகுபயன் திருப்பு விமை ்ையல்படடு டுபவமை கீதழ விழச்்ையயும்.
| P | |
|---|---|
| r | F |
| ¯மL– IIIப´ ¾கxå கைÝ ்பா±ÚேÜபடட ®ளமய°Ý ்ைங¤Ú« மைமய°Ý க±«தவாÝ.mg sin 60 mg cos 60T=mg 60°rφ=60° rF rm g cos 20 20000 cos 60120 20000 2 200000 Nm21 0 NmÂå² ¯ம் க´Ý ஒ5 தை ßமன ே±x் «. |
|---|
புளளி O மவப்்பாருத்து
r F ன் திருப்புவிமை,
r F . தைலும், அச்சின் திமையில் இத்திருப்பு விமையின் கூ்ானது அச்மைப்்பாறுத்ே திருப்பு விமையாகும். இேமன கணடறிய நாம் முேலில் திருப்பு விமை
r F ைற்றும் திருப்புவிமை ்வகடர்
r F ககும் அச்சு AB ககும் இமடதயயான தகாணம் φ மய காண தவணடும். (விமையின் ேளம் ABP யில் இல்மல என்பமே நிமனவில் ்காளக). அச்சு AB மய ்பாருத்து உளள திருப்புவிமை என்பது திருப்புவிமையின் கிமடத்ேளககூறு
r F× cos φ ஆகும். அமேப்தபால அச்சு AB ககு ்ைஙகுத்ோன திருப்புவிமை என்பது திருப்புவிமையின் ்ைஙகுத்துககூறு
r F× sin φ ஆகும். அச்மைப்்பாருத்ே திருப்புவிமை ஒரு தின்ைப்்பாருமள அச்மைப்்பாருத்து சுழலச் ்ையகி்து. தைலும், அச்சுககு ்ைஙகுத்ோக உளள திருப்புவிமை அச்மை்யச் சுழற்றுகி்து அல்லது ைாயககி்து. இவ்விைணடு கூறுகளுதை ஒதை தநைத்தில் திணைப்்பாருளின் மீது ்ையல்படும் தபாது ்பாருளானது அச்சுச் சுழற்சிமய (precession) தைற்்காளளும். சுழலும் பம்பைம் ஒன்று ஓயவு நிமலமய ்நருஙகும் தபாது அச்சு சுழற்சிமய தைற்்காளளும் என்பமே படம் 5.9 லிருநது அறியலாம்.
்படம் 5.9 சுழலும் பம்பைத்தின் அச்சுச் சுழற்சி
Rotation
mg
Precession
அச்சுச் சுழற்சிமய விளககுவது என்பது இப் பாடப்பகுதிககு அப்பாற்படடது. எனதவ, திருப்பு விமைகளின் ்ைஙகுத்து கூறுகளின் விமளமவ நீககுவேற்கு சிலவைம்புகமளக கருதினால் சுழல் அச்சு சுழற்சி அமடயாைல் நிமலயான அச்மைப்்பாருத்து சுழற்சிமய ஏற்படுத்ேலாம். எனதவ, திருப்புவிமையின் ்ைஙகுத்து கூறுகமள
கருே தவணடிய அவசியம் இல்மல. இேன் பின்னர் உளள பாடப்பகுதியில் திணைப்்பாருடகளின் சுழற்சிமய நிமலயான அச்மைப்்பாருத்தே கருேலாம். அேற்கு, (1) அச்சிற்கு, ்ைஙகுத்ோன ேளத்தில் அமைநே
ைற்றும் அச்சிமன ்வடடிச்்ைல்லாே விமைகமள ைடடுதை கருே தவணடும்.
(2) அச்சிற்கு ்ைஙகுத்ோக உளள நிமல ்வகடமை ைடடுதை கருே தவணடும்.
அச்சுககு இமணயான விமை, அச்சுககு ்ைஙகுத்ோன திமையில் திருப்பு விமைமய
்காடுககி்து. தைலும் இேமன கருே தவணடிய அவசியமும் இல்மல. அச்மை ்வடடிச் ்ைல்லும் விமைகள, r = 0 என்போல் திருப்பு விமைமய உருவாககாது. அச்சின் வழிதயயான நிமல ்வகடர் அச்சிற்கு ்ைஙகுத்ோக திருப்பு விமைமய விமளவிககும் எனதவ இேமனக கருே தவணடிய அவசியம் இல்மல.
குறிபபு
எடுத்துககாட்டு 5. 10 AB, CD என்் இரு ஒன்றுக்கான்று ்ைஙகுத்ோன O வில் இமணககப்படட ைடடஙகள படத்தில் காடடியுளளவாறு ேமையில் நிமலயாக ்பாருத்ேப்படடுளளது. ஒரு கம்பி D என்் புளளியில் கடடப்படடுளளது. கம்பியின் ேனித்ே முமன E யானது விமை
r F இனால் இழுககப்படுகி்து. விமை உருவாககிய
திருப்பு விமையின் எண ைதிப்மபயும், திமைமயயும்,
(i) E,D, O ைற்றும் B புளளிககமளப் ்பாருத்து
(ii) DE, CD, AB ைற்றும் BG அச்சுகமளப் ்பாறுத்து காணக.
தீரவு (i) புளளி E மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி.
(E வழியாக
r F ்ையல்படுவோல்). புளளி D மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி.
(D வழியாக
r F ்ையல்படுவோல்). புளளி O மயப் ் பாருத்து திருப்புவிமை OE F×
( )
அச்சுகள AB ைற்றும் CD ககு ்ைஙகுத்ோக அமையும்.
புளளி B மயப் ் பாருத்து திருப்புவிமை BE F×
( ) அச்சுகள AB ைற்றும் CD ககு ்ைஙகுத்ோக அமையும்.
(ii) அச்சு DE மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி _(_
r F ஆனது DE ககு இமணயாக உளளோல்). அச்சு CD மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி
_(_
r F ஆனது CD மய ்வடடிச் ்ைல்வோல்). அச்சு AB மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி
_(_
r F ஆனது AB ககு இமணயாக உளளோல்). அச்சு BG மயப் ்பாருத்து திருப்புவிமை சுழி
_(_
r F ஆனது BG மய ்வடடிச் ்ைல்வோல்).
படத்தில் காடடியுளளவாறு ைைச்்ைககில் தி
ஓர் அச்மைப் பற்றிய விமையின் திருப்புவிமை ஆதிப்புளளிமய அநே அச்சிதலதய தேர்ந்ேடுத்ோல் ஆதிமய தேர்ந்ேடுப்பமே ைார்நதிைாைல், அமையும். இேமன கீழககணடவாறு காணலாம். திணைப் ்பாரு்ளான்றில் உளள AB என்் சுழற்சி அச்சில் உளள O என் ் ஆதிப்புளளிமய எடுத்துக்காளதவாம். புளளி P யின் மீது விமை
r F ்ையல்படுவமே படத்தில் காடடியுளளவாறு கருதுதவாம். இப்தபாது அச்சில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் ைற்்்ாரு புளளி O’ ஐ படத்தில் காடடியுளளவாறு, தேர்வு ் ையது ்காளளலாம்.
்படம் 5.10 ஆதிப் புளளிமயச் ைார்நதிைாே சுழலும் ்பாருளின் அச்மைப்்பாருத்து திருப்புவிமை
F
r
O
P
A
B
O′
ருப்பு விமையின் திமைமயக கணடுபிடிககவும்
|——|——|
O’ மயப் ்பாருத்ே விமையின் திருப்புவிமை,
O P F O O OP F
O O F OP F
O O F
என்பது ′O O
ககு ்ைஙகுத்ோக இருப்போல், இப்பகுதியானது AB வழியாக எநே கூம்யும் ்பற்றிருப்பதில்மல. எனதவ, ′ ×O P F, OP
என்பது′ × ×O P F, OP F
யின் ைை கூறிமனப் ்பற்றிருககும்.
திருபபு விமை மறறும் நகாண முடுககம் (Torque and Angular Acceleration)
நிமலயான அச்மைப் ்பாருத்து சுழலும் திணைப் ்பாருமளக கருதுக. ஒரு புளளி நிம் m ஆனது படத்தில் காடடியுளளவாறு நிமலயான அச்மைப் ்பாருத்து வடட இயககத்மே தைற்்காளகி்து. ்ோடுவியல் விமை
F ஆனது புளளி நிம்மய சுழலச் ்ையய தேமவயான திருப்பு விமைமய அளிககி்து. இநே ்ோடுவிமை
F ஆனது புளளி நிம்யின் நிமல ்வகடருககு ்ைஙகுத்ோக ்ையல்படுகி்து. இது புளளி நிம் m இன் மீது உருவாககும் திருப்பு விமையானது
்படம் 5.11 திருப்பு விமை ைற்றும் தகாண முடுககம்
α τ
r m
F
r F r Fsin90 sin90 1 r ma
F ma r mr mr2
a r
mr2 (5.14)
இவ்விமையானது நிமல ்வகடர் r ககு ்ைஙகுத்ோக புளளி நிம்யின் மீது ்ையல்படுகி்து. அச்மைப்்பாருத்து புளளி நிம்யின் மீது ் ையல்படும் திருப்பு விமையானது அநே அச்மைப்்பாருத்து புளளிநிம்யின் மீது தகாண முடுககம், α மவ உருவாககுகி்து. கவகடர வடிவில்
mr2 (5.15)
τ ைற்றும் α இவற்றின் திமையானது சுழலும் அச்சின் வழியாகதவ அமையும். τ இன் திமையில் α அமைநோல், இது தகாண முடுககத்மே ஏற்படுத்தும். ைா்ாக, τ ன் திமை α வுககு எதிைாக அமைநோல் தகாண எதிர்முடுககத்மே உருவாககும். ைைன்பாடுகள 5.14 ைற்றும் 5.15 இல் உளள தகாமவ “mr2” புளளி நிம்யின் நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் என்று அமழககப்படுகி்து. திணைப் ்பாருளானது புளளி நிம்மயப் தபான்் பல துகளகளால் ஆககப்படடளளது. எனதவ, அப்்பாருளின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் என்பது அப்்பாருள உளளடககிய ேனித்ேனியான எல்லா புளளி நிம்களின் நிமலைத் திருப்புத் தி்ன்களின் கூடுேல் I m r
i i = ∑( )2 ஆகும். எனதவ, திருப்பு விமையின்
ைைன்பாடு
m ri i 2 (5.16)
I (5.17)
்வவ்தவ்ான வடிவம் ்காணட ்பாருடகளின் நிமலைத்திருப்புதி்ன் ைற்றும் அேன் முககியத்துவத்மே தைலும் பிரிவு 5.4 இல் பயிலலாம்.
நகாணஉந்தம்
சுழற்சி இயககத்தில் தகாணஉநேம் என்பது இடம்்பயர்வு இயககத்தில் உளள தநர்தகாடடு உநேத்திற்கு இமணயான ஒரு இயற்பியல் அளவு. தநர்தகாடடு உநேத்தின் திருப்புத்தி்னாது புளளிநிம்யின் தகாணஉநேம் என வமையறுககப்படுகி்து ைா்ாக, ஒரு புளளி அல்லது அச்சிலிருநது r நிமலயில் உளள ஒரு புளளி நிம்யின் தநர்தகாடடு உநேம் p எனில்,
× F
அேன் தகாண உநேம் L –ஐ கணிேவியலின்படி பின்வருைாறு எழுேலாம்.
L r p (5.18)
தகாண உநேத்தின் எணைதிப்பு
L r p sin (5.19)
இஙகு θ என்பது r ககும் p ககும், இமடப்படட தகாணம். தகாண உநேம் L ஆனது r ைற்றும் p இருககும் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோன ேளத்தில் அமையும். திருப்பு விமைமய முநமேய நிகழவுகளில் எழுதியது தபான்த் இஙகும் sinθ மவ r அல்லது p தயாடு தைர்நது எழுே முடியும்.
L r p r p sin (5.20)
L r p r p sin (5.21)
இஙகு, p⊥ என்பது r ககு ்ைஙகுத்ோன தநர்தகாடடு உநேத்தின் கூறு, அமேப்தபான்் r⊥ என்பது p ககு ்ைஙகுத்ோன நிமல்வகடரின் கூறு. தநர்கதகாடடு உநேம் சுழியாகும் தபாதோ (p = 0) அல்லது துகளானது ஆதிப்புளளியில் r 0 உளளதபாதோ அல்லது r ைற்றும் p இமணயான திமையிதலா, எதி்ைதிைான திமையிதலா அமைநதிருககும் (θ = 0° or 180°) தபாதோ தகாண உநேம் சுழி (L = 0) ஆகும். தகாண உநேம் சுழற்சி இயககத்திற்கு ைடடும் ்ோடர்புமடயது என ேவறுேலாக புரிநது ்காளளக கூடாது. இது உணமையல்ல. தகாண உநேைானது தநர்தகாடடு இயககத்திற்கும் ்ோடர்புமடயது. இேமன கீழககணட எடுத்துககாடடிலிருநது அறிநது ்காளளலாம்.
எடுத்துககாட்டு 5. 1 1 m நிம் ்காணட துகளானது v என்் ைா்ாே திமை தவகத்துடன் இயஙகுகி்து. ஏதேனும் ஒரு புளளிமயப் ்பாருத்து இயககம் முழுவதிலும் இேன் தகாண உநேம் ைா்ாேது எனக காடடுக. தீரவு m நிம் ்காணட Q துகளானது ைா்ா திமைதவகம் v யுடன் ்ைல்வோக ்காளதவாம்.
ைா்ா திமைதவகம் என்போல் துகளின் பாமே தநர்கதகாடடு பாமேயாக அமையும். அேன் உநேமும் ( p mv= ) அதே பாமேயில் தநர்தகாடடில் அமையும். அப்பாமேயிலிருநது ்ைஙகுத்து ்ோமலவில் (d) ஆதிப்புளளி O மவ எடுத்துக ் காளதவாம். ஒரு குறிப்பிடட கணத்தில் Q என்் புளளியில் அமைநே துகளின் நிமல ் வகடர் OQ r = என்க. ஒரு குறிப்பிடட கணத்தில் r ககும் p ககும் இமடப்படட தகாணம் θ என்க எனதவ அககணத்தில் தகாண உநேத்தின் எணைதிப்பு
L OQ p OQmv mv OQ sin sin sin
இஙகு OQsin என்பது ஆதிப்புளளிககும் ்பாருள ்ைல்லும் திமைககும் உளள ்ைஙகுத்துத் ்ோமலவு ஆகும். எனதவ, துகள Q வின் ஆதிமயப்்பாறுத்ே தகாண உநேம்
L mvd=
தைற்கணட தகாண உநேத்தின் ைைன்பாடு தகாணம் θ மவ ்பற்றிருப்பதில்மல. தநர்தகாடடு உநேம் p (p = m v) ைற்றும் ்ைஙகுத்து ்ோமலவு d இைணடும் ைாறிலிகள. ஆேலால், துகளின் தகாண உநேமும் ைா்ாது. எனதவ தகாண உநேைானது தநர்தகாடடு இயககத்தில் உளள ் பாருடகதளாடும் ்ோடர்புமடயது. ்பாருள ்ைல்லும் தநர்கதகாடடு திமை, ஒருதவமள ஆதிப்புளளி வழியாகச் ்ைன்்ால் தகாண உநேம் சுழியாகவும், அது ைா்ாேோகவும் இருககும்.
நகாணஉந்தம் மறறும் நகாணத்திமைநவகம்
திணைப் ்பாருள ஒன்று நிமலயான அச்மைப் பற்றி சுழல்கி்து. ஒரு புளளி நிம் m ஆனது படம் 5.12 இல் காடடியுளளவாறு வடட இயககத்மே தைற்்காளகி்து.
θ θ
d
O
Q p
r
| dOைா்ா மைதவபாமே தநßகதகாடஅேå உநே¯Ý தநßதகாட}à அமை°Ý. ்ைங¤Ú« ்ோமலஎ©Ú«க ்காளதவாஎpOQå்=®rளàஎåக. ஒ± அமைநஇக¤Ý மடÜப டஅககணÚà தகாண உநLO Qp sins OQOQ sinஇங¤்பா±ள ்ைà³Ý ்ோமல¶ ஆ¤Ý. ஆமயÜ்பா²ÚேLm=தைäகணட தகாண தகாணÝ θ மவ ்பஉநேÝ p (p = m v) ைஇைண©Ý ைாகஉநே¯Ý ைா்ா«. தநßதகாட© இயகக்ோடß® மட ய«. ்பாமை, ஒ±தவமள்ைå்ாà தகாண ைா்ாேோக¶Ý இ± | Q θ | pà ந« Q கட ß ¤Ý தவ | |
|---|---|---|---|
| rθ | |||
| கÝ எ åபோà «கå pm© = பாvமே) யாக அமை°Ý. ( அதே பாமேஅÜபாமே±à (d) ஆÜ®ள O மவÝ. ஒ± ¤Üடட கணÚà rே «கå மல ்வ¤Üடட கணÚà கட தகாணÝ θ எåக எனேÚå எண ைÜ®mv in mv OQ sin எåப« ஆÜ®ளகமைக¤Ý உளள ்ைங¤Ú«Ú எனதவ, «கள Q å தகாண உநேÝ vdஉநேÚå ைைåபாä±Üபàமல. தநßதகä²Ý ்ைங¤Ú« ்ோமலள. ஆேலாà, «கå தகாஎனதவ தகாண உநேைான« Úà உளள ்பா±டகதளா±ள ்ைà³Ý தநßகதகாடஆÜ®ள வயாகÖ உநேÝ ¦யாக¶Ý, க¤Ý. |
| ¤Ý |
| © ாட© ¶ d ண ©Ý © அ« |
்படம் 5.12 தகாணஉநேம் ைற்றும் தகாணதிமைதவகம்
ω
r m
p L
சுழலும் அச்சிலிருநது r ்ோமலவில் புளளிநிம் m அமைநதுளளது. வடடப்பாமேயில் எநே்வாரு கணத்திலும் தநர்தகாடடு உநேைானது வடடப்பமேயின் ்ோடுதகாடடு திமையில் இருககும். தகாண உநேம் L ஆனது r ைற்றும் p–ககு வடடப்பமேயின் ்ைஙகுத்ோக இருககும். எனதவ தகாண உநேம் சுழலும் அச்சின் திமையில் அமையும். இநநிகழவில் θ என்பது r கும் p ககும் இமடப்படட தகாணம். தகாண உநேம் (L) இன் எண ைதிப்பு θ = 90° எனும்தபாது
L r mv r mv= =sin90
இஙகு, v என்பது தநர்தகாடடு திமைதவகம். வடட இயககத்தில் தகாண திமை தவகத்திற்கும் ω, தநர்கதகாடு திமை தவகத்திற்குைான ்ோடர்பு v r _._
L rmr
L mr 2 (5.22)
L ைற்றும் ω ஆகியவற்றின் திமை சுழலும் அச்சின் திமையிதலதய இருககும். தைற்கணட ைைன்பாடடின் ்வகடர் வடிவம்,
L mr 2 (5.23)
முன்னர் விவாதித்ேது தபால ைைன்பாடு 5.22 ைற்றும் 5.23 இல் தகாமவ உறுப்பு mr2 ஆனது புளளி நிம்யின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் ஆகும். திணைப் ்பாருளானது புளளி நிம்ப்தபான்் பல துகளகளினால் உருவாககப்படடுளளது. எனதவ திணைப் ் பாருளின் நிமலை திருப்புத்தி்ன் என்பது
அப்புளளி நிம்களின் நிமலைத் திருப்புதி்னின் கூடடுத் ்ோமக I m ri i 2 ஆகும். எனதவ, ்பாருளின் தகாணஉநேைானது,
L m ri i 2 (5.24)
L I (5.25)
பிரிவு 5.4 ல் நிமலைத் திருப்புதி்ன் பற்றி ் ேளிவாக பயிலலாம்.
