அைகு

இயறபியல், அடிபபர்யில் ஒரு க்சோ�ரை அடிபபர்யிைோை அறிவியல் (Experimental Science) ஆகும். இது க்சோ�ரை ேறறும் கணி�ம் என்ற இரண்டு தூண்களின் மீது நிரை நிறுத்�பபட்டுள்ளது. இரண்்ோயிரத்து முன்னூறு ஆண்டுகளுககு முன்ைர கிகரகக நூைகர இரோட்க்ோஸத�னிஸ (Eratosthenes) என்பவர புவியின் ஆரத்ர� அ்ளவீடு த்சய�ோர. மிக நீண்் இர்தவளிககுப பின்ைர, 20ஆம் நூறறோண்டின் துவககத்தில்�ோன் அணுவின் அ்ளவு அ்ளவீடு த்சயயபபட்்து. இயறபியலின் ரேயககருத்�ோக இயககம்

கற்றலின் ந�ோககஙகள்:

இந்த அலகில் மோணவரகள் அறிநது ககோள்்ள இருப்பது

„ இயககஙகளின் பல்கவறு வரககள (கநரகககோட் ேறறும் அரைவியககம்)

„ தபோருட்களின் இயககத்திரை வி்ளககுவதில் குறி „ தவக்ரகள, ஸககைரகள ேறறும் அவறறின் பண்பு „ இயறபியலில் தவக்ர ேறறும் ஸககைர தபருககல் „ வரகநுண்கணி�ம் ேறறும் த�ோரக நுண்கணி� „ இ்பதபயரச்சி, க்ந்� த�ோரைவு ேறறும் கநரத்ர

கருத்துகள „ கவகம், திர்சகவகம், முடுககம் ேறறும் அவறறின் „ ்சோரபுத் திர்சகவகம் „ சீரோை முடுககத்தில் இயஙகும் தபோருளகளின் இய „ புவியீரபபு விர்சயிைோல் தபோருளில் ஏறபடும் பல்க „ கரடியன் ேறறும் டிகிரி „ சீரோை வட்் இயககம், ரேயகநோககு முடுககம் ேற

அறிமுகம்

இயற்கையின் அ்ைத்து விதிகைளு

உள்ளது. அணுத்துகளகளின் இயககத்திலிருந்து, பிரபஞ்சத்தில் உள்ள ககோளகளின் இயககம் வரர இயறரகயின் அரைத்து நிரைகளிலும் இயககம் இருககிறது. சுருஙகககூறின் முழு பிரபஞ்சகே பல்கவறு வரகயோை இயககஙகளின் த�ோகுபபோக உள்ளது. இந்� பல்கவறு வரகயோை இயககஙகளும் கணி� தேோழியில் விவரிககபபட்டுள்ளை.

தபோருள எவவோறு இயஙகுகிறது? எவவ்ளவு கவகேோக அல்ைது தேதுவோக இயஙகுகிறது? எடுத்துககோட்்ோக, பத்து �்க்ளவீரரகள ஓர ஓட்்பபந்�யத்தில் ஓடுகின்றைர ஆைோல், அரைவரும் ஒகர கவகத்தில் ஓடுவதில்ரை. அவரகளின் ஓட்்த்திரை நோம் நர்முரறயில் பயன்படுத்தும் வோரத்ர�க்ளோை மிக கவகேோக,

யல் (Kinematics)

டு இயககம், சுழறசி இயககம்

பபோயஙகளின் பஙகு கள களின் முககியத்துவம் ஙகளின் அடிபபர் �ப தபோறுத்து அவறறில் ஏறபடும் ேோறறஙகள பறறிய

வரரப்ஙகள பறறிய கருத்துகள

ககச் ்சேன்போடுகள வறு இயககஙகள பறறிய பகுபபோயவு

றும் ரேயகநோககு விர்ச

ம் கைணித ம�ொழியில் எழுதப்பட்டுள்ளை.– கலிலிகயோ

ஓயவு ேறறும் இயககம் பறறிய கருத்ர�, பின்வரும் வி்ளககத்திலிருந்து நன்கு புரிந்துதகோள்ளைோம். (ப்ம் 2.1). ஓடும் கபருந்தின் உளக்ள அேரந்திருககும் நபர, அவரின் அருகக உள்ளவரரப தபோறுத்து ஓயவு நிரையிலும், கபருந்திறகு தவளிகய நின்று தகோண்டிருபபவரரப தபோறுத்து இயககநிரையிலும் உள்ளோர. ஓயவுநிரை ேறறும் இயகக நிரை பறறிய கருத்துகள, குறிபபோயத்ர� தபோறுத்து கவறுபடும