திருபபு விமை மறறும் நகாண உந்தம்
திணைப் ் பாருளின் தகாண உநேம் எணணளவில் L I ைற்றும் திணைப் ்பாருளின் திருப்பு விமை I . தைலும் திருப்புவிமையின் ைைன்பாடமட பின்வருைாறு எழுேலாம்.
I d dt
d dt
(5.26)
இஙகு ω என்பது தகாணத் திமைதவகம்.
d I dt
dL dt
(5.27)
தைற்கணட ைைன்பாடடின் மூலம் நாம் காணபது பு் திருப்பு விமையானது திணைப்்பாருளகளின் மீது நிமலயான அச்மைப்்பாருத்து தகாண உநே ைாறுபடடு வீேத்மே அேனுள ஏற்படுத்தும். இது சுழற்சி பற்றிய நியூடடனின் இைணடாவது விதியாகும். தைலும் இச்ைைன்பாடானது தநர்கதகாடடு இயககத்தின் ைைன்பாடான F dp
dt = வடிவத்மே ஒத்துளளது.
நகாண உந்த மா்றா விதி (Conservation of angular momentum) ைைன்பாடு 5.27 லிருநது, பு்த்திருப்புவிமையானது திணைப் ் பாருடகளின் மீது ் ையல்படும் தபாது தகாண உநே ைாறுபாடமட ஏற்படுத்தும் என்பமே அறிகித்ாம்.
0 எனில் dL dt
= =0;L ைாறிலி.
|——|——|——|——|——| | p |
| r m |
தைற்கணட ைைன்பாடு தகாணஉநே ைா்ாவிதிமயக குறிககி்து. இேமனப் பற்றி பகுதி 5.5 இல் தைலும் பயிலலாம்.
5.3
திணைப் ்பாருடகளின் ைைநிமல (equilibrium of rigid bodies)
ஒரு ்பாருளானது தைமையின் மீது இயககமின்றி ஓயவு நிமலயில் உளளதபாது ்பாருளின் மீது எநே விமையும் ்ையல்படவில்மல என்கித்ாம். உணமையில் புவியீர்ப்பு விமையானது ்பாருளின் மீது கீழதநாககியும் தைமையானது ்பாருளின் மீது ஏற்படுத்தும் எதிர்விமையானது தைல் தநாககியும் அமைநதிருககும். இவ்விரு விமைகள ஒன்ம் ஒன்று ைைன் ்ையது ்காளகின்்ன. எனதவ, ்பாருளின் மீது நிகை விமை ்ையல்படவில்மல. ்பாருளின் மீது விமை ்ையல்படவில்மல என்பேற்கும், நிகை விமை ்ையல்பட வில்மல என்பேற்கும் அதிக தவறுபாடு உளளது. தைற்கூறிய விவாேைானது திருப்புத்தி்ன் அல்லது திருப்பு விமையின் அடிப்பமடயில் அமைநே சுழற்சி இயஙகத்திற்கும் ்பாருநதும். திணைப் ்பாருளின் தநர்தகாடடு உநேம் ைற்றும் தகாண உநேம் ைாறிலியாக இருநோல் அப்்பாருளானது எநதிைவியல் ைைநிமலயில் உளளது எனலாம். ஒரு ்பாருளின் தநர்கதகாடடு உநேம் ைாறிலி எனில், அப்்பாருளின் மீது ்ையல்படும் நிகைவிமை சுழியாகும்.
Fnet = 0 (5.28)
இநநிபநேமனயின் படி ்பாருளானது இடப்்பயர்வில் ைைநிமலயில் உளளது. இேன்படி, ்பாருளின் மீது ்வவ்்வ்ான திமைகளில் ்ையல்படும்
…F F F1 2 3, , என்் விமைகளின் ் வகடர்
கூடுேல் சுழியாகி்து.
F F F Fn1 2 3 0 (5.29)
்பாருளின் மீது
…F F F1 2 3, , என்் விமைகள ்வவ்தவ்ான திமைகளில் ்ையல்படுகின்்ன எனில் அவற்றின் விமளமவ மும்தய
கிமடத்ேள ைற்றும் ்ைஙகுத்து கூறுகளின் மூலம் தீர்வு காணலாம். இநநிகழவில் கிமடத்ேளச் ைைநிமலகதகா ்ைஙகுத்துச் ைைநிமலகதகா ைாத்தியம் உளளது. இதேதபால் தகாண உநேம் ைாறிலியாக உளள தபாது ்பாருளின் மீோன நிகை திருப்பு விமை சுழியாகும்.
net 0 (5.30)
இநநிபநேமனயின் படி ்பாருளானது சுழற்சி ைைநிமலயில் உளளது. சுழற்சிச் ைைநிமலயில் ்வவ்தவ்ான சுழற்சிமய உருவாககும் திருப்பு விமைகள …τ τ τ1 2 3, , ஆகியவற்றின் ்வகடர் கூடுேல் சுழியாகி்து.
1 2 3 0 n (5.31)
தைலும் ஒரு திணைப்்பாருளின் மீது நிகை விமையும், நிகை திருப்பு விமையும் சுழியாக இருநோல் அத்திணைப் ்பாருள எநதிைவியல் ைைநிமலயில் உளளது என கூ்லாம்.
Fnet = 0 ைற்றும் net 0 (5.32)
விமைகளும், திருப்பு விமைகளும் ்வகடர் அளவு என்போல் இேன் திமைகமள ேகக குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்ே தவணடும்.
ைமநிமலயின் வமககள்
தைற்கணட விவாேத்தின்படி, ்வவ்தவ்ான நிபநேமனகளின் அடிப்பமடயில் ்வவ்தவறு வமகயான ைைநிமலகளுககு வாயப்புளளது என்் முடிவுககு வைலாம். இமவ அடடவமண 5.2 இல் ்ோகுககப்படடுளளன.
எடுத்துககாட்டு 5. 12 28 kg நிம்யும் 10 m நீளமும் ்காணட சீைான ைைத்துணமட அருண ைற்றும் பாபு சுைநது ்ைல்கின்்னர். ைைத்துணடின் முமனகளிலிருநது இவர்கள மும்தய 1 m ைற்றும் 2 m ்ோமலவில் பிடித்துளளனர். இவர்களில் யார் ைைத்துணடின் எமடமய அதிகம் ோஙகிச் ் ைல்கின்்ார் [g = 10 m s-2].
தீரவு ைைத்துணடானது இயநதிைவியல் ைைநிமலயில் உளளது எனக ்காளக. அேன்படி ைைத்துணடின் மீது நிகை விமை ைற்றும் நிகை திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழி. புவி ஈர்ப்பு விமையானது ைைத்துணடின் நிம்மையத்தில் கீழ தநாககி ்ையல்படும். அருண ைற்றும் பாபு மும்தய A ைற்றும் B புளளிகளில் ்ைலுத்தும் RA ,RB என்் ்ைஙகுத்து விமைகள
அட்டவமண 5.2 பல்தவறு வமகயான ைைநிமலகளு
ைமநிமலயின் வமககள்
இடப்்பயர்வு ைைநிமல
� தநர்தகாடடு உநேம் ைாறிலியாகும் � நிகை விமை சுழி
சுழற்சி ைைநிமல � தகாண உநேம் ைாறிலி � நிகை திருப்பு விமை சுழி
ஓயவுச் ைைநிமல � தநர்தகாடடு ைற்றும் தகாண உநே � நிகைவிமை ைற்றும் நிகைத் திருப்புவி
இயககச் ைைநிமல
� தநர்தகாடடு ைற்றும் தகாண உநே � நிகை விமை ைற்றும் நிகைத் திருப்பு
உறுதிச் ைைநிமல
� தநர்தகாடடு ைற்றும் தகாண உநே � ்பாருளானது அேன் நிமலயில் சிறி
முயற்சிககும். � ைைநிமலயில் ஏற்படும் ைாற்்த்தி
ைற்த் உயரும். � ்பாருள ைைநிமலயில் இருககும்
ைைநிமலயில் இருநது ைாறும்தபாது
உறுதியற்்ச் ைைநிமல
� தநர்தகாடடு ைற்றும் தகாண உநே � ்பாருளானது ைைநிமலயிலிநது
ைைநிமலககுத் திரும்ப வைாது. � ்பாருளின் நிமலயில் சிறிய
ைைநிமலயிலிருநது ைற்று கீழபு்ைா � நிமல ஆற்்லானது சிறுைைாக இரு
நிமல ஆற்்ல் கும்கி்து.
நடுநிமல ைைநிமல
� தநர்தகாடடு உநேமும் ைற்றும் தக � ்பாருளின் நிமலயில் ைாற்்ம் ்ை � ்பாருளின் நிமலயில் சிறிய ைாற்்
ோழதவா ்ையயாது. � ்பாருளின் நிமலயில் சிறிய ை
அமடயாது.
கீழதநாககிய புவியீர்ப்பு விமைமய ைைன் ்ையகி்து. ைைத்துணடின் ்ைாத்ே எமட , W = mg = 28 x 10 = 280 N, ஆனது இருவைாலும் ோஙகப்படுகி்து. மீள ்ையல் விமைமய இருவரும் ேனித்ேனிதய அளிககின்்னர். ைைத்துணடின் மீது ்ையல்படும் அமனத்து விமைகமளயும் ேனித்ே ்பாருளின் விமைப்படம் மூலம் காணலாம்.
ம் அேற்கான நிபநேமனகளும்
நி்பந்தமனகள்
.
ஙகளின் ைதிப்பு சுழி மை சுழி
ஙகள ைாறிலி விமைகள சுழி.
ஙகளின் ைதிப்பு சுழி ய ைாற்்ம் ் ையயும் தபாது மீணடும் ைைநிமலககு வை
னால் ்பாருளின் நிம்மையத்தின் நிமலயானது
தபாது, அேன் நிமல ஆற்்ல் சிறுைைாக இருககும். அேன் நிமல ஆற்்ல் ைற்த் உயரும்.
ஙகள சுழி. ைற்த் ைாற்்ம் ்ையது விடப்படும் தபாது மீணடும்
ைாற்்ம் ்ையயும்தபாது நிம்மையைானது க நகர்நது அமையும். ககாது. தைலும் ைைநிமலயில் ைாற்்ம் அமடயும்தபாது,
ாண உநேமும் சுழி. யது விடப்படும் தபாதும் ைைநிமலயிதலதய இருககும். ம் ் ையயும்தபாது நிம் மையத்தின் நிமல உயைதவா
ாறுபாடு ஏற்படும் தபாதும் நிமல ஆற்்ல் ைாற்்ம்
இடப்்பயர்வு ைைநிமலயின் படி :
அ பா
ைைத்துணடின் மீது ்ையல்படும் நிகை விமை சுழியாகி்து
R mg RA B 0
இஙகு, RA ைற்றும் RB விமைகள தைல்தநாககிய தநர் குறியிலும். ஈர்ப்பியல் ஈர்ப்பு விமை (அல்லது எமட) கீழதநாககி எதிர்குறியிலும் ்ையல்படுகி்து. R R mg
A B + =
சுழற்சி ைைநிமலயின் படி:
ைைத்துணடின் மீது ்ையல்படும் நிகை திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழியாகி்து. விமைகள ்ோமலவிற்கு ்ைஙகுத்து என்போல்,
0 4 7 0R mg RA B .
இஙகு, எதிர்விமன RA ஆனது ோஙகும் புளளி A யிதலதய ்ையல்படுவோல் A மயப் ்பாருத்து RA யின் திருப்புவிமை சுழியாகும். ஆனால் எமட mg யானது A மயப் ்பாருத்து கடிகாை திமையிலும், எதிர்விமன RB ஆனது A மயப் ்பாருத்து எதிர் கடிகாை திமையிலும் திருப்பு விமைகமள ஏற்படுத்தும்.
7 4R mgB =
R mgB = 4 7
R NB 4 7
28 10 160
_RB யின் ைதிப்மப பிைதியிட , R_A = _mg - R_B
_R_A = 28 _X_10 – 160 = 280 – 160 = 120 N
RB ஆனது RA ஐ விட அதிகைாக இருப்போல், பாபு அருமணவிட அதிக எமடமய சுைககி்ார்.
இரட்மட (Couple)
AB என்் சீைான ்ைல்லியக கம்பிமய கருதுக, இேன் நிம்மையம் மையப்புளளி C யில் அமைநது உளளது. கம்பியின் இரு முமனகள A, B யில் ைைைான எதி்ைதிைான விமைகள மும்தய கம்பிககு ்ைஙகுத்ோக 2r இமட்வளியில் ்ையல்படுகி்து. படம் 5.13 இல் காடடியுளளவாறு இவ்விரு விமைகளும் ்ையல்படுகி்து.
்படம் 5.13 இைடமட
A B Cr r
இரு ைைைான விமைகள எதி்ைதிர் திமையில் ்ையல்படடு ஒன்ம் ஒன்று ைைன் ்ையவோல் கம்பியின் மீோன நிகை விமை சுழியாகும். இப்்பாழுது கம்பியானது இடப்்பயர்வு ைைநிமலயில் உளளது ஆனால் சுழற்சி ைைநிமலயில் இல்மல. எப்படி சுழற்சி ைைநிமலயில் இல்மல என்பமேக காணதபாம். கம்பியின் முமன A யில் ்ையல்படும் விமையின் திருப்புத்தி்ன் மையப்புளளி C மயப் ்பாருத்து எதிர் கடிகாைச் சுற்று (இடஞ்சுழி) திமையில் சுழற்சிமய ஏற்படுத்தும். இதே தபான்று கம்பியின் ைறுமுமன B-ல் ்ையல்படும் விமையின் திருப்புத் தி்னானது எதிர் கடிகாைச் சுற்று (இடஞ்சுழி) திமையிதல சுழற்சிமய உருவாககுகி்து. இவ்விரு விமையின் திருப்புத்தி்ன்களானது கம்பியின் மீது ஒதை ைாதிரியான சுழற்சிமய உணைச் ்ையகி்து. எனதவ, கம்பியானது இடப்்பயர்வு ைைநிமலயில் உளள தபாதும், சுழற்சி இயககத்திற்கு அல்லது திருப்பு விமளவிற்கு உளளாகி்து. ஒதை தநர்தகாடடில் அமையாே, ்ைஙகுத்துத் ்ோமலவில் பிரிககப்படடுளள இரு ைைைான
எதி்ைதிர் விமைகள ஏற்படுத்தும் திருப்பு விமளவு இைடமடயின் திருப்புத்தி்ன் எனப்படும். அன்்ாட வாழவில் நாம் காணும் பல ்ையல்களில் இைடமடயின் திருப்புத்தி்மன படம் 5.14 இல் காணலாம்.
சில நிகழ்வுகளில் இவ்விரு விமைகள் ஒன்ம்றகயான்று ைமன் கையயாது. இரு
விமைகள் ஒத்்த விமைக்ளாக இல்லாமல் எதிகரதிர திமையில் இல்லாமலும் இருபபின், க்பாரு்ளானது ந�ரநகாட்டு இயககம் மறறும் சுழறசி இயககம் இரணமடயும் க்பறறிருககும்.
குறிபபு
திருபபுத் தி்றன்களின் ்தத்துவம்
்ைல்லிய, பு்ககணிககத்ேகக (negligible) நிம்யுளள கம்பித் துணடு, நீளத்தின் வழியாக சுழலியகக மையத்தில் ் பாருத்ேப்படடுளளது. F1 ைற்றும் F2 என்னும் இரு விமைகளானது d1 ைற்றும் d2 ்ோமலவுகளில் கம்பியின் முமனகளில் ்ையல்படுவது படம் 5.15 இல் காடடப்படடுளளது. F1 ைற்றும் F2 என்் இரு விமைகள ோஙகு மையத்திலிருநது d1 ைற்றும் d2 ்ோமலவுகளில் ்ையல்படுவேனால் படத்தில் காடடியுளளவாறு ்ைஙகுத்து எதிர்விமன N நிம் சுழலியகக மையத்தில் ்ையல்படுகி்து. கம்பியானது கிமடத்ேள நிமலயில் ஓயவாக இருப்பேற்கு அது தநர்தகாடடு ைற்றும் சுழற்சி ைைநிமலயில் இருகக
்படம் 5.14 இைடமட
F F
F
r r
தவணடும். எனதவ, நிகை விமை ைற்றும் நிகை திருப்பு விமை இைணடும் சுழியாகும்.
்படம் 5.15 திருப்புத்தி்ன்களின் ேத்துவம் F1 F2
N
d2d1
தநர்தகாடடு ைைநிமலயில், சுழலியகக மையத்மே பற்றிய நிகை விமை சுழியாகும், F N F1 2 0
N F F 1 2
சுழற்சி ைைநிமலயில், சுழலியகக மையத்மே பற்றிய நிகை திருப்புவிமை சுழியாகும், d F d F1 1 2 2 0
d F d F1 1 2 2= (5.33)
இத்ேத்துவத்மேக ்காணடு தகால் ேைாைானது, d1 = d2; F1 = F2 என்் நிபநேமனயின் படி ்பாருடகளின் நிம்மய அளவிடுகி்து. ைைன்பாடு 5.33 மய ைாற்றி அமைகக
F F
d d
1
2
2
1
= (5.34)
F1 பளு எனவும், F2 மவ நைது முயற்சி எனவும் கருதினால், d1 < d2 என்் நிபநேமனயில் நைககு
F
r
r
|——|——|——| | d1 |d2 |
அனுகூலைாக அமையும். இது F1 > F2 என்பமேக குறிககி்து. எனதவ, ்பரிய பளுமவக கூட சிறிய
முயற்சியினால் உயர்த்ே முடியும். ேகவு d d
2
1
எளிய ்நம்புதகாலின் இயநதிைலாபம் எனப்படும். சுழலியகக மையப்புளளிமய ஆோைப்புளளி என்றும் அமழககலாம்.
இயநதிை லாபம் (MA) = d d
2
1
(5.35)
தைற்காணும் ேத்துவத்தின் படி பல எளிய இயநதிைஙகள இயஙகுகின்்ன.
ஈரபபு மமயம்
திணைப் ்பாருடகள அமனத்தும் பல புளளி நிம்களால் ஆககப்படடுளளது. புளளி நிம்கள அமனத்தும் புவியின் மையத்மே தநாககிய ஈர்ப்பியல் விமையிமன உணர்கி்து. நமடமும் வாழவில் எநே்வாரு திணைப் ்பாருளின் அளமவ விட புவி மிக ்பரியோக இருப்போல் இவ்விமைகள அமனத்தும் கீழதநாககி இமணயாக ்ையல்படுவோக நாம் கருேலாம். இது படம் 5.16 இல் காடடப்படடுளளது.
W1
W2
W3 W5
W4W
C
்படம் 5.16 ஈர்ப்பு மையம்
இநே இமணயான விமைகளின் ் ோகுபயன் விமை எப்்பாழுதும் ஒரு புளளி வழிதய ்ையல்படுகி்து. அப்புளளிதய ்பாருளின் ஈர்ப்பு மையம் என்்மழககப்படுகி்து (புவிமயப் ்பாருத்து). ஒரு ்பாருளின் நிமல ைற்றும் திமைமயக கருோே தபாது, அப்்பாருளின் ்ைாத்ே எமடயும்
்ையல்படுவோகத் தோன்றும் புளளி அப்்பாருளின் ஈர்ப்பு மையம் எனப்படும்.
C
்படம் 5.17 மைய புளளியில் ோஙகுேல் மும்யில் ்ைல்லிய ேளத்தின் ஈர்ப்பு மையத்மே கணககிடுேல்
சீைான புவியீர்ப்பு புலத்தில் ஒரு திணைப்்பாருளின் நிம்மையமும், ஈர்ப்பு மையமும் ஒதை புளளியில் அமையும். புவியீர்ப்பு புலத்மேப் பற்றி அலகு 6 இல் விளககப்படடுளளது. நாம் சீைான ஒழுஙகற்் வடிவமுளள ்ைல்லிய ேகடடின் ஈர்ப்பு மையத்மேக கூட ்வவ்தவ்ான சுழலியகக புளளிகளில் ்பாருத்திப்பார்த்து கணடறியலாம். ்ைல்லிய ்பாருளானது கிமடகமக நிமலயில் இருககும்்பாழுது, ் பாருளின் ் ைாத்ே எமடயானது ்ையல்படும் புளளியான ஈர்ப்பு மையத்தில் சுழலியகக புளளி அமைநதிருப்பமே படம் 5.17 இல் காணலாம். படம் 5.17ல் காடடியுளளபடி நிகை ஈர்ப்பு விமைகள ் ையல்படும் புளளியான ஈர்ப்பு மையத்தில், ்ைல்லிய ்பாருளானது நிமலநிறுத்ேப்படும் தபாது கிடகமகயாகதவ உளளது. ்பாருளானது ஈர்ப்பு மையத்தில் நிறுத்ேப்படடுளளதபாது திணைப் ்பாருளில் உளள எல்லா புளளி நிம்களின் மீது ்ையல்படும் திருப்புவிமைகளின் ்ோகுபயன் சுழியாகும். தைலும் ்பாருளின் எமடயானது சுழலியகக புளளியில் ்ையல்படும் ்ைஙகுத்து விமையினால் ைைன்்ையயப்படுகி்து. ்பாருளானது உறுதிச் ைைநிமலயில் கிமடகமக நிமலயிதலதய அமைநதிருககும். ஒழுஙகற்் ்ைல்லிய ்பாருடகளின் ஈர்ப்பு மையத்திமன ைற்்்ாரு மும்யின் மூலமும் கணடறியலாம். ்பாருளானது P, Q, R என்் ்வவ்தவ்ான புளளிகளில் படம் 5.18 இல்
காடடியுளளவாறு ்ோஙகவிடப்படுகி்து எனில், PP’, QQ’, RR’ ஆகிய குத்துக தகாடுகள அமனத்தும் ஈர்ப்பு மையம் வழியாக ்ைல்கி்து. இஙகு ்பாருள ்ோஙகவிடப்படட புளளியில் ்ையல்படும் எதிர் விமையும் நிம்மையத்தின் மீது ்ையல்படும் புவியீர்ப்பு விமையும் ஒன்ம் ஒன்று ைைன் ்ையகி்து. தைலும் இவற்்ால் ஏற்படும் திருப்பு விமைகளும் குத்து தகாடுகளின் மீது உளளதபாது ஒன்ம் ஒன்று ைைன் ்ையகி்து.
்படம் 5.18 ்ோஙகவிடப்படட ்ைல்லிய ேகடடின் ஈர்ப்பு மையத்மேக கணடுபிடித்ேல்
P
Q
R
P
P Q
Q
R R C
வட்டப்பாம்தயில் மிதிவணடி ஒட்டு்பவரின் ைாயவு இயககம்
மிதிவணடி ஓடடுபவர் ைைநிமலயில் r ஆைம் உளள வடடப்பாமேயில் (உயர்த்ேப்படாே பாமேயில்) v தவகத்துடன் ்ைல்ல முயற்சிப்போகக கருதுதவாம். மிதிவணடி ைற்றும் ஒடடுபவமையும் தைர்த்து m நிம் ்காணட ஒதை அமைப்பாகக (simple system) கருதுதவாம். இவ்வமைப்பின் நிம்மையம் C ைற்றும் இது O மவ மையைாக ்காணடு r ஆைம் ்காணட வடடப் பாமேயில் ்ைல்கி்து. படம் 5.19 இல் காடடியுளளவாறு OC மய X அச்ைாகவும், O- வழிதய ்ைல்லும் ்ைஙகுத்துக தகாடு OZ-ஐ Z-அச்ைாகவும் ்காளதவாம்.
்படம் 5.19 வடடப்பாமேயில் மைககிள ஒடடுபவரின் இயககம்
இவ்வமைப்பு (system) Z –அச்மை சுழல் அச்ைாகக ்காணடு, என்் தகாணத் திமைதவகத்தில்
ω, = v r
Z அச்மைப் ்பாறுத்து சுழல்கி்து.
இவ்வமைப்பானது சுழலும் குறிப்பாயத்தில் ஓயவு நிமலயில் உளளது. சுழலும் குறிப்பாயத்மேக ்காணடு நாம் தீர்வுகமள காணும்தபாது அமைப்பின் மீது மையவிலககு விமை (தபாலி
விமை) mv r
2
்ையல்படுவோகக கருேதவணடும்.
இவ்விமையானது ஈர்ப்பு மையம் வழியாக ்ையல்படுகி்து. இவ்வமைப்பின் மீது ்ையல்படும் விமைகளாவன (i) புவியீர்ப்பு விமை mg (ii) ்ைஙகுத்து விமை N (iii) உைாயவு விமை f ைற்றும்
(iv) மைய விலககு விமை mv
r
2
. சுழற்சி
குறிப்பாயத்தில் அவ்வமைப்பானது ைைநிமலயில் இருகக தவணடுைானால் அேன் மீது ்ையல்படும் நிகை விமை ைற்றும் நிகை திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழியாக தவணடும். A என்் புளளிமயப் ்பாருத்து அமனத்து திருப்பு விமைகளும் ்ையல்படுவோகக கருதுதவாம். அமனத்து திருப்பு விமைகளும் படம் 5.20 இல் காடடப்படடுளளது எனக கருதுக.
ω
| Q |CR |
்படம் 5.20 மிதிவணடி ஒடடுபவரின் மீது வமளவுப் பாமேயில் ்ையல்படும் விமைகள
C
mg
θ
θ
mv2
r
A
N
f B
சுழற்சி ைைநிமலயில்
net 0
புளளி A மவப் ்பாருத்து, புவிஈர்ப்பு விமை mg ஆல் ஏற்படும் திருப்பு விமை
= mg (AB) (கடிகாை திமையில்)
மையதநாககு விமையின் திருப்பு விமை
= mv r
2
(BC) (எதிர் கடிகாை திமையில்)
எதிர் கடிகாை திமைமய தநர்ககுறியாகவும், கடிகாை திமைமய எதிர்ககுறியாகவும் ்காளவது ைைபு. எனதவ,
mg AB mv r
BC 2
0
mg AB mv r
BC= 2
∆ ABC, AB = AC sinθ ைற்றும் BC = AC cosθ
mg AC mv r
ACsin cos 2
tan v rg
2
நிமலமத் திருபபுத்தி்றன் (MOMENT OF INERTIA)
திணைப்்பாருடகளின் இது பருப்்பாருடகளாக கருேப்படுகி்து (Bulk object). திருப்புவிமை ைற்றும் தகாண உநேத்தின் ைைன்பாடுகளில் Σm ri i
2 என்் தகாமவமய (term) நாம் அறிநதுளதளாம். இது ைதிப்பு பருப்்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்
tan 1 2v
rg (5.36)
r ஆைம் ்காணட ைைைான வடடப் பாமேயில் v திமைதவகத்துடன் மிதிவணடி ஒடடுபவர் கடகக முயற்சிககும்தபாது கீதழ விழாைல் ைைநிமலயில் இருகக θ தகாணம் ைாயநே நிமலயில் கடகக தவணடும்.
எடுத்துககாட்டு 5. 13 20 m s-1 என்் திமை தவகத்துடன் வடடப்பாமேயில் மிதிவணடி ஒடடுபவர் ்ைஙகுத்து ேளத்துடன் 30° தகாணம் ைாயநே நிமலயில் கடககி்ார். வடடப்பாமேயின் ஆைம் என்ன? ( g = 10 m s-2 எனக ்காளக) தீரவு: மிதிவணடி ஒடடுபவரின் திமை தவகம், v = 20 m s-1
குத்ேச்சுடன் தகாணம் θ = 30°
வடடப்பாமேமயக கடகக நிபநேமன tan v rg
2
தைற்கணட ைைன்பாடமட ைாற்றி அமைகக ஆைம்
r v g
2
tan ஐ பிைதியிட,
r
20 30 10
20 20 30 10
400 1 3
10
2
tan tan
r 3 40 1 732 40.
r m= 69 28.
| mvr2Cθmgθ |
|---|
| எ©Ú« க கா Ø© 5.1320 m s எå் மை தவகÚ«டå வடடÜபாமே à வண} ஒட©பவß ்ைங¤Ú« ேளÚ«டå 30° தகா-1 ணÝ ைாயநே மலà கட கx் ாß. வடடÜபாமே å ஆைÝ எåன? ( g = 10 m sர¶: எனக ்காளக)-2 வண} ஒட©பவ å மை தவகÝ, v = 20 m sv¤ÚேÖ¦டå தகாணÝ θ = 30° tan rg-1வடடÜபாமேமயக கடகக பநேமனதைäகr ணv ட ைைåபாடமட ைாä அமைகக ஆைÝ 2tan g ஐ ைட , 2 20 20 20 tant30 10 an 30 10400 2 1 10 3 34 01 .732 40= 69.28 |
|---|
| rr rm |
என்று அமழககப்படுகி்து. mi புளளி நிம்யானது அச்சிலிருநது ri ்ோமலவில் உளள தபாது அேன் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் mi ri
2
புளளி நிம்யின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்
I m ri i= 2 (5.37)
பருப்்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்
I m ri i 2 (5.38)
இடப்்பயர்வு இயககத்தில் நிம்மய நிமலைத்தின் அளவாகவும், அதேதபால் சுழற்சி இயககத்தில் நிமலைதிருப்புத்தி்மன சுழற்சியில் நிமலைைாகவும் நாம் கருேலாம். நிமலைத்திருப்புத்தி்னின் அலகு kg m2. இேன் பரிைாண வாயப்பாடு ML2. ்பாதுவாக, பருப்்பாருளின் நிம்யானது ைா்ாேது (கிடடத்ேடட ஒளியின் திமைதவகத்தில் பயணிககும் ்பாருடகமளத் ேவிர்த்து) ஆனால், நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் ைதிப்பானது ைா்ககூடியோகும். இது ்பாருளின் நிம்மய ைடடுைல்லாது சுழலும் அச்மைப் ்பாருத்து நிம் பைவி இருககும் ேன்மைமயயும் ைார்நதுளளது. ஒரு ்பாருளில் சீைாக பைவியுளள நிம்யின் நிமலமைத்திருப்புத்தி்மனக கணடறிய முேலில், நாம் பருப்்பாருளின் மீநுணநிம் (dm) மய ஒரு புளளி நிம்யாகவும், அச்மைப்்பாருத்து அேன் நிமலமய (r) என்றும் கருதுதவாம். அப்புளளி நிம்யின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்
dI dm r 2 (5.39)
எனக குறிககலாம். பருப்்பாருளின் ்ைாத்ே நிமலைத்திருப்புத்தி்மன தைற்கணட ைைன்பாடமட ்ோமகயீடு ்ையய,
I dI dm r 2
I r dm 2 (5.40)
தைற்காணும் ைைன்பாடமட பயன்படுத்தி ்பாதுவான வடிவஙகளான உதலாகத்ேணடு,
வமளயம், வடடத்ேடடு தபான்் பருப்்பாருடகளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்மன கணடறியலாம்.
சீரான நிம்ற அடரத்தி ககாணட திணமத் ்தணடின் (uniform rod) நிமலமத்திருபபுத்தி்றன்
(M) நிம்யும் (l) நீளமும் ்காணட சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட திணைத் ேணடு படம் 5.21 இல் காடடப்படடுளளது. அத்திணைேணடின் நிம்மையத்தின் வழியாகவும் அேன் நீளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோகவும் ் ைல்லும் அச்மைப் ் பாருத்து நிமலைத் திருப்புதி்னிற்கான ைைன்பாடமடப் ்ப்லாம். முேலில் ஆதிப்புளளிமய ஆய அச்சு அமைப்மபத் திணைத்ேணடின் வடிவியல் மையத்தில் அமைநதுளள நிம்மையத்துடன் ்பாருத்ே தவணடும். இப்்பாழுது திணைத்ேணடானது x அச்சில் அமைநதுளளோகக கருதுதவாம். ஆதியிலிருநது x ்ோமலவில் ஒரு மீநுண நிம ்(dm) ஐக கருதுதவாம்.
்படம் 5.21 சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட திணைத் ேணடின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்
/2− /2
dx
dm
x
அச்மைப்்பாருத்து, ்பாருளின் மீநுண நிம்யிற்கான (dm) நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் (dI) எனில்,
dI dm x 2
நிம்யானது சீைாக பைவியுளள தபாது, ஒைலகு
நீளமுளள ேணடின் நிம் l = M l
மிகச்சிறிய நீளமுளள ேணடின் நிம்
dm = λ dx = M dx l
திணைத்ேணடின் நீளம் முழுவேற்கும் நிமலைத்திருப்புத்தி்மனக காண dI மய ்ோமகயீடு ்ையய,
| dx |
|---|
I dI dm x M dx x
2 2
l
I M x dx l
2
ஆதிப்புளளியின் இரு பு்மும் நிம்யானது பைவி இருப்போல் ்ோமகயீடு காண அேன் எல்மலமய −l / 2 முேல் l / 2 வமை கருதுதவாம்.
I M x dx M x
l l
l
l
l
l
/
/
/
/
2
2 2
3
2
2
3
I M M
l
l l
l
l l
3 3 3 3
24 24 24 24
I M
l
l2 24
3
I M= 1 12
2 l (5.41)
எடுத்துககாட்டு 5. 14 சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட திணைத்ேணடின் நிமலைத் திருப்புத்தி்மன அேற்கு ்ைஙகுத்ோகவும் ஏதேனும் ஒரு முமனயின் வழிதய ்ைல்லும் அச்மைப்்பாருத்து காணக.
தீரவு நிமலைத் திருப்புத்தி்னிற்கான கருத்துருவானது முநமேய வருவித்ேலின்படி ்ோமகயீடு ்ையது ைைன்பாடமடப் ்ப்லாம். இப்்பாழுது திணைத்ேணடின் இடது முமனயிமன ஆதியாகக ்காணடு ்ோமகயீடு காண எல்மலமய 0 முேல் l எனக கருதினால்,
dx
dm
O
x
I M x dx M x M
l l l
l
l
l
0
2 3
0
3
3 3
I M= 1 3
2 l
கவவ்நவ்றான அச்சின் நிமலகம்ளப க்பாருத்து சீரான நிம்ற அடரத்தி
ககாணட திணமத்்தணடின் நிமலமத் திருபபுத்தி்றன் நவறு்படுகி்றது. க்பாருளின் கவளிபபு்றத்திநலநய அச்சின் நிமல கரு்தப்படுகி்றது. கவவ்நவ்றான அச்சுகம்ளக ககாணடு நிமலமத் திருபபுத்தி்றமனக காண இரணடு ந்தற்றஙகம்ள �ாம் காண உள்ந்ளாம். இ்தமனப ்பறறி 5.4.5 என்்ற ்பகுதியில் ்பயிலலாம்.
குறிபபு
சீரான நிம்ற அடரத்தி ககாணட வட்ட வம்ளயத்தின் (uniform ring) நிமலமத் திருபபுத்தி்றன்
m நிம்யும் R ஆைமும் ் காணட சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட வடட வமளயத்மேக கருதுக. வடட வமளயத்தின் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோகவும், அேன் மையம் வழிச்்ைல்லும் அச்மைப் ் பாருத்து நிமலைத் திருப்புத்தி்மனக காண அவ்வமளயத்திலிருநது மீநுணநிம் dm ஆனது மிகச் சிறிய நீளம் dx ்ோமலவில் இருப்போக ்காளதவாம். இதில் dm ஆனது R ்ோமலவில் உளளது எனக்காணடால், அத்்ோமலவு படம் 5.22 இல் காடடப்படடது தபால் அச்சிலிருநது வமளயத்தின் ஆைத்மேக குறிககி்து.
்படம் 5.22 சீைான வடட வமளயத்தின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்
dm dxR
| MI llMM llI l 24MI l1IM=12 |
|---|
| dx |
|---|
| x |
| d | |||
|---|---|---|---|
| R dx | |||
| HடÝ 5.22 ைான வடட வமளயÚå மலை Ú ±Ü®Ú்å |
மீநுணநிம் (dm) இன் நிமலைத் திருப்புத் தி்ன்.
dI dm R 2
வடடவமளயத்தின் நீளைானது அேன் சுற்்ளவுககுச் (2πR) ைைைானது. நிம்யானது சீைாக பைவியுளள தபாது, ஓைலகு நீளமுளள நிம்யின் ைதிப்பு
நீளடர்த்தி l ைற ள
M R2
மிகச்சிறிய நீளம் ்காணட துணடின் நிம்
dm = λ dx = M R
dx 2π
வடட வமளயம் முழுவேற்கான நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்
I dI dm R M R
dx R
2 2
2
I MR dx 2
வடட வமளயத்தின் ் ைாத்ே நீளத்மேயும் கணககிட, ்ோமகயிடலுககான எல்மலமய 0 முேல் 2πR என எடுத்துக ்காளள தவணடும். நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்
I MR dx R
2 0
2
I MR x MR RR
2 2 2 0
0
2
I MR= 2 (5.42)
சீரான நிம்ற அடரத்தி ககாணட வட்டத்்தட்டின் (uniform disk) நிமலமத் திருபபுத்தி்றன்
M நிம்யும் R ஆைமும் ்காணட வடடத்ேடமடக கருதுக. படத்தில் காடடப்படடது தபால வடடத்ேடடானது மிகச்சிறிய வமளயஙகளால்
ஆககப்படடுளளது. இதில் ஒரு வமளயத்தின் மீநுண நிம் dm மிகச்சிறிய ேடிைன் dr, ைற்றும் ஆைம் r எனக ்காளக. மிகச்சிறிய வடட வமளயத்தின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் dI ஆனது.
dI dm r 2
நிம்யானது சீைாக இருப்போல்
σ ைற பர
M
R2 (σ -பைப்பு அடர்த்தி)
dm r dr M R
rdr= =σ π π
π2 22
இஙகு 2πr dr என்பது மிகச் சிறிய வமளயத்தின் பைப்பு, (2πr என்பது அேன் நீளம் ைற்றும் dr என்பது
அேன் ேடிைன்) என்்ால் dm M R
rdr= 2 2
dI M R
r dr= 2
2 3
்படம் 5.23 சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட வடடத்ேடடின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்
வடடத்ேடடு முழுவேற்குைான நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் (I) கீழககணட ்ோடர்பின் படி,
I dI
I M R
dr M R
dr RR
2 2
2 3
2 3
00
r r
| I MRI 22IM= |
|---|
I M R
M R
2 4
2 4
02
4
0 2
4_r R R_
I MR= 1 2
2 (5.43)
சுழறசி ஆரம் (Radius of Gyration)
ஒழுஙகான உருவ அமைப்பு ்காணட பருப்்பாருடகளின் நிம்யானது சீைாக பைவி உளளது எனக கருதினால், அச்மைப் ்பாருத்ே நிமலைத் திருப்புத்தி்னிற்கான ைைன்பாடு என்பது அேன் ்ைாத்ே நிம் ைற்றும் வடிவியல் அம்ைஙகளான ஆைம், நீளம், அகலம் தபான்்வற்ம்யும், ்பாருளின் அளவு ைற்றும் வடிவம் ஆகியவற்ம்யும் உளளடககியது என்பமே கவனத்தில் ்காளள தவணடும். ஆனால் நைககுத் தேமவயான நிமலைத் திருப்புத்தி்னிற்கான தகாமவ என்பது ்பாருளின் நிம், வடிவம், அளவு ைடடுைல்லாைல் சுழலும் அச்மைப் ்பாருத்து அேன் நிமலமயயும் தைர்த்ேோக இருகக தவணடும். இது தபான்் ைைன்பாடானது சீைற்் வடிவம் ைற்றும் சீைற்் நிம் பைவல் ்காணட ்பாருடகளுககும் ்பாருநேககூடிய ்பாதுவான ைைன்பாடு ஆகும். நிமலைத் திருப்புத்தி்னின் ் பாதுவான ைைன்பாடு
I MK= 2 (5.44)
இஙகு, M என்பது ்பாருளின் ்ைாத்ே நிம் ைற்றும் K என்பது சுழற்சி ஆைம் என்று அமழககப்படுகி்து. ஒரு ்பாருளின் சுழற்சி ஆைம் என்பது சுழலும் அச்சிலிருநது ைைான புளளி நிம் துகளின் ்ைஙகுத்துத் ்ோமலவு ஆகும். இநே ைைான புளளி நிம்யானது ்பாருளின் ஒத்ே நிம்மயயும், நிமலைத் திருப்புத்தி்மனயும் அவசியம் ்பற்றிருகக தவணடும். சுழற்சி ஆைத்தின் அலகு, ்ோமலமவப் தபான்த் மீடடர் (m) ஆகும். அேன் பரிைாணம் [L] ஆகும். சுழற்சி இயககத்தில் இருககும் திணைப் ்பாருளானது m1, m2, m3, . . .mn என்் புளளி நிம்களால் ஆனோகக கருதுதவாம். இநே நிம்கள சுழற்சி அச்சிலிருநது
மும்தய r1, r2, r3 . . . rn ்ோமலவில் உளளன என்க படம் 5.24 இல் காடடப்படடுளளது.
்படம் 5.24 சுழற்சி ஆைம்
m1
r3
C
r4
m3
m2 r1
m4
r2
அநேப் ்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் பின்வருைாறு எழுேப்படுகி்து
I m r m r m r m r m ri i n n 2 1 1
2 2 2
2 3 3
2 2
“n” எணணிகமக ்காணட அமனத்து புளளி நிம்களின் நிம்மய ைைம் எனக ்காணடால்
m m m m mn= = = = =1 2 3 . . .
பி்கு,
I mr mr mr mrn 1 2
2 2
3 2 2
m r r r rn1 2
2 2
3 2 2
nm r r r r
n n1
2 2
2 3
2 2
I MK= 2
இஙகு, nm என்பது ்பாருளின் ்ைாத்ே நிம் M ைற்றும் K என்பது சுழற்சி ஆைம் ஆகும்.
K r r r r n
n 1
2 2
2 3
2 2 (5.45)
n
i=1
தைதல உளள ைைன்பாடடில் சுழற்சி ஆைம் K என்பது, சுழலும் அச்மைப் ்பாருத்து புளளி நிம்களின் ்ைஙகுத்து ்ோமலவின் இருைடி மூலத்தின் ைைாைரியின் வர்ககத்திற்கு ைைைாகும். எனதவ, எநே்வாரு ்பாருளின் நிமலைத் திருப்புத்தி்மனயும் I = MK2 . என்் ைைன்பாடடின் படி கூ் இயலும். உோைணைாக, M நிம்யும் ைற்றும் l நீளமும் ்காணட ஒரு சீைான நிம் அடர்த்தி ்காணட திணைத்ேணடின் நிமலைத்திருப்புத்தி்மன எடுத்துக ் காளக. நிம்மையத்திற்கு ் ைஙகுத்ோகச் ்ைல்லும் அச்சிலிருநது நிமலமைத் திருப்புத்தி்ன்
I M= 1
12 2 l
சுழற்சி ஆைத்தின் வாயிலாக, I MK= 2
என்போல், MK M2 21 12
= l
K2 21 12
= l
K l =
12 l
அல்லது K l =
2 3 l
அல்லது
K 0 289. l
எடுத்துககாட்டு 5. 15 M நிம்யும், R ஆைமும் ்காணட வடடத்ேடடு ஒன்றின் நிம் மையத்தின் வழியாகவும் அேன் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோகவும் ்ைல்லும் அச்மைப் பற்றிய சுழற்சி ஆைத்மேக காணக.
தீரவு வடடத்ேடடிற்கு ்ைஙகுத்ோகவும், நிம் மையம் வழியாகவும் ்ைல்லும் அச்மைப் பற்றிய நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் I MR=
1 2
2
சுழற்சி ஆைத்திற்கான ்ோடர்பிலிருநது, I MK= 2
என்பேனால் , MK MR2 21 2
= ; K R2 21 2
=
K l R= 2
அல்லது K l R= 1 414.
அல்லது
K R 0 707.
இேனால் சுழற்சி ஆைம் என்பது பருப்்பாருளின் வடிவியல் அம்ைஙகளான நீளம், அகலம், ஆைம்
இமவகதளாடு ஒன்றிமணநது ஒரு தநர்ககுறி எணணின் ்பருககல் பலனாக இருககும்.
நிமலமத் திருபபுத்தி்றனின் ந்தற்றஙகள்
ஒரு ்பாருளின் நிமலைத் திருப்புத்தி்னானது சுழலும். அச்மை ைார்நதிருப்பது ைடடுைல்லாைல், அச்சிலிருநது சுழலும் திமையமைப்மபப் ்பாருத்தும், ்வவ்தவ்ான அச்சுகமளப் ்பாருத்தும் ைாறுபடும். சுழலும் அச்சுககமள இடப்்பயர்வு ்ையது நிமலைத் திருப்புதி்மனக காணபேற்குத் தேமவயான இரு முககியைான தேற்்ஙகமளப் பயிலவுளதளாம். (i) இமணயச்சுத் தேற்்ம் ்பாருளின் எநே்வாரு அச்மைப்பற்றிய நிமலைத் திருப்புத்தி்னானது நிம் மையத்தின் வழிதய ்ைல்லும் இமண அச்மைப் பற்றிய நிமலைத் திருப்புத் தி்ன் ைற்றும் ்பாருளின் நிம்மயயும் இரு அச்சுகளுககு இமடப்படட ்ோமலவின் இருைடிமயயும் ்பருககி வரும் ்பருககற்பலன் ஆகியவற்றின் கூடுேலுககுச் ைைைாகும். M நிம் ்காணட ்பாருளின் நிம் மையத்தின் வழியாகச் ்ைல்லும் அச்மைப் ்பாருத்ே நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் IC எனில் d ் ோமலவில் இவ்வச்சிற்கு இமணயான அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத் தி்ன்,
I I MdC 2 (5.46)
திணைப்்பாருள ஒன்றிமன படம் 5.25 இல் உளளது தபால் கருதுக. நிம் மையம் C யின் வழிச் ் ைல்லும் அச்சு AB ககு இமணயாகவும், AB யிலிருநது d ்ைஙகுத்துத் ்ோமலவில் ைற்்்ாரு அச்சு DE மயப் ்பாருத்து ்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் I என்க. திருப்புத்தி்ன் I இன் ைைன்பாடமட IC மய ்காணடு ேருவிகக முயற்சிககலாம். இேற்கு ்பாருளின் நிம் மையத்திலிருநது x ்ோமலவில் அமைநதுளள புளளி நிம் m ஐ எடுத்துக ் காளதவாம். DE அச்மைப் ் பாருத்து புளளி நிம்யின் நிமலைத் திருப்புத் தி்ன் m x d 2 .
I m x d 2
தைலும் இச்ைைன்பாடமட தீர்கக
I m x d xd 2 2 2
I mx md dmx 2 2 2
I mx md d mx 2 2 2
இஙகு, I mxC 2 என்பது நிம் மையம் வழிச் ் ைல்லும் அச்மைப் பற்றிய நிமலைத் திருப்புத்தி்னாகும். I mxC 2
தைலும், mx 0 , ஏ்னன்்ால் x என்பது AB ஐமயப் ்பாருத்து தநர் ைற்றும் எதிர்ககுறி ைதிப்புகமளப் ்பற்றிருககும். இவற்றின் கூடுேல் mx சுழியாகும்.
உடல் ்பருமன், திருபபு விமை மறறும் நிமலமத் திருபபுத்தி்றன்
உடல் பருைன், ைற்றும் அேதனாடு கூடிய உடல் உபாமேகளான முதுகு வலி, மூடடு வலி தபான்்மவ உடலின் நிம்மையத்தின் இடப்்பயர்வினால் ஏற்படுகி்து. நிம்மையத்தின் இடப்்பயர்வினால் ைைானைற்் (unbalanced) திருப்பு விமை ்ையல்படடு இநே உடல் உபாமேகளுககு காைணைாகி்து. உடலின் மைய அச்சிலிருநது நிம்யானது தூைைாக பைவி இருப்போல் உடலின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் அதிகரிககி்து இேனால் உடமல திருப்புவது கடினைாக இருககும்
mg mg
N N
r
எனதவ, I I md I m dC C 2 2
இஙகு, Σm என்பது ் பாருளின் ் ைாத்ே நிம்மயக குறிககும் m M
I I MdC 2
இமண அச்சுத் தேற்்ம் நிரூபிககப்படடது. (ii) ்ைஙகுத்து அச்சுத் தேற்்ம் இநேத் தேற்்ைானது ்ைல்லிய ்பாருடகளுககு மிகவும் ்பாருத்ேைானது. ்ைல்லிய ைைேளப் பைப்பிற்கு ்ைஙகுத்ோன அச்மைப் பற்றிய நிமலைத் திருப்புத்தி்னானது அநே ேளத்திதலதய அமைநே ஒன்றுக்கான்று ்ைஙகுத்ோன இரு அச்சுகமளப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்களின் கூடுேலுககு ைைம். இநே மூன்று அச்சுகளும் ஒன்றுக்கான்று ்ைஙகுத்ேகவும் ஒரு ் பாதுப் புளளியில் ைநதிககுைாறு அமைநதிருககும். X ைற்றும் Y அச்சுகளினால் ஆன ேளத்தில் Z அச்சுககு ்ைஙகுத்ோன ்ைல்லிய ்பாருளின் ேளம் எனது Z அச்சிற்கு ்ைஙகுத்ோக அமைநதுளளது எனக ்காளக. X ைற்றும் Y அச்சுகமளப் ்பாருத்ே நிமலைத் திருப்புத் தி்ன்கள மும்தய IX ைற்றும் IY எனில் Z அச்மைப் ் பாருத்ே நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் IZ ஆகும். எனதவ, ்ைஙகுத்து அச்சுத் தேற்்த்தின் ைைன்பாடு ,
I I IZ X Y (5.47)
்படம் 5.25 இமண அச்சுத் தேற்்ம்
d
C
E
P
D
B
x
A
| உடà H±மå, ±ப® ம ைமற²Ý மல மÚ ±ப®ÚLåN Nrmgmgப±ைå, ைä²Ý அேதனா© ·}ய உபாமேகளான ¯«¤ வ, Âட© தபாå்மவ உடå ம் மையÚå Ü்பயßனாà ஏäப©x ் «. ம் மையÚå Ü்பயßனாà ைைானைä் (unbalanced) ±Ü® மை ்ையàபட© இநே உடà உபாமேக´க¤ ைணைாx ் «. உடå மைய அÖz±ந« ம் யான« ¾ைைாக பை இ±Üபோà உடå மலைڱܮÚ் å அக கx ் « இேனாà மல ±Ü®வ« க}னைாக இ±க¤Ý | |
|---|---|
| உடà உடà வ இடஇடகாஉட |
இேமன நிரூபிகக பு்ககணிககத்ேகக (negligible) ேடிைன் ்காணட ்ைல்லிய ்பாருளின் மீது ஆதிப்புளளி O மவக கருதுக. படம் 5.26 இல் காடடப்படடது தபால் Z அச்சுககு ்ைஙகுத்ோக X, Y அச்சுகளால் ஆன ேளம் உளளது. இம்்ைல்லிய ்பாருளானது m நிம் ்காணட பல துகளகளால் ஆனது எனக ் காளக O விலிருநது ஆய புளளிகள (x, y) உமடய P என்் புளளிமய எடுத்துக ் காளதவாம்.
்படம் 5.26 ் ைஙகுத்து அச்சுத் தேற்்ம்
m
Z
X r
Y
O y
x P
Z அச்மைப் ்பாருத்து துகளின் நிமலைத் திருப்புத் தி்ன் mr2
Z அச்மைப் ்பாருத்து ்ைல்லிய ்பாருளிள முழுவேற்குைான நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் I mr_Z_ 2
இஙகு , r x y2 2 2 எனதவ, I m x y_Z_ 2 2
I mx my_Z_ 2 2
இதில் Σmx2 என்பது Y அச்மைப் ்பாருத்து நிமலைத் திருப்புத்தி்னாகவும், அதேதபால் Σmy2 என்பது X அச்மைப் ்பாருத்ே நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் எனப்படும். எனதவ,
I myX 2 ைற்றும் I mxY 2
Iz ைைன்பாடடில் பிைதியிட
I I I_Z X Y_
்ைஙகுத்து அச்சுத் தேற்்ம் நிரூபிககப்படடது.
எடுத்துககாட்டு 5. 16 3 kg நிம்யும் 50 cm ஆைமும் ்காணட வடடத் ேடடு ஒன்றின் நிமலைத்திருப்புத்தி்மன பின்வரும் அச்சுகமளப் ்பாருத்து காணக. (i) வடடத்ேடடின் மையத்தில் ேளத்திற்கு
்ைஙகுத்ோக ்ைல்லும் அச்சு. (ii) வடடத்ேடடின் பரிதியின் ஏதேனும் ஒரு
புளளியின் வழிச்்ைல்வதும் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோனதுைான அச்சு.
(iii) வடடத்ேடடின் மையம் வழியாகவும் அதே ேளத்திதலதய ்ைல்வதுைான அச்சு,
தீரவு நிம், M = 3 kg, ஆைம் R = 50 cm = 50×10-2 m = 0.5 m (i) வடட ேடடின் மையத்தில் ேளத்திற்கு
்ைஙகுத்ோக ்ைல்லும் அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் (I) ஆனது.
I MR= 1
2
2
I = =× × × × ×1
2 3 0 5 0 5 3 0 5 0 5
2 ( . ) . . .
I = 0.375 kg m2
(ii) வடடத்ேடடின் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புளளி
I I MdC 2
வழிச் ்ைல்வதும் ேளத்திற்கு ்ைஙகத்ோனதுைான அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் (I) மய இமணயச்சு தேற்்த்தின் படி
கவவ்நவறு வடிவமுமடய திணமப க்பாருட்களின் நிமலமத்திருபபுத்தி்றன்
்வவ்தவறு வடிவமுமடய ்வவ்தவறு அச்சுகமள ்பாருத்ே நிமலைத்திருப்புத்தி்ன்கள அடடவமண 5.3 இல் ்காடுககப்படடுளளது.
இஙகு, I MRC = 1 2
2 ைற்றும் d = R
I MR MR MR 1 2
3 2
2 2 2
I 3 2
3 0 5 1 5 3 0 5 0 52. . . .
I kg m=1 125 2.
(ii) வடடத்ேடடின் மையம் வழியாகவும் அதே ேளத்திதலதய ்ைல்வதுைான அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத் தி்மன, ்ைஙகுத்து அச்சு தேற்்த்தின் படி (I) ,
I I I_Z X Y_
இஙகு I I I_X Y_= = , ைற்றும் I MR_Z_ = 1 2
2
I I_Z_ = 2 ; I I= 1 2 Z
I MR MR 1 2
1 2
1 4
2 2
I 1 4
3 0 5 0 25 3 0 5 0 52. . . .
I kg m= 0 1875 2.
� நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் ைதிப்பு எநே அச்மைப் ்பாருத்து சுழற்றும் தபாது சிறுைைாக உளளதோ அநே அச்மைப் ்பாருத்து சுழற்றுவது எளிமையானது. இநே எடுத்துககாடடில் மூன்்ாவோக ்ைால்லப்படடிருககும் அச்மைப்்பாறுத்து சுழற்றுவது எளிோனது.
எடுத்துககாட்டு 5. 17 கீதழ படத்தில் காடடப்படடுளள ்ைல்லிய ேணடினால் இமணககப்படடுளள இரு திணைக தகாளஙகமளக ்காணட அமைப்பின் நிமலைத் திருப்புத்தி்மன அேன் வடிவியல் மையத்மே (Geometric centre) ்பாறுத்துக காணக.
தீரவு தைதல காடடப்படடிருககும் அமைப்பானது மூன்று ்பாருளகளால் ஆககப்படடிருககி்து. (ஒரு ் ைல்லிய ேணடு ைற்றும் இைணடு திணைக தகாளம்) ேணடின் நிம், M = 3 kg ைற்றும் ேணடின் நீளம், l = 80 cm = 0.8 m
நிம்மையத்மேப் ்பாருத்து ேணடின் நிமலைத்திருப்புத் தி்ன்,
I Mrod = 1
12 2 l
, Irod 1
12 3 0 8 1
4 0 642. .
I kg mrod = 0 16 2.
தகாளத்தின் நிம், M = 5 kg ைற்றும் ஆைம், R = 10 cm = 0.1 m
நிம் மையத்மேப் ்பாருத்து தகாளத்தின்
நிமலைத்திருப்புத்தி்ன், I MRC = 2 5
2
அமைப்பின் வடிவியல் மையத்மேப் ்பாருத்து தகாளத்தின் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்
I I Mdsph C 2
இஙகு, d = 40 cm + 10 cm = 50 cm = 0.5 m
I MR Mdsph 2 5
2 2
Isph 2 5
5 0 1 5 0 52 2. .
Isph = × + × = +( . ) ( . ) . .2 0 01 5 0 25 0 02 1 25 I kg msph =1 27 2.
| 1IM= R2இங¤, ைä²Ý d = R1 3IM RM RM R2 2 2C3I 30 ..51 530 ..50 5222 2Ik= 1.125 gm2(ii) வடடÚேட}å மையÝ 2 வயாக¶Ý ேளÚதலதய ்ைàவ«ைான அÖமைமலைÚ±Ü®Ú ்மன , ்ைங¤Ú« தேä் Úå ப} (I) ,II I1II = = IM= R2ZX Yஇங¤ , ைä²Ý 1II=2 2XY Z1 1RM R2 4Z..50 2530 ..5022gm22 |
|---|
| அதே Ü பäய அÖ¦ |
| II = 21 ; IM2Z1I 304Ik= 0.1875 |
| 2IM 52I 5sphI =×(.20Iksph = 12.sphsph |
|---|
இவ்வமைப்பானது இரு தகாளஙகமளயும் ேணடிமனயும் ்பற்றிருப்போல் வடிவியல் மையத்மேப் ்பாருத்ே நிமலைத்திருப்பத்தி்ன் (I) ஆனது, I = Irod + (2 × Isph)
= (0.16) + (2 × 1.27) = 0.16 + 2.54 = 2.7_kgm_2
சுழல் இயககவியல் (ROTATIONAL DYNAMICS)
திருப்பு விமை, தகாண முடுககம், தகாண உநேம், தகாணத் திமைதவகம் ைற்றும் நிமலைத்திருப்புத் தி்ன் இமவகளுககு இமடதயயான ் ோடர்புகமளப் பகுதி 5.2 இல் பயின்த்ாம். இேன் ்ோடர்ச்சியாக இப்பகுதியில் திணைப்்பாருள ஒன்றின் மீது திருப்பு விமையினால் ்ையயப்படட தவமல, இயகக ஆற்்ல் தபான் ் இயககவியல் அளவுகளுககு இமடதயயான ்ோடர்புகமளப் பயிலலாம். இறுதியாக இடப்்பயர்வு இயககத்திற்கும், சுழற்சி இயககத்திற்கும் ்ோடர்புமடய அளவீடுகமள ஒப்பிடலாம்.
திணமப க்பாருட்களின் மீது திருபபு விமையின் விம்ளவு
திணைப் ்பாருள ஒன்றின் மீது சுழலும் அச்மைப் ்பாருத்து பு ் திருப்பு விமை ்ையல்படும்தபாது சுழலும் ்பாருளானது அச்மைப் ்பாறுத்து தகாண முடுககத்மேப் ்பறுகி்து. திருப்பு விமைககும் தகாண முடுககத்திற்கும் இமடதயயான ் ோடர்பு எணைதிப்பில்
I (5.48)
இஙகு, I என்பது திணைப்்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் ஆகும். சுழற்சி இயககத்தில் திருப்பு விமை என்பது தநர்தகாடடு இயககத்தில் விமைககுச் ைைானைானது.
எடுத்துககாட்டு 5. 18 500 g நிம்யும் 10 cm ஆைமும் ் காணட வடடத்ேடடு ஒன்று ேன்னிச்மையாக படத்தில் காடடப்படடது தபால நிமலயான அச்மைப் ்பாருத்துச் சுழல்கி்து. எமடயற்் ைற்றும் மீடசித் ேன்மையற்் கம்பியானது வடடத்தின் விளம்பில் சுற்றுகள சுற்்ப்படடு ைற்்்ாரு முமணயானது 100 g நிம்யுடன்
இமணககப்படடுளளது. 100 g நிம்யின் முடுககத்மே காணக. [ேகவல் : கம்பியானது வடடத்ேடடின் விளிம்பில் நழுவவில்மல. ைா்ாக வடடத்ேடடுடன் சுழல்கி்து g = 10 m s-2] தீரவு
m1
R
m2
வடடத்ேடடின் நிம்மய m1 எனவும் அேன் ஆைத்மே R எனவும் ்காளக. ்ோஙகவிடப்படட ்பாருளின் நிம் m2.
_m_1 = 500 g = 500_×_10-3 kg =_0.5 kg m_2 = 100 g = 100_×_10-3 kg = 0.1 kg R = 10 cm = 10_×_10-2 m = 0.1 m
வடடத்ேடடின் விளம்பில் பல மும் சுற்்ப்படடுளள மிகக கும்நே நிம்யுளள ைற்றும் மீடசியற்் கம்பியானது நழுவுேல் இல்லாைல் வடடத் ேடடுடன் சுழல்கி்து. நிம் m2 வின் ் ோடுதகாடடு முடுககமும் நிம் m1 இன் இடம்்பயர்வு முடுககமும் ைைம் . m1 ைற்றும் m2 விற்கு ேனித்ேனிதய ேனித்ே ் பாருளின் விமை (FBD) (Free Body Diagram) படத்மே வமைக. வட்டத்்தட்டிறகான ்தனித்்த க்பாருளின் விமைப்படம் (FBD) (Free Body Diagram)
T
R
N
m1g
m1
வடடத்ேடடின் மீது ்ையல்படும் புவியீர்ப்பு விமை (m g) ஆனது கீழதநாககியும்
5.3 ப
ல்த வ
று தி
ண ைப்
்ப ாரு
ளி ன்
நி ம
லை த்தி
ரு ப்பு
த்தி ்ன்
கள
வ . எ
ண க்ப
ாரு ள்
அச் ம
ைப க்ப
ாரு த்து
்பட ம்
நிம லம
த் தி
ரு பபு
த்தி ்றன்
(I)
kg m
2 சுழ
றசி ஆ
ரம் (k
) m வி
கி ்தம்
K R
2 2
1. ்ை
ல்லி ய
சீை ான
ே ண
டு
நிம ்
= M
நீள ம்
= l
நீள த்தி
ற்கு ச் ்
ைங கு
த்ே ாக
வு ம்
ம ைய
ம் வ
ழி யா
கவு ம்
்ை ல்வ
து ைா
ன அ
ச்சு 1 12
2 M
12 --
ேண டின்
ஒ ரு
மு ம
ன வ
ழி யா
கவு ம் நீ
ள த்தி
ற்கு ்ை
ங கு
த்ே ாக
்ை ல்வ
து ைா
ன
அச் சு
1 3 2
M
3
2.
சீை ான
் ைவ்
வ கத்
ே கடு
நிம ்
= M
நீள
ம் = l
அக லம்
= b
ேள த்தி
ற்கு க
்ை ங
கு த்ே
ான ம
ைய த்தி
ன் வ
ழி ச் ்
ைல் வ
து ைா
ன அ
ச்சு .
1 12 M
b (
) 2
2
( )
122
2
b –
வ டட
வ ம
ள யத்
தி ன்
ே ள
த்தி ற்கு
் ைங
கு த்ே
ாக வு
ம் அே
ன் ம
ைய ம்
வ ழி
ச் ்ை
ல்வ து
ைா ன
அ ச்சு
. M
_R_2 R
1
3.
்ை ல்லி
ய சீை
ான
வ டட
வ
ம ள
யம் நிம
் =
M ஆ
ைம் =
R
வ டட
வ
ம ள
யத் தி
ன்
ேள த்தி
ற்கு
்ை ங
கு த்ே
ாக வு
ம் வி
ளி ம்பு
வ
ழி ச்
்ை ல்வ
து ைா
ன அ
ச்சு .
2 2
M R
2 _R_
2
வ டட
வ
ம ள
யத் தி
ன்
ேள த்தி
ற்கு
இ ம
ண யா
கவு ம்
ம ைய
ம் வ
ழி ச்
்ை ல்வ
து ைா
ன அ
ச்சு .
1 2 M
_R_2 1 2
_R_
1 2
வ டட
வ
ம ள
யத் தி
ன்
ேள த்தி
ற்கு
இ ம
ண யா
ன து
ம் வி
ளி ம்பு
வ
ழி
்ை ல்வ
து ைா
ன அ
ச்சு
3 2 M
_R_2 3 2
_R_
3 2
4.
்ை ல்லி
ய சீை
ான வ
டட
ேட டு
நிம ்=
M
ஆ ைம்
= R
வ டட
த்ே டடி
ன்
ேள த்தி
ற்கு
்ை ங
கு த்ே
ாக வு
ம்,
ம ைய
த்தி ன்
வ
ழி ச்
்ை ல்வ
து ைா
ன அ
ச்சு .
1 2 M
R
1 √ 2
R 1 2
வ டட
த்ே ள
த்தி ற்கு
் ைங
கு த்ே
ாக வு
ம் வி
ளி ம்பி
ன் வ
ழி தய
ஏ தே
னு ம்
ஒரு
புள ளி
வ ழி
ச் ் ைல்
வ து
ைா ன
அ ச்சு
. 3 2
M R
R
3 2
வ டட
த்ே டடி
ன் ே
ள த்தி
ற்கு இ
ம ண
யா கவு
ம் ம
ைய ம்வ
ழி ச்
்ை ல்வ
து ைா
ன
அச் சு
1 4 M
R
1 2 R
1 4
வ டட
த்ே டடி
ன் ே
ள த்தி
ற்கு இ
ம ண
யா கவு
ம் வி
ளி ம்பி
ன் வ
ழி தய
ஏ தே
னு ம்
ஒரு புள
ளி வ
ழி ச் ்
ைல் வ
து ைா
ன அ
ச்சு .
5 4 M
R
R
5 4
| ்åகளڱܮÚமலை±å ா்பைܲ ணàதவப5.3 | EÝ 2 2 K R x | – | – | 1 | 2 | 1 2 | 3 2 | 1 2 | 3 2 | 1 4 | 5 4 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| z ஆரÝ (k) mற¦ழ | 12 | 3 | b22 12() | R | R2 | R 1 2 | R 3 2 | R 1 2√ | R | R 1 2 | R |
| å L 2மÚ ®Úமல ப (I) kg m± |2 M1 12 |2M1 3 |22 ()Mb1 12 |2MR |2MR2 |2MR1 2 |2MR3 2 |MR1 2 |MR3 2 |MR1 4 |MR5 4 | | டÝH | | ±Ú«கHாபÖமைஅ |ான அÖ¦ை«்ைàவக¶Ý மையÝ வயாக¶Ý Úோ¤்ைஙளÚä¤Ö |ான ை«்ைàவக Úோ¤்ைஙளÚä¤ வயாக¶Ý மன¯ஒ± }å ேண அÖ¦ |ான அÖ¦.ை«்ைàவன மையÚå வÖ Úோ¤்ைஙகளÚä¤ே |வÖ மையÝ å ேஅக¶Ý Úோ¤்ைஙளÚä¤ ேயÚå ான அÖ¦.மள ைவ «டவட ்ைàவ |வÖ Ý® க¶Ý Úோ¤்ைஙளÚä¤ ேயÚå வமள «ைான அÖ¦.டவட ்ைàவ |வÖ மையÝ யாக¶Ý மணஇளÚä¤ ேயÚå வமள «ைான அÖ¦.டவட ்ைàவ |வ Ý® யான«Ý மணஇளÚä¤ ேயÚå வமள «ைான அÖ¦டவட ்ைàவ |வÖ மையÚå க¶Ý, Úோ¤்ைஙளÚä¤ ே}å ைான அÖ¦.«டÚேடவட ்ைàவ |ஒ± ஏதேÝ தயவÝå க¶Ý Úோ¤ ான அÖ¦.ை்ைங «்ைàவளÚä¤ டÚே வÖ வட ®ள |ான ை«்ைàவÖ Ýவமையயாக¶Ý மணஇளÚä¤ ே}å டÚேடவட அÖ¦ |ஏதேÝ தயவÝå யாக¶Ý மண ான அÖ¦.இ ை«ளÚä¤ ்ைàவே}å வÖ ளடÚேடவட ஒ± ® | | ±ãகHா |©ேணைான = M = làய ம்்ை ளÝ |க©ேகÚ ்ைáவ = M = l = bைான ம் ளÝ அகலÝ |டவடைானயÝ = M = Ràய மள ம் ைÝ ்ை வ ஆ |டைான வட= M àய © ம் ைÝ = R்ை ேட ஆ | | ணவ. எ |1. |2. |3. |4. |
5.
்ை ல்லி
ய சீை
ான
உ ள
ளீ டற்
் உ
ரு ம
ள நிம
்= M
நீள
ம் = l
ஆ ைம்
= R
உ ரு
ம ள
யி ன்
ம ைய
ம் வ
ழி யா
க அே
ன் அ
ச்சி ன்
வ ழி
ச் ் ைல்
வ து
ைா ன
அ ச்சு
M
R
R 1
உ ரு
ம ள
யி ன்
ம
ைய ம்
வ ழி
யா க
அே ன்
அச்
சிற் கு
்ை
ங கு
த்ே ாக
்ை
ல்வ து
ைா ன
அ ச்சு
M R 2
+ 12
2
R 2 +
12 2
- -
6.
சீை ான
தி ண
ை உ
ரு ம
ள
நிம ்
= M
நீள ம்
= l ஆ
ைம் =
R
உ ரு
ம ள
யி ன்
ம ைய
ம் வ
ழி யா
க அே
ன் அ
ச்சி ன்
வ ழி
ச் ் ைல்
வ து
ைா ன
அ ச்சு
1 2
M R
1 √ 2
1 2
உ ரு
ம ள
யி ன்
ம
ைய ம்
வ ழி
யா க
அே ன்
அச்
சிற் கு
்ை
ங கு
த்ே ாக
்ை
ல்வ து
ைா ன
அ ச்சு
M R 4
+ 12
2
R 4 +
12 2
- -
2 2
7. சீை
ான ்
ைல் லி
ய தக
ாள கக
கூ
டு நிம
்= M
ஆ
ைம் =
R
தக ாள
கத் தி
ன் வி
டட த்தி
ன் வ
ழி யா
கவு ம்
ம ைய
ம் வ
ழி ்
ைல் வ
து ைா
ன அ
ச்சு 3
M R
R
3
தக ாள
கத் தி
ன் வி
ளி ம்பு
வ ழி
ச் ் ைல்
வ து
ைா ன
அ ச்சு
5 3
M R
R
5 3
8. சீை
ான தி
ண ைக
த கா
ள ம்
நிம ்=
M
ஆ ைம்
= R
தக ாள
கத் தி
ன் வி
டட த்தி
ன் வ
ழி யா
கவு ம்
ம ைய
ம் வ
ழி ்
ைல் வ
து ைா
ன அ
ச்சு 2 5
M R
R
2 5
தக ாள
கத் தி
ன் வி
ளி ம்பு
வ ழி
ச் ் ைல்
வ து
ைா ன
அ ச்சு
7 5 M
R
R
7 5
| 1 | - - | 1 2 | - - | 2 3 | 5 3 | 2 5 | 7 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| R | 2 12+R 2 | 1 2√ | 2 12+R 4 | R | R | R | R |
| MR |2 12+R 2M |MR1 2 |2 12+R 4M |MR2 3 |MR5 3 |MR2 5 |MR7 5 |
| அÖ¦ ான ை«்ைàவவÖ அÖzå å ேஅவயாக மையÝ å மளஉ± |க Úோ¤்ைஙஅÖzä¤ å ேஅவயாக மையÝ å ைான அÖ¦«மளஉ± ்ைàவ |அÖ¦ ான ை«்ைàவவÖ அÖzå å ேஅவயாக மையÝ å மளஉ± |க Úோ¤்ைஙஅÖzä¤ å ேஅவயாக மையÝ å ைான அÖ¦«மளஉ± ்ைàவ |அÖ¦ான ை«்ைàவவ மையÝ ¶Ý வயாகÚå டடளகÚå தகா |ான அÖ¦ ை«்ைàவளகÚå Ý®வÖ தகா |அÖ¦ான ை«்ைàவவ மையÝ ¶Ý வயாகÚå டடளகÚå தகா |ான அÖ¦ை«்ைàவளகÚå Ý®வÖ தகா | | மளைான உ±ä்= M àய ளட ம் ைÝ = R்ை உ ளÝ = l ஆ |மள உ±ை = M ைான ண ம் ைÝ = R ளÝ = l ஆ |களகதகாàய ்ை = M ைான ம் ைÝ = R ·© ஆ |ளÝ தகாைக= M ைான ண ம் ஆைÝ = R | | 5. |6. |7. |8. |
வடடத்ேடடானது மையத்தில் ்பாருத்ேப்படடுளள மையப் புளளியின் வழியாக ்ைஙகுத்து விமை (N) யும் ்ையல்படுகி்து. வடடத்ேடடின் பரிதியில் சுழலும் அச்சிற்குச் ்ைஙகுத்ோகக கீழதநாககி இழுவிமை T ்ையல்படுகி்து. தைலும் புவியீர்ப்பு விமையும் (m1g) யும் ்ைஙகுத்து விமை N ம் ஒன்ம் ஒன்று ைைன்்ையகி்து. m1g = N இழுவிமை T ஆனது திருப்பு விமைமய (R T) அளிப்போல் வடடத்ேடடானது தகாண முடுககம்
a R
வுடன் சுழற்சி இயககத்திற்கு
உடபடுகி்து. இஙகு a என்பது வடடத்ேடடின் விடடத்தில் உளள புளளி ்ோடுவியல் திமையில் உணரும் தநர்தகாடடு முடுககைாகும். இவ்வடடத்ேடடின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் I ைற்றும் இேன் சுழற்சி ஆைம் K எனில்
R T I _;_ R T m K a R
1 2
T m K a R
1 2
2
கம்பியின் ஒரு முமனயில் கட்டப்பட்ட நிம்றயின் ்தனித்்த க்பாருளின் விமைப்படம் (FBD) இேன் புவியீர்ப்பு விமை (m2g) கீழதநாககிச் ்ையல்படுகி்து ைற்றும் இழுவிமை T தைல்தநாககி ்ையல்படுகி்து. இவற்றின் ்ோகு பயன் விமை நிம்யின் மீது கீழதநாககிச் ்ையல்படுகி்து. (T < m_2_g)
T
m2g
m2am2
m g T m a2 2
வடடத்ேடடினால் ்ையல்படும் இழுவிமை T மய பிைதியிட
m g m K a R
m a2 1 2
2 2
m g m K a R
m a2 1 2
2 2
m g m K R
m a2 1
2
2 2
a m
m K R
m g
2
1
2
2 2
K R
2
2
என்் ைைன்பாடு வடடத்ேடடின் ேளத்திற்கு
்ைஙகுத்ோகவும் மையம் வழிச் ்ைல்லும் அச்மைப்
பற்றி சுழல்வோல் பிைதியிடடு சுருகக, K R
2
2
1 2
= .
முடுககத்திற்கான ைைன்பாடு கீழககணடவாறு கிமடககும்.
a m m m
g
2
1 22
; a m m m
g
2 2
2
1 2
ைதிப்புகமளப் பிைதியிட,
a
2 0 1 0 5 0 2
10. . .
= 0 2 0 7
10. .
×
a ms 2 857 2.
நகாணஉந்த மா்றா விதி
்வளிப்பு் திருப்புவிமை ்ையல்படாே வமை, சுழலும் திணைப் ்பாருளின் ்ைாத்ேக தகாணஉநேம் ைா்ாது. இதுதவ தகாண உநே ைா்ா விதி
dL dt
0 எனில், L = ைாறிலி (5.49)
தகாண உநேம் L I , எனும் தபாது தகாணஉநே ைா்ா விதியின்படி ்ோடகக தகாணஉநேம் = இறுதி தகாணஉநேம்.
| a m 2 |
|---|
| ்ைஙபä ¯©கxை | mg mK a maRamg mK 2 K ma mg21 m R 2 2ma R 221 2m 2a K2 21 m 2 m2 R 221 2 2ைைåபா © வடடÚேட }å ேக¶Ý மையÝ வÖ ்ைà³Ý ாà ைட© ¦±கக, äகான ைைåபா © ழககm 2mg a mm 2 m ; 2 21 122Ü ைட,20 .1 02. 1 × 10.. 02 07.= am 2.857 s2 | g |
|---|
| ளÚä¤ K 1அÖமை= Ü R 2. ணட2 வா² 2 | | K R எå்2¤Úோ2¦ழàவேகÚமடக¤Ý.a m 2Ü®கமளa 05 |
| g |
| m2 |
I I_i i f f_ (அல்லது) Iω = ைாறிலி (5.50)
இச்ைைன்பாடடின் மூலம், தகாண உநேம் ைா்ாைல் இருகக I அதிகரிககும் தபாது ω கும்யவும், அல்லது ω அதிகரிககும் தபாது I கும்யவும் ்ையயும் என அறியலாம். தகாண உநே ைா்ா விதியின் ேத்துவைானது பல சூழநிமலகளில் பயன்பாடடில் உளளது. மிகச் சி்நே உோைணைான ஐஸ் நடனக கமலஞரின் சுழற்சி விமளயாடடு படம் 5.27 இல் காடடப்படடுளளது. நடனக கமலஞர் ேன்மனத் ோதன சுழற்றும் தபாது அவைது மககமள ்வளிப்பு்ைாக நீடடினால் சுழலும் தவகம் கும்கி்து. ஏ்னன்்ால் மககமள உடலுககு ்வளிப்பு்ைாக நீடடும்
்படம் 5.27 ஐஸ் நடனக கமலஞரின் தகாண உநே ைா்ாவிதிமய நிரூபித்ேல்
தபாது நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் அதிகரிப்போல் தகாணத்திமைதவகம் கும்நது சுழலும் தவகம் கும்கி்து. மககமள உடமல தநாககி உடபு்ைாக ைடககும் தபாது நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் கும்வோல் சுழலும் தவகம் அதிகரிககி்து.
்படம் 5.28 நீச்ைல் குளத்தில் உயைத்திலிருநது குதிககும் நீச்ைல் வீைர் ேனது உடமல உடபு்ைாக சுருககி ்காளவேன் மூலம் நிமலைத்திருப்புத் தி்மன கும்ப்பது சுழற்சி தவகத்மே அதிகரிகக உேவுவோல், காற்றில் ப்நது வரும்தபாது பல குடடிகர்ணஙகமளக காற்றில் தைற்்காளகி்ார்.
எடுத்துககாட்டு 5. 19 ω தகாணத் திமைதவகத்துடன் சுழலும் வடட தைமையின் மீது ைர்ககஸ் வீைர் ஒருவர் மககமள நீடடிய நிமலயில் உளளார். அவர் மககமளத் ேன்மன தநாககி உடபு்ைாக ைடககும் தபாது நிமலைத்திருப்புத் தி்னானது ஆைம்ப ைதிப்பிலிருநது மூன்றில் ஒரு பஙகாகக கும்கி்து. அவைது புதிய நிமலயில் தகாண திமை தவகத்மே காணக. (ேகவல் – பு்த்திருப்பு விமை ் ையல்படாே நிமலயில்) தீரவு மககள நீடடப்படட நிமலயில் ைர்ககஸ் வீைரின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் I என்க. ைர்ககஸ் வீைரின்
மீதும் சுழல்தைமை மீதும் திருப்பு விமை எதுவும் ்ையல்படாே நிமலயில் தகாண உநேம் ைா்ாது எனதவ தகாண உநேத்தின் ைைன்பாடானது.
I I_i i f f_ω ω=
I Ii iω ω= 1 3 i f I I_f i_=
1 3
ω ω_f i_= 3
தைற்கணட முடிவிலிருநது ஆைம்பக தகாணத் திமைதவகைானது மூன்று ைடஙகு அதிகரித்துளளது என்பது ்ேளிவாகி்து.
திருபபு விமையினால் கையயப்பட்ட நவமல
திணைப்்பாரு்ளான்று நிமலயான அச்மைப் பற்றி சுழல்கி்து எனக ்காளக. இநேப்பாடப் புத்ேகத் ோளின் ேளத்திற்குச் ்ைஙகுத்ோன அச்மைப் ்பாறுத்துச் சுழலக கூடிய ்பாருள ஒன்றின் குறுககு ்வடடுத் தோற்்த்மேப் படம் 5.29 இல் காணலாம். F என்் ்ோடுதகாடடு விமை ்பாருளின் மீது P என்் புளளியில் ்ையல்படுகி்து.
்படம் 5.29 திருப்பு விமையினால் ்ையயப்படட தவமல
P
dθ
O
r F
ds
இநேத் ்ோடுதகாடடு விமை F ஆனது ்பாருமளச் சிறிய அளவில் இடப்்பயர்ச்சி (ds) ்ையகி்து. விமையினால் ்ையயப்படட தவமல (dW)
dW Fds=
இடப்்பயர்ச்சி ds ககும் சுழற்சிக தகாணம் dθ ககும் இமடதயயான ்ோடர்பு
ds r d
விமையினால் ்ையயப்படட தவமலககான ைைன்பாடு
dW = F ds; dW = F r dθ
இதில் F r ஆனது விமையினால் ்பாருளின் மீது உருவாககப்படட திருப்பு விமை τ என்போல்,
dW d= τ θ (5.51)
ஒரு நிமலயான அச்மைப் ்பாருத்து சுழலும் ்பாருளின் மீது ் வளிப்பு்த் திருப்பு விமையினால் (τ) ்ையயப்படட தவமல தைற்கணட ைைன்பாடடினால் ்ப்ப்படுகி்து. இடப்்பயர்வு இயககத்திற்குத் ்ோடர்புமடய விமையினால் ்ையயப்படட தவமலயின் ைைன்பாடு.
dW Fds=
சுழறசி இயககத்தின் இயகக ஆற்றல்
திணைப் ்பாருள ஒன்று அச்மைப் ்பாருத்துக தகாணத் திமைதவகம் ω வுடன் சுழல்வமேப் படம் 5.30 இல் காணலாம். ்பாருளில் உளள ஒவ்்வாரு துகளும் அச்மைப் ்பாறுத்து ஒதை தகாண திமைதவகத்மேயும் (ω) ஆனால் ்வவ்தவ்ான ்ோடுதகாடடுத் திமைதவகஙகமளயும், ் பற்றிருககும். சுழலும் அச்சிலிருநது mi நிம்யுடன் ri ்ோமலவில் உளள துகமளக கருதுக. இநேத் துகள கீழககணட ைைன்பாடடின் vi = ri ω ்ோடுதகாடடுத் திமைதவகம் ்காணடிருநோல் அத்துகளின் இயகக ஆற்்ல்,
KE m v_i i i_= 1 2
2
| «Ý ¦ழàதைம ை «Ý ±Ü® மை எ«¶Ý ்ையàபடாே மலà தகாண உநேÝ ை ா் ா« எனதவ தகாண உநேÚå ைைåபா டான«.IIωω=1II ωω= 3 II = 13 ii ffωω= 3ii if fiதைäக ணட ¯}±ந« ஆைÝபகfiதகாணÚ மைதவகை ான« Âå² ை டங¤ அக Ú«ளள« எåப« ்ேவாx் «. |
|---|
| dsdθ |
|---|
இச்ைைன்பாடமட தகாண திமைதவகத்மேப் பயன்படுத்தி எழுே
KE m r m r_i i i i i_ 1 2
1 2
2 2 2
இதே தபான்் துகளகளால் ஆககப்படடுளள ்ைாத்ே ்பாருளின் இயகக ஆற்்ல்
KE m r 1 2
2 2 i i
இஙகு Σm ri i 2 , என்பது ்பாருளின்
நிமலைத்திருப்புத்தி்னாகும்
I m ri i 2
திணைப் ்பாருளின் சுழற்சி இயககத்தில் இயகக ஆற்்லுககான ைைன்பாடு
KE I 1 2
2 (5.52)
இநே ைைன்பாடடுககு இமணயான இடப்்பயர்ச்சி இயகக ஆற்்ல் ைைன்பாடு,
KE Mv= 1 2
2
சுழல் இயகக ஆற்றலுககும் நகாண உந்தத்திறகும் இமடநயயான க்தாடரபு நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் I ்காணட திணைப்்பாரு்ளான்று ω தகாணத்திமை தவகத்துடன் சுழல்கி்து எனக ்காளக. ்பாருளின் தகாண உநேம், L I
்பாருளின் சுழல் இயகக ஆற்்ல், KE I 1 2
2
்படம் 5.30 சுழற்சி இயககத்தின் இயகக ஆற்்ல்
mri
இச்ைைன்பாடடின் பகுதிமயயும் ்ோகுதிமயயும் I ஆல் ்பருகக, I ைற்றும் இயகக ஆற்்ல் (KE) இமடதயயான ்ோடர்மபப் ்ப்லாம்,
KE I I
I I
1
2 1 2
2 2 2
KE L I
= 2
2 (5.53)
எடுத்துககாட்டு 5.20 9 kg நிம்யும் 3 m ஆைமும் ் காணட வமளயைானது, அநே வமளயத்தின் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோகவும், மையம் வழிச் ்ைல்லும் அச்மைக பற்றி 240 rpm தவகத்தில் சுழலும்தபாது அது ்பற்றுளள சுழல் இயகக ஆற்்மல கணககிடுக. தீரவு ்பாருளின் சுழல் இயகக ஆற்்ல், KE I
1 2
2
வமளயத்தின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் I = _MR_2
I kg m 9 3 9 9 812 2
வமளயத்தின் தகாண தவகம்,
240 240 2
60 1rpm rad s
KE
1
2 81 240 2
60 1 2
81 8 2
2
KE 1 2
81 64 25922 2
KE J≈ 25920 2 10
KE = 25.920 kJ
திருபபு விமையின் தி்றன் (Power Delivered by Torque)
தி்ன் என்பது ஒைலகு தநைத்தில் ்ையயப்படட தவமலயாகும். ்ையயப்படட தவமலமய தவமல ்ையயப்படட சிறிய தநைத்ோல் வகுகக கிமடப்பது. உடனடித்தி்ன் (P) எனப்படும்.
P dw d dw d )= = = dt dt
τ θ τ θ(
| 9 kg ம் °Ý 3 m ஆை¯Ý ்காணட வமளயை ான«,அநே வமளயÚå ேளÚä¤ ்ைங¤Úோக¶Ý, மையÝ வÖ ்ைà³Ý அÖமைக பä 240 rpm தவகÚà ¦ழ³Ýதபா« அ« ்பä²ளள ¦ழà இயகர¶ க ஆä்மல கணகx©க.1KE I2்பா±å ¦ழà இயகக ஆä் à, I = MRவமளயÚå மலை ڱܮÚ் åIk93 99 81 gm2வமளயÚå 22தகாண தவகÝ, 240 2rpmr ad s60 240 2 181 81 8 60 2 181 64 259222≈ 25920 J 10222 |
|---|
| 2401KE 21KE 2KEKE = 25.920 kJ |
P (5.54)
இநேச் ைைன்பாடடிற்கு இமணயான இடப்்பயர்ச்சி இயககத்தின் உடனடித் தி்னிற்கான ைைன்பாடு
P Fv=
இடபக்பயரச்சி மறறும் சுழறசி இயகக அ்ளவுகளுககான ஒபபீடு
சுழற்சி இயககத்திலுளள ்பரும்பான்மையான ைைன்பாடுகள இடப்்பயர்ச்சி இயககத்திமனப் தபான்த் இருப்போல் சுழற்சி இயககத்தில் உளள அளவுகமள இடப்்பயர்ச்சி இயககத்தில் உளள அளவுகதளாடு அடடவமண 5.4 இல் ஒப்பிடப்படடுளளது.
அட்டவமண 5.4 சுழல் ைற்றும் இடப்்பயர்ச்சி இயககங வ.எண இடபக்பயரச்சி இயககம் 1 இடப்்பயர்ச்சி, x 2 தநைம், t
3 திமைதவகம், v = dx dt
4 முடுககம், a = dv dt
5 நிம், m 6 விமை, F = ma 7 உநேம், p = mv 8 கணத்ோககு, F ∆t = ∆p 9 விமையினால் ்ையயப்படட தவமல, W = F s 10 இயகக ஆற்்ல், KE m v=
1 2
2
11 தி்ன், P = F v
உருளும் இயககம் (ROLLING MOTION)
உருளும் இயககத்மே ்பரும்பாலான தினைரி வாழவியல் ்ையல்களில், காண இயலும். ைககைத்தின் இயககம் உருளும் இயககத்திற்கு
சி்நே எடுத்துககாடடு. வடட வடிவ ்பாருடகளான வமளயம், வடடத்ேடடு, தகாளம் தபான்்வற்றின் இயககம் உருளும் இயககத்திற்கு சி்நே எடுத்துககாடடுகளாகும். கிமடத்ேளப்பைப்பில் வடடத்ேடடு ஒன்றின் உருளும் இயககத்திமனப்பற்றி நாம் இப்தபாது கற்கலாம். வடடத்ேடடின் விளம்பில் P என்் புளளிமய கருதுக. உருளும் தபாது அப்புளளியானது நிம் மையத்திமன ் பாறுத்து சுழற்சி இயககத்திமனயும். தைலும், நிம்மையத்தோடு தைர்நது இடப்்பயர்ச்சி இயககத்திற்கும் உளளாகி்து.
இடபக்பயரச்சியும் சுழறசியும் நைரந்த இயககம்
உருளும் இயககத்தில் இடப்்பயர்ச்சி ைற்றும் சுழற்சி இயககஙகள எவ்வாறு ்ோடர்புமடயது என்பமே இப்பகுதியில் பயிலலாம். சுழலும் ேடடின் ஆைம் R எனில் ஒரு முழு சுழற்சியின் தபாது அேன் நிம்மையைானது அமடயும் இடப்்பயர்ச்சி 2πR ஒரு முழு சுழற்சியின் தபாது நிம்மையம் ைடடுைல்லாைல் வடடத்ேடடில் உளள அமனத்து துகளகளும் அதே அளவான 2πR, இடப்்பயர்ச்சிமய
களின் ஒப்பீடு சுழறசி இயககம்
தகாண இடப்்பயர்ச்சி, θ தநைம், t
தகாண திமைதவகம், d dt
தகாண முடுககம், d dt
நிமலைத்திருப்புத்தி்ன், I திருப்பு விமை, τ = I α தகாண உநேம், L = Iω தகாணகணத்ோககு, τ∆t = ∆L திருப்புவிமையினால் ்ையயப்படட தவமல, W = τ θ
இயகக ஆற்்ல், KE I 1 2
2
தி்ன், P = τω
| இட Ü்பயßÖz, x |
|---|
| தநை Ý, t |
| dxv =dtமைதவகÝ, |
| dva =dt¯©ககÝ, |
| ம், m |
| மை, F = ma |
| உநேÝ, p = mv |
| கணÚோக¤, F ∆t = ∆p |
| மைனாà ்ையயÜபடட தவமல, W = F s |
| 1KE = mv2இயகக ஆä்à, 2 |
| ்å, P = F v |
அமடநதுளளது இநநிகழவில் நிம்மையைானது தநர்தகாடடுப் பாமேயில் இயஙகுகின்்து. ஆனால் ைற்் புளளிகள அமனத்தும் இடப்்பயர்ச்சி ைற்றும் சுழற்சி ஆகிய இைணடு இயககஙகமளயும் ்பற்றுளளன. வடடத்ேடடின் விளிம்பில் உளள புளளி தைற்்காளளும் பாமேமய படம் 5.31 ்ேளிவாக விளககுகி்து. இது தைற்்காளளும் சி்ப்புப் பாமேககு மைகளாயடு (cycloid) என்று ்பயர்.
நிம் மையத்தின் திமைதவகம் VCM என்பது இடப்்பயர்ச்சி திமைதவகம் VTRANS (VCM = VTRANS) ககுச் ைைம். ைற்் அமனத்து புளளிகளும் இரு திமைதவகஙகமள ்பற்றுளளன. முேலாவோக இடப்்பயர்ச்சித் திமைதவகம் (VTRANS) [நிம்மையத்தின் திமைதவகத்மே தபான்த்] ைற்றும் இைணடாவோக சுழற்சித் திமைதவகம் VROT (VROT = r ω இஙகு r என்பது நிம் மையத்திலிருநது புளளியின் ்ோமலவு ைற்றும் ω தகாணத்திமை தவகம்). ஒரு குறிப்பிடட கணத்தில் நாம் கருதிய புளளியின் திமைதவகம் VROT ஆனது நிமல்வகடருககு ்ைஙகுத்ோக படம் 5.32 (a) இல் அமையும் இவ்விரு திமைதவகஙகளின் ் ோகுபயன் திமைதவகம் V எனப்படும். ்பாருளானது உருளும் நிமலயில் கிமடப்பைப்மப ்ோடும் புளளியிலிருநது ்ப்ப்படும் நிமல ்வகடருககு ்ைஙகுத்ோக ்ோகுபயன் திமைதவகம் V அமைநதிருப்பமே படம் 5.32(b) இல் காணலாம்.
்படம் 5.31 இடப்்பயர்ச்சியும் சுழற்சியும் தை
ர்நே இயககம்
(b) கிமடப்பரபபில் க்தாடும் புள்ளிமய ்பாருத்து
(a) நிம்றமமயத்ம்தப க்பாருத்து
்படம் 5.32 ஏதேனும் ஒரு புளளியில் ்ோகுபயன் திமைதவகம்
உருளும் இயககத்தின் தபாது ்ோடுபுளளியின் முககியத்துவத்மே கருதுதவாம். நழுவுேலற்் உருளுேலின் (pure rolling) தபாது, ேமைப்பைப்மப ்ோடும் புளளி கணதநைத்திற்கு அமைதி நிமலயில் இருககும். ் பாருளின் விளிம்பில் உளள அமனத்துப் புளளிகளுககும் இதே நிகழவானது ்பாருநதும். உருளுேலின் தபாது, விளிம்பில் உளள அமனத்து புளளிகளும் ஒன்்ன் பின் ஒன்்ாக கிமடப்பைப்புடன் ்ோடர்பு ் காளளும்தபாது கணதநைத்திற்கு அமைதி நிமலமய அமடநது, முன்தப கூறியது தபால் மைகளாயடு பாமேமய தைற்்காளகி்து. எனதவ நழுவுேலற்் உருளுேல் இயககத்மே இரு வமககளாக கருேலாம். (i)நிம் மையத்மேப் ்பாறுத்து இடப்்பயர்ச்சி
ைற்றும் சுழற்சி இயககஙகள. (அல்லது) (ii)உருள இயககத்தின் தபாது கிமடப்பைப்மப
்ோடும் புளளியின் கண தநை சுழற்சி இயககம். நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது கிமடப்பைப்மப ்ோடும் புளளியிலிருநது அமைதி நிமலமய அமடவோல் விமளவுத் திமைதவகம் V சுழியாகி்து (V = 0). உோைணைாக, படம் 5.33, லிருநது VTRANS முன்தனாககியும் ைற்றும் VROT பின்தனாககியும் எணணளவில் ைைைாகவும் ஒன்றுக ்கான்று எதிர் திமையிலும் இருப்பமே VTRANS– VROT =0 குறிககி்து. VTRANS ைற்றும் VROT ஆகியமவ நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது ்பாருளின் விளிம்பில் உளள அமனத்து புளளிகளும் கிமடப்பைப்மபத் ்ோடும் தபாது VTRANS ைற்றும் vROT எணணளவில் ைைைாகவும் உளளது (VTRANS = VROT) எனக கூ்
்படம் 5.33 நழுவுேலற்் உருளுேலில் பைப்மப ்ோடும்
இயலும். எனதவ VTRANS = VCM ைற்றும் VROT = Rω, எனும் தபாது நழுவுேலற்் உருளுேல் பின்வருைாறு எழுேப்படுகி்து.
v_CM_ = R ω (5.55)
ைைன்பாடு 5.55 ஆனது சி்ப்பு அம்ைஙகமளக ்காணடுளளது என்பமே நாம் நிமனவில் ்காளள தவணடும். சுழற்சி இயககத்தின தபாது, V= rω என்் ்ோடர்பின் படி, வடடத்ேடடின் மையத்தில் r சுழியாவோல் மையப்புளளி திமைதவகத்மே ்பற்றிருககாது. ஆனால் உருள இயககத்தின் தபாது ைைன்பாடு 5.55 இன் படி வடடத்ேடடின் மையைானது VCM என்் திமை தவகத்மே ்பற்றிருப்பமே சுடடிககாடடுகி்து.
்படம் 5.34 நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது ்வவ்தவ்ான புளளிகளில் திமைதவகம்
CM
Q
2vCM
vCM
P
P ′
நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது ்பருை உயைப் புளளியானது VTRANS ைற்றும் VROT என்் இரு திமைதவகஙகமளயும் ஒதை எணைதிப்மபயும்,
புளளியிடத்து ஒயவு நிமல
|——|——|——|
ஒதை திமைமயயும் (வலப்பககைாக) ்பற்றிருககும். எனதவ, ்ோகுபயன் திமைதவகம், V = VTRANS + VROT. இன்்னாரு வடிவில் படம் 5.34 இல் காடடப்படடுளளது தபால் திமைதவகம், V = 2 VCM
�ழுவு்தலும் ைறுககு்தலும் (Slipping and Sliding)
தகாளவடிவப் ் பாருடகள இயஙகும் ் பாழுது எநே வமக கிமடப்பைப்பிலும் உைாயவுக குணகம் (µ > 0) சுழிமய விட அதிகைாக உளளதபாது உருள ஆைம்பிககும். ஒரு ்பாருள உருள தேமவப்படும் உைாயவு விமைமய உருளுேலின் உைாயவு என்கித்ாம். நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது கிமடப்பைப்மபத் ்ோடும் புளளியானது ைார்புத்திமைதவகத்மேப் ்பற்றிருககாது உருளுேலின்தபாது ்பாருளின் தவகத்மே அதிகரிககதவா அல்லது கும்ககதவா மும்தய முடுககத்மே அதிகைாககுவோதலா அல்லது கும்ப்போதலா ஏற்படுகி்து. இது திடீ்ைன்று நடககும்தபாது, உருளும் ்பாருள நழுவதவா அல்லது ைறுககதவா ்ையகி்து.
ைறுககு்தல் ைறுககுேல் என்பது VCM>Rω (VTRANS>VROT) எனும் நிபநேமனயின்தபாது நிகழகி்து. அோவது இஙகு சுழற்சி இயககத்மேவிட இடப்்பயர்ச்சி இயககம் அதிகம். இவ்வமகயானது, ஒரு இயஙகும் வாகனம் திடீ்ைன ேமடமய (brake) உணரும்தபாதோ அல்லது வாகனம் வழுவழுப்பான பைப்பில் இயஙக
மாட்டு வண்டியின் சக்கரங்கள் பாரம்பரிய வழியி வந்தது. இது நழுவுதலற்ற உருளுத
ஆைம்பிககும் தபாதோ ஏற்படுகி்து. இநநிகழவின் தபாது கிமடப்பைப்மப ்ோடும் புளளியில் VROT விட VTRANS அதிகைாக இருககும். இேன் ்ோகுபயன் திமைதவகைானது முன்தனாககிய திமையில் படம் 5.35 இல் காடடப்படடது தபால் அமையும். இயகக உைாயவு விமையானது (fk) ைார்பு இயககத்மே எதிர்ககும். எனதவ இவ்விமை ைார்புத் திமைதவகத்திற்கு எதிர் திமையில் ்ையல்படுை. உைாயவு விமையானது இடம்்பயர்வு திமை தவகத்மே கும்ய ்ையது ்பாருளானது நழுவுேலற்் உருளுேமல ஏற்படுத்தும் வமை தகாண திமைதவகத்மே அதிகரிகக ்ையயும். ைறுககுேல் என்பமே முன்தனாககு நழுவுேல் என்றும் கூ்லாம்.
்படம் 5.35 ைறுககுேல்
vROT vTRANS
fk v
ல் மிக நுட்பமாக ெசய்து பயன்படுத்தப்பட்டு லுக்கு ஒர் சிறந்த எடுத்துக்காட்டு.
�ழுவு்தல் நழுவுேல் என்பது VCM < Rω (VTRANS < VROT) எனும் நிபநேமனயின்தபாது நிகழகி்து. நழுவுேலின்தபாது இடப்்பயர்ச்சி இயககத்மே விட சுழற்சி இயககம் அதிகம். இவ்வமகயானது இயஙகும் வாகனம் ஓயவு நிமலயிலிருநது திடீ்ைன தவகைாக இயஙக ஆைம்பிககும்தபாதோ அல்லது தைற்றில் ைாடடிய வாகனம் இயஙகும் தபாதோ ஏற்படுகி்து. இநநிகழவின் தபாது கிமடப்பைப்மப ் ோடும் புளளியில் vTRANS மவ விட vROT அதிகைாக இருககும். இேன் ்ோகுபயன் திமைதவகைானது பின்தனாககிய திமையில் படம் 5.36 இல் காடடப்படடுளளது தபால் இருககும். இயகக உைாயவு விமையானது (fk) ைார்பு இயககத்மே எதிர்ககும். எனதவ இவ்விமை ைார்புத் திமைதவகத்திற்கு எதிர் திமையில் திமை தவகத்மே கும்யச் ்ையது ்பாருளானது நழுவுேலற்் உருளுேமல ஏற்படுத்தும் வமை இடம்்பயர்வுககு திமைதவகத்மே அதிகரிககும். இவ்வமக ைறுககுேமல பின்தனாககி நழுவுேல் என்றும் கூ்லாம்.
்படம் 5.36 நழுவுேல்
vROT vTRANS
fkv
எடுத்துககாட்டு 5.21 உருளும் ைககைம் ஒன்றின் நிம் மையைானது 5 m s-1 திமைதவகத்துடன் இயஙகுகி்து. இேன் ஆைம் 1.5 m ைற்றும் தகாண திமைதவகம் 3 rad s-1,
_இச்ைககைம் நழுவுேலற்் உருளுேலில் உளளோ என தைாதிகக? தீரவு இடம்்பயர்வு திமைதவகம் (vTRANS) அல்லது நிம் மையத்தின் திமைதவகம் v_CM = 5 m s-1
ஆைம், R = 1.5 m ைற்றும் தகாண திமைதவகம் ω = 3 rad s-1
சுழற்சி திமைதவகம், vROT = R ω
vROT = 1.5 × 3
vROT = 4.5 m s-1
எனதவ VCM > Rω. அல்லது VTRANS >Rω. இநே இயககைானது நழுவுேலற்் உருளுேல் இல்மல ைா்ாக ைறுககுேல் இயககத்தில் உளளது.
�ழுவு்தலற்ற உருளு்தலின் இயகக ஆற்றல்
நழுவுேலற்் உருளுேல் இயககைானது இடம்்பயர்வு ைற்றும் சுழற்சி இயககம் இமணநே இயககைாமகயால் ்ைாத்ே இயகக ஆற்்மல இடம்்பயர்வு இயகக ஆற்்ல் (KETRANS) ைற்றும் சுழற்சி இயகக ஆற்்ல் (KEROT) இவற்றின் கூடுேல் எனலாம்.
KE KE KETRANS ROT (5.56)
உருளும் ்பாருளின் நிம் M, நிம்மையத்தின் திமைதவகம் vCM, அேன் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் நிம்மையத்மேப் ்பாருத்து ICM ைற்றும் தகாண திமைதவகம் ω என்்ால்,
KE Mv ICM 1 2
1 2
2 2 CM (5.57)
நிம்ற மமயத்ம்த ஆ்தாரமாகப க்பாருத்து நிம் மையத்மேப் ்பாருத்து உருளும் ்பாருளின் நிமலைத்திருப்புத்தி்ன் (ICM = MK2), ைற்றும் vCM = R. இஙகு, K என்பது சுழற்சி ஆைம்.
| இÖைககைÝ நµ¶ேலä் உ±´ேà உளளோ என ர¶ தைாகக? இடÝ்பய߶ மைதவகÝ (v ) அàல« ம்மையÚå மைதவகÝ v = 5 m s TRANSஆைÝ, R = 1.5 m ை ä²Ý தகாண மைதவகÝ -1ωCM = 3 rad s¦ழäz மைதவகÝ, v = R ω-1v = 1.5 × 3 ROTv = 4.5 m sROTஎனதவ V > Rω. அàல« -1 V >Rω . இநேROTஇயககை ான« நµ¶ேலä் உ±´ேà இàமலை ா்ாக ை²க¤ேà இயககÚà உளள«.CM TRANS |
|---|
KE Mv MK v 1
2 1 2
2 2 2
2_CM CM_
R
KE Mv Mv K
1 2
1 2
2 2 2
2_CM CM R (5.58)_
KE Mv K R
1 2
12 2
2_CM (5.59)_
கிமடப்பரபம்ப க்தாடும் புள்ளிமயப க்பாருத்து உருளுேலின் தபாது கிமடப்பைப்மபத் ்ோடும் புளளிமயப் ்பாருத்து ஏற்படும் கணச் சுழற்சிமய எடுத்துக்காணடு இயகக ஆற்்லுககான ைைன்பாடமட நாம் ்ப் இயலும் (உருளுேலுககான ைற்்்ாரு மும்) ்ோடும்புளளிமய O என எடுத்துக்காணடால்,
KE Io 1 2
2
இஙகு, Io ்ோடும் புளளிமயப் ்பாறுத்து நிமலைத் திருப்புத்தி்ன். இமணயச்சு தேற்்த்தின் படி, I I MRCM_o_ 2_. இேமன,_ I MK MR_o_ 2 2 என நாம் கூ்லாம். தைலும் vcm = Rω (அ) ω =
v R cm
KE MK MR v 1
2 2 2
2
2 CM
R
KE Mv K R
1 2
12 2
2_CM (5.60)_
ைைன்பாடுகள (5.59), (5.60) இைணடும் ைைம், ஆேலால் நழுவுேலற்் உருளுேலுககான கணககுகளுககன தீர்வுகமள கீழககணட ஏதேனும் ஒரு நிகழவின் மூலம் தீர்ைானிககலாம். (i) நிம்மையத்மேப் ்பாருத்து இடம்்பயர்வு ைற்றும் சுழல் இயககம் இைணடும் இமணநே நிகழவு (அ) (ii) ்ோடும்புளளியில் கணச் சுழற்சிமயப் ்பாருத்ே நிகழவு.
எடுத்துககாட்டு 5.22 திணைக தகாளம் ஒன்று நழுவுேலற்் உருளுேலில் உளளது. அேன் இடப்்பயர்ச்சி இயகக ஆற்்லுககும், சுழற்சி இயகக ஆற்்லுககும் இமடதயயான விகிேம் என்ன?
தீரவு நழுவுேலற்் உருளுேலின் ் ைாத்ே ஆற்்லுககான ைைன்பாடு,
KE KE KETRANS ROT
்ைாத்ே இயகக ஆற்்லுககான ைைன்பாடுகளிலிருநது (5.58) ைற்றும் ( 5.59),
KE Mv Mv K
1 2
1 2
2 2 2
2_CM CM R_
KE Mv K R
1 2
12 2
2_CM_
என்போல்,
1 2
1 1 2
1 2
2 2
2 2 2
2
2Mv K R
Mv Mv K CM CM CM R
தைற்கணட ைைன்பாடடிலிருநது நழுவுேலற்் உருளுேலின் ்ைாத்ே இயகக ஆற்்லிற்கும் இடப்்பயர்ச்சி ைற்றும் சுழற்சி இயகக ஆற்்லிற்கும் இமடதயயான ேகவு
KE KE KE K R
K TRANS ROT: : :: : :1 1
2
2
2
2
_R_
இப்்பாழுது, KE KE K TRANS ROT: :: :1
2
2_R_
திணை தகாளகத்திற்கு, K 2
2
2 5_R_
=
எனதவ, KE KETRANS ROT: :: :1 2 5
or
KE KETRANS ROT: :: :5 2
5.6.4. ைாய்த்ளத்தில் உருளு்தல் ைாயேளத்தில் நிம் m , ஆைம் R ்காணட உருமள வடிவப்்பாருள நழுவாைல் கீழ தநாககி உருளவமே படம் (5.34) காடடுவது தபால் கருதுக. ைாயேளத்தில் ்பாருளின் மீது இரு விமைகள ்ையல்படுகின்்ன. அதில் ஒன்று புவி ஈர்ப்பு விமையின் கூறு (mg sin θ), ைற்்்ான்று நிமல உைாயவு (f) ஆகும். புவியீர்ப்பு விமையின் ைற்்்ாரு கூறு (mg cosθ) ஆனது
| ர¶நµ¶ேலä் உ±´ேå ்ைாÚே ஆä்³ககான ைைåபாKE©, KE KE்ைாÚே இயகக ஆä்TRANSR OTைைåபா©க±ந« (5.58) ைä²Ý ( 5.59), 1 1 KKE Mv Mv 2 2 R1 K KE Mv 1 22 22 R CM CM 222எåபோà, CM 21 K 1 1Mv 1 Mv Mv2 R 2 222 22தைäகணCM ட ைைåபாட2 }±CM ந« நµ¶CMஉ±´ேå ்ைாÚே இயகக ஆä்இடÜ்பயßÖz ைä²Ý ¦ழäz இயகக ஆä்இமடதயயான ேக¶ K KE :: 11 :: R KE ::KE ::1 2 TR, ANSR OT 2 K 2=R 5TRANSR OTளகÚä¤, 2::KE ::12 52 orKE ::KETRANSR OTTRANSR |
|---|
| ³ககான |
| K R 22 | | ேலä்ä¤Ý ä¤Ý | | K RK2R222::52OT | | KE ::KEஇÜ்பாµ«ணை தகாKEஎனதவ, |
ேளத்திற்குச் ்ைஙகுத்ோக ்ையல்படும் ்ைஙகுத்து விமையினால் ைைன் ்ையயப்படுகி்து. ஆகதவ ைாயேளத்தின் மீது ஏற்படும், இவ்வியககத்திற்கான ைைன்பாடமட ேனித்ே ்பாருளின் விமைப்படம் மூலம் ்ப்லாம்.
்படம் 5.37 ைாயேளத்தில் உருளும் இயககம்
mg sinθ
f h
s
R
N
mg cosθ mg
θ
θ
mg sinθ வானது இடப்்பயர்ச்சி இயககத்மே ஏற்படுத்தும் விமையாகவும், உைாயவு விமை இடப்்பயர்ச்சி இயககத்மே எதிர்ககும் விமையாகவும் இருககி்து.
_mg sin_θ _ f = ma (5.61)
சுழற்சி இயககத்தின் தபாது, ்பாருளின் மையத்மே ்பாருத்து திருப்பு விமைமய கருதுக. mg sinθ வின் கூறு திருப்பு விமைமய ஏற்படுத்ோது, ஆனால் உைாயவு விமை f திருப்பு விமை Rf மய ஏற்படுத்தும்.
Rf I
a = r α, I = mK2, என்் ்ோடர்புகளின் படி.
Rf mK a R
; f ma K R
= =
2 2
2
(5.61) ைைன்பாடானது,
mg sin ma ma K R
2
2‚ K R
ma
2
2
mg sin ma ma K R
2
2
a K R
g sin1 2
2
ைைன்பாடமட பின்வருைாறு எழுதினால் முடுககைானது (a)
a g sin
K R
1 2
2
(5.62)
ைாயேளத்தில் உருளும் ்பாருளின் இறுதி திமைதவகத்மே இயககச் ைைன்பாடுகளின் மூன்்ாவது ைைன்பாடான v u as2 2 2 மூலமும் காணலாம். ் பாருளானது. அமைதி நிமலயிலிருநது உருள ஆைம்பிககும் தபாது ஆைம்ப திமை தவகம் சுழி, (u = 0). ைாயேளத்தின் குத்துயைம் h எனும் தபாது, ைாயேளத்தின் நீளம் s ஆனது, s h
sin
v g sin
K R
h sin
gh K R
2 2
2
2
2
2 1
2
1
இருபு்மும் வர்கக மூலம் காண,
v gh K R
2
1 2
2
(5.63)
உருளும் ் பாருள ைாயேளத்தில் கீழதநாககி இயஙக (அடிப்பகுதிமய அமடய) எடுத்துக்காளளும் காலத்மே இயககச் ைைன்பாடடில் முேலாவது ைைன்பாடான, v u at மூலம் ்ப்லாம். ்பாருளானது அமைதி நிமலயிலிருநது உருள ஆைம்பிககும் தபாது (u = 0).,
t v =
a
t gh K R
K R
g sin
2
1 1
2
2
2
2
t h K
R g sin
2 1
2
2
2 (5.64)
| h | N | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fmg cos | R | |||||||
| θ | mg sinθs |
| θmg | | θ | | HடÝ 5.37 ைாயேளÚà உ±´Ý இயக கÝ |
|——|
| (5.64) |
|---|
இச்ைைன்பாடடின் மூலம் நாம் அறிவது, ்காடுககப்படட ஒரு ைாயேளத்தில், மிகககும்நே சுழற்சி ஆைம் ்காணட உருளும் ்பாருள முேலாவோக வநேமடயும்.
எடுத்துககாட்டு 5.23 நான்கு உருமள வடிவ ்பாருடகளான வமளயம், வடடத்ேடடு, உளளீடற்் தகாளம் ைற்றும் திணைக தகாளம் ஆகியமவ ஒத்ே ஆைம் R உடன் ஒதை தநைத்தில் ைாயேளத்தில் உருள ஆைம்பிககி்து. எநே ்பாருள ைாயேளத்தின் அடிப்பகுதிமய முேலில் வநேமடயும் என்பமேக காணக. தீரவு வமளயம், வடடத்ேடடு, உளளீடற்்க தகாளம் ைற்றும் திணை தகாளம் ஆகிய நான்கின் சுழற்சி
ஆைஙகள K ஆனது R, 1 2
R, 2 3
R , 2 5
R
� துகளகளுககிமடதயயான ்ோமலவு ைா்ா கருேப்படுகி்து.
� ஒழுஙகான வடிவமுமடய ்பாருடகளில் நிம்ய வடிவியல் மையத்திதலதய அமையும்.
� நிகை திருப்புவிமையானது எநே்வாரு ்பாரும � ஒரு திணைப்்பாருளானது இடம்்பயர்வு ைைநி
பு்விமையின் ைதிப்பு சுழியாகும். அதேதபால் சுழ ்ைாத்ே திருப்பு விமையின் ைதிப்பு சுழியாகும்.
� ஒழுஙகற்் அல்லது நீடடிககப்படட ்பாருடகளின் ைதிப்பு சுழியாகும் புளளியில் அமையும்.
� ்பாருளின் மீது ்ையல்படும் பு்த்திருப்பு விமை உநேம் ைாறிலியாக இருககும்.
� எல்லா இடம்்பயர்வு இயகக அளவுகளுககும் ைை � உருளுேல் என்பது இடப்்பயர்வு ைற்றும் சுழற்சி � உருளுேல் என்பமே கிமடப்பைப்மப ்ோடும் புள � நழுவுேலற்் உருளுேலின் தபாது ்ைாத்ே இய
ைற்றும் சுழற்சி இயகக ஆற்்ல் ஆகியவற்றின் கூ � ைறுககுேலின் தபாது சுழற்சி இயககத்மே விட இ � நழுவேலின் தபாது இடம்்பயர்வு இயககத்மே வி
்பாடச் சுருககம்
(அடடவமண (5.3) இன்படி இேன் எணவடிவு மும்தய 1 R, 0.707 R, 0.816 R, 0.632 R ஆகும். தநைத்திற்கான ைைன்பாடு
t h K
R g sin
2 1
2
2
2
சுழற்சி ஆைம் கும்வாகப் ்பற்றுளள ்பாருள அடிப்பகுதிமய அமடய கும்நே தநைத்மே எடுத்துக ்காளளும். ைாயேளத்தில் ்பாருடகள வநேமடயும் வரிமை: முேலில் திணைகதகாளம், இைணடாவது வடடத்ேடடு, மூன்்ாவது உளளீடற்் தகாளம், நான்காவது வமளயம் என அமையும்.
ைல் இருநோல் அது திணைப்்பாருள என்று
ானது சீைாக பைவியிருநோல் நிம் மையைானது
ளயும் சுழற்சி இயககத்திற்கு உடபடுத்தும். மலயில் உளளது எனில் அேன் மீோன ்ைாத்ே ற்சி ைைநிமலயில் உளளது எனில் அேன் மீோன
ஈர்ப்பு மையைானது, ஈர்ப்பியல் திருப்பு விமையின்
சுழி எனில் சுழலும் அச்மைப் ்பாருத்ே தகாண
ைான சுழற்சி இயகக அளவுகள உளளது. தைர்நே இயககைாகும்.
ளியிடத்து கணச் சுழற்சியாகவும் கருேலாம். கக ஆற்்ல் என்பது இடப்்பயர்வு இயகக ஆற்்ல் டுேல் ஆகும். டம்்பயர்வு இயககம் அதிகைாக இருககும்.
ட சுழற்சி இயககம் அதிகைாக இருககும்.
கருத்து வ
மர்படம்
மதிபபீடு
I. ைரியான விமட ந்தரநக்தடுகக: 1. துகளகளால் ஆன அமைப்பின் நிம்
மையம் ைாைாதிருப்பது [AIPMT 1997, AIEEE 2004]
(a) துகளகளின் நிமல (b) துகளகளுககிமடதய உளள ்ோமலவு (c) துகளகளின் நிம் (d) துகளின் மீது ்ையல்படும் விமை
2. இைடமட உருவாககுவது [AIPMT 1997]
(a) சுழற்சி இயககம் (b) இடப்்பயர்ச்சி இயககம் (c) சுழற்சி ைற்றும் இடப்்பயர்ச்சி (d) இயகக மின்மை
3. துகள ஒன்று ைா்ாே திமைதவகத்துடன் X அச்சுககு இமணயான தநர்தகாடடின் வழிதய இயஙகி ்காணடிருககி்து. ஆதிமயப் ்பாருத்து எணணளவில் அேன் தகாண உநேம்.
[IIT 2002] (a) சுழி (b) x ஐப் ்பாருத்து அதிகரிககி்து (c) x ஐப் ்பாருத்து கும்கி்து. (d) ைா்ாேது
4. 3 kg நிம்யும் 40 cm ஆைமும் ்காணட உளளீடற்் உருமளயின் மீது கயிறு ஒன்று சுற்்ப்படடுளளது. கயிற்ம் 30 N விமைமய ்காணடு இழுககப்படும் தபாது உருமளயின் தகாண முடுககத்மே காணக.
[NEET 2017] (a) 0.25 rad s-2
(b) 25 rad s-2
(c) 5 m s-2
(d) 25 m s-2
5. உருமள வடிவக கலனில் பகுதியாக நீர் நிைப்பபடடு மூடி மவககப்படடுளளது.
கலனிற்கு ்ைஙகுத்து இரு ைை ்வடடியின் வழிச்்ைல்லும் அச்மைப்பற்றி கிமடத்ேளத்தில் சுழலும் தபாது அேன் நிமலைத் திருப்புத்தி்ன்.
[IIT 1998] (a) அதிகரிககும் (b) கும்யும் (c) ைா்ாது (d) சுழலும் திமைமயச் ைார்நேது.
6. திண்பாருள ஒன்று தகாண உநேம் L உடன் சுழல்கி்து இேன் இயகக ஆற்்ல் பாதியானால் தகாண உநேைானது
[AFMC 1998, AIPMT 2015] (a) L (b) L/2 (c) 2L (d) L/ 2
7. துகள ஒன்று சீைான வடட இயககத்திற்கு உடபடுகி்து. தகாண உநேம் எமேப் ்பாருத்து ைா்ாது
[IIT 2003] (a) வடடத்தின் மையத்மே (b) வடடப்பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புளளிமய (c) வடடத்தின் உளதள ஏதேனும் ஒரு
புளளிமய (d) வடடத்தின் ்வளிதய ஏதேனும் ஒரு
புளளிமய 8. ஒரு நிம்யானது நிமலயான புளளிமயப்
்பாருத்து ஒரு ேளத்தில் சுழலும்தபாது, அேன் தகாண உநேத்தின் திமையானது
[AIPMT 2012] (a) சுழலும் ேளத்திற்கு ் ைஙகுத்துத் திமையில்
்ைல்லும் தகாடடின் வழியாக இருககும் (b) சுழலும் ேளத்திற்கு 450 தகாணத்தில்
்ைல்லும் தகாடடின் வழியாக இருககும் (c) ஆைத்தின் வழியாக இருககும் (d) பாமேயின் ்ோடுதகாடடு திமையின்
வழியாக இருககும். 9. ைைைான நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் ் காணட
வடடத்ேடடுகள, மையம் வழிதய வடடத்ேடடுகளின் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோக
்ைல்லும். அச்மைப் பற்றி ω1 ைற்றும் ω2 என்் தகாண திமைதவகஙகளுடன் சுழல்கின்்ன. இவ்விரு வடடத்ேடடுகளின் அச்சுகமள ஒன்றிமணககுைாறு அமவ ஒன்றுடன் ஒன்று ்பாருத்ேப்படுகின்்ன எனில், இநநிகழவின்தபாது ஆற்்ல் இழப்பிற்கான தகாமவயானது
(a) 1 4
I_(ω1−ω2)2 (b)_ I_(ω1−ω2)2_
(c) 1 8
I_(ω1−ω2)2 (d)_ 1 2
I_(ω1−ω2)2_
[NEET 2017] 10. Ia நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் ்காணட
வடடத்ேடடு ைா்ாே தகாண திமைதவகம் ω வுடன் கிமடத்ேளத்தில் ைைச்சீைான அச்மைப் பற்றி சுழல்கி்து. ஓயவு நிமலயிலுளள ைற்்்ாரு வடடத்ேடடின் Ib என்் நிமலைத்திருப்புத்தி்னுடன் சுழலும் வடடத்ேடடின் மீது அச்சுழலும் அச்சிதலதய விடப்படுகி்து. இேனால் இரு வடடத்ேடடுகளும் ைா்ா தகாண தவகத்தில் சுழல்கி்து. இநநிகழவில் உைாயவினால் ஏற்படும் ஆற்்ல் இழப்பு
(a) 1 2
2 2_I_
I I b
_a b_
(b) I I I
b
a b
2 2
(c) I I I I b a
a b
2 2
(d) 1 2
2_I I I I_
b b
_a b_ [AIPMT 2001]
11. M நிம்யும் R ஆைமும் ்காணட திணைக தகாணைானது θ தகாணம் உளள ைாயேளத்தில் கீழதநாககி நழுவாைல் உருளுேலின் தபாதும் உருளாைல் ைறுககுேலின் தபாதும் ்பற்றிருககும் முடுககஙகளின் விகிேம்
(a) 5:7 (b)2:3 (c) 2:5 (d) 7:5
[AIPMT 2014] 12. மையத்மே ்ோடடுச் ்ைல்லும் R
விடடமுமடய வடடத்ேடடு ்வடடி எடுககப்படுகி்து. மீேமுளள பகுதியின் ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோன அச்மைப் ்பாருத்து நிமலைத்திருப்புத் தி்னானது
(a) 15MR_2/32 (b) 13MR_2_/32 (c) 11MR_2_/32 (d) 9MR_2_/32_
[NEET 2016] 13. திணைகதகாளம் ஒன்று ைறுககாைல்
உச்சியிலிருநது கீழதநாககி அமைதிநிமலயிலிருநது h குத்துயைம் ்காணட ைாயேளத்மே கடககும்தபாது அேன் தவகம்.
(a) 4 3
gh (b) 10 7
gh
(c) 2_gh (d)_ 1 2
gh
14. கிமடத்ேளத்தில் உருளும் ைககைம் ஒன்றின் மையத்தின் தவகம் vo ைககைத்தின் பரியில் மையப் புளளிககு இமணயான உயைத்தில் உளள புளளி இயககத்தின் தபாது ்பற்றிருககும் தவகம்.
(a) சுழி (b) vo
(c) 2 vo _(d) 2_vo
[PMT 1992, PMT 2003, IIT 2004] 15. ைாயேளத்தில் M நிம்யும் R ஆைமும்
்காணட உருமள வடிவப்்பாருள நழுவாைல் கீழதநாககி உருளகி்து. அது உருளும் உைாயவு விமையானது
[PMT 2005] (a) இயகக ஆற்்மல ்வப்ப ஆற்்லாக
ைாற்றும் (b) சுழற்சி இயககத்மே கும்ககும் (c) சுழற்சி ைற்றும் இடப்்பயர்ச்சி
இயககஙகமள கும்ககும் (d) இடப்்பயர்ச்சி ஆற்்மல சுழற்சி
ஆற்்லாக ைாற்றும்
விமடகள் 1) d 2) a 3) d 4) b 5) a 6) d 7) a 8) a 9) a 10) d 11) a 12) b 13) b 14) c 15) d
II. குறுவினாககள் 1. நிம்மையம் வமையறு. 2. கீழகணட வடிவியல் அமைப்புகளின்
நிம்மையத்மே காணக. (அ) ைைபகக முகதகாணம் (ஆ)உருமள (இ)ைதுைம் 3. திருப்புவிமை வமையறு. அேன் அலகு யாது? 4. திருப்பு விமைமய உருவாககாே
விமைகளுககான நிபநேமன யாது? 5. நமடமும் வாழவில் திருப்பு விமை
பயன்படுத்ேப்படும் எடுத்துக காடடுகள ஏதேனும் இைணடு கூறு.
6. திருப்பு விமைககும் தகாண உநேத்திற்கும் இமடதயயான ்ோடர்பு யாது?
7. ைைநிமல என்்ால் என்ன? 8. உறுதி ைற்றும் உறுதியற்் ைைநிமலமய
எவ்வாறு தவறுபடுத்துவாய? 9. இைடமடயின் திருப்புத்தி்மன வமையறு. 10. திருப்புத்தி்னின் ேத்துவத்மே கூறுக. 11. ஈர்ப்பு மையத்மே வமையறு. 12. நிமலைத்திருப்புத்தி்னின் சி்ப்பு அம்ைஙகள
ஏதேனும் இைணமடக கூறு? 13. சுழற்சி ஆைம் என்்ால் என்ன? 14. தகாண உநே ைா்ா விதிமயக கூறு. 15. (அ)நிம் (ஆ) விமை என்் இயற்பியல் அளவுகளுககு
ைைைான சுழற்சி இயகக அளவுகள யாமவ? 16. தூய உருளுேலுககான நிபநேமன என்ன? 17. ைறுககுேலுககும் நழுவுேலுககும் உளள
தவறுபாடுகள யாமவ?
III. க�டுவினாககள் 1. ைைநிமலயின் வமககமள ேகக
உோைணஙகளுடன் விளககுக. 2. ஒழுஙகற்் வடிவமுமடய ்பாருடகளின் நிம்
மையம் காணும் மும்மய விளககுக.
3. மைககிள ஒடடுபவர் வமளவுப்பாமேமய கடகக முயலும் தபாது ைாயவேற்கான காைணம் என்ன? ்காடுககப்படட திமை தவகத்திற்கு மைககிள ஒடடுபவர் ைாயும் தகாணத்திற்கான ைைன்பாடமட ்பறுக.
4. ேணடு ஒன்றின் நிமலைத்திருப்புத்தி்மன அேன் மையம் வழியாகவும், ேணடிற்கு ்ைஙகுத்ோகவும் ்ைல்லும் அச்மைப் ்பாருத்ேதுைான ைைன்பாடமட விவரி.
5. சீைான வமளயத்தின் மையம் வழிச் ்ைல்வதும், ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோனதுைான அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத்தி்னிற்கான ைைன்பாடமட வருவி.
6. சீைான வடடத்ேடடின் மையம் வழிச் ்ைல்வதும், ேளத்திற்கு ்ைஙகுத்ோனதுைான அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்பத்தி்மனக காணக.
7. தகாண உநே ைா்ா விதிமய ேகக உோைணஙகளுடன் விவரி.
8. இமணயச்சு தேற்்த்மே கூறி நிரூபிகக 9. ்ைஙகுத்து அச்சுத் தேற்்த்மேக கூறி நிரூபிகக 10. ைாயேளத்தில் உருளுேமல விவரி ைற்றும்
அேன் முடுககத்திற்கான ைைன்பாடமட ்பறுக.
IV. ்பயிறசிக கணககுகள் 1. 100 g நிம்யுளள சீைான வடடத் ேடடின் விடடம்
10 cm கிமடத்ேள தைமையின் மீது 20 cm s-1
திமை தவகத்துடன் உருளும் தபாது அேன் ்ைாத்ே ஆற்்மல கணககிடுக.
(விமட: 0.005 J) 2. 5 அலகுகள நிம் ்காணட ஒரு துகள v=3 2
அலகுகள சீைான தவகத்துடன் XOY ேளத்தில் y = x + 4 என்் ைைன்பாடடின் படி இயஙகுகி்து. அத்துகளின் தகாண உநேத்மே காணக.
(விமட: 60 அலகுகள்) 3. சுழலும் ைககை்ைான்று சீைான தகாண
முடுககத்துடன் சுழல்கி்து, இேன் தகாணத்திமைதவகம் 20π rad s-1 லிருநது 40π rads-1 ககு 10 வினாடிகளில் அதிகரிககப்படுகி்து. எனில் சுற்றுகளின் எணணிகமகமய காணக.
(விமட:150சுழறசி)
4. m நிம்யும் ,l நீளமும் ் காணட ேணடு அேன் ஒரு முமனயின் வழிச்்ைல்லும் அச்மைப் ்பாருத்து θ தகாணத்மே ஏற்படுத்துகி்து. அநே அச்மைப் பற்றிய நிமலைத்திருப்புத்தி்மனக காணக.
(விமட: 1 3
2 2Ml sin θ ) 5. இரு துகளகள P ைற்றும் Q என்பனவற்றின்
நிம்கள மும்தய 1 kg ைற்றும் 3 kg அவற்றிற்கு இமடதயயான கவர்ச்சி விமையினால் 30 m s-1 ைற்றும் 6 m s-1 என்் திமைதவகஙகளுன் ஒன்ம் ஒன்று தநாககி நகர்கின்்ன. அவற்றின் நிம்மையஙகளின் திமைதவகஙகள என்ன?
(விமட: சுழி) 6. மைடைஜன் மூலக கூறு ஒன்றின்
நிமலைத்திருப்புத்தி்மன அேன் நிம்மையத்தின் வழியாகவும். அணுககளுககிமடதயயான அச்சிற்கு ்ைஙகுத்ோகவும் ்ைல்லும் அச்மைப் ்பாருத்து காணக மைடைஜன் அணுவின் நிம ்= 1.7 x 10-27 kg ைற்றும் அணுவிமடத் ்ோமலவு= 4 x 10-10 m என ்காளக. விமட 1.36 x 10-36 kg m2 (குறிப்பு- ஒரு அணுவிற்கு நிமலைத்திருப்புத்தி்மன கணடறிநது இருைடஙகாக கணககிடுக)
(விமட: 1.36 × 10−46 kg m2
நமறநகாள் நூல்கள்
1. Michael Nelkon and Philip Parker, Adva Publishers & Distributers Pvt. Ltd, (2006
2. David Halliday, Robert Resnick and Jear John Wiley & Sons Inc., (2004).
3. H.C. Verma,Concepts of Physics [Part 1] Distributers Pvt. Ltd., (2008).
4. Igor Irodov, Problems in General Physics (2006).
5. Roger A. Freedman, Hugh D. Young, Sea Mechanics, 12th Edition, Pearson, (2011)
nced Level Physics, 7th Edition, CBS ).
l Walker,Fundamentals of Physics, 6th Edition,
, 1st Edition, BharathiBhawan Publishers &
, 3rd Edition, Mir Publishers, Mascow,
rs and Zemansky’s University Physics: .
நிமலமத் திரு
எமேச் சுழற்றுவது எளிது? வடட வமளயத்மேயா அல்லது
வடடத்ேடமடயா?
படிகள • கீழககாணும் உைலி / விமைவுக குறியீடமடப் பயன்படுத்தி ‘Ph
ேைவி்ககம் ்ையது தி்ககவும். • பீடத்தின் நிம் 0.1 kg, ்வளிப்பு் ஆைம் 4m, (உள ஆைம் 0) என
‘go’ என்் ்பாத்ோமன அழுத்தி நிமலைத் திருப்புத்தி்னின் ை • நிம் ைற்றும் ஆைத்தின் அளவுகமள ைாற்றியமைத்து நடு வம
உற்று தநாககவும். • வடடத்ேடடின் உளஆைம் ைற்றும் ்வளி ஆைத்தின் ைதிப்புகமள
இப்படி மவககும் தபாது வடடத்ேடடு வடடவமளயைாகும். இப்த • நடு வமைபடத்தில் உளள நிமலைத் திருப்புத்தி்னின் ைதிப்ம
வடடத்ேடடு ைற்றும் வடடவமளயத்தின் நிமலைத் திருப்புத்தி்
உரலி: https://phet.colorado.edu/en/simulation/torque *படஙகள அமடயாளத்திற்கு ைடடும். * Flash Player or Java Script தேமவ்யனில் அனுைதிகக.
இமணயச் கையல்்பாடு
படி 1
படி 3
குறிப்பு: நிமலைத் திருப்புத்தி்ன் அதிகைாக இருநோல், தகாண
பபுத்தி்றன்
ET’ திருப்புவிமை பககத்திற்குச் ்ைன்று ‘java applet’- மயத்
்பாருத்திக்காளளவும். ேற்தபாது வடடேடமடச் சுழற்் திப்மபப் ்ப்வும். ைபடத்தில் ஏற்படும் நிமலைத் திருப்புத்தி்னின் ைாற்்த்மே
ச் ைைைாக மவத்து, நிம்மய 0.1 kg என்று மவககவும். பாது ‘OK’ என்னும் ்பாத்ோமனச் ்ைாடுககவும்.
ப உற்றுதநாககுக. ஒதை ஆைம் ைற்றும் ஒதை நிம் ்காணட ன்கமள ஒப்பிடுக.
படி 4
படி 2
த்திமையில் முடுககைமடயச் ்ையவது கடினைாக இருககும்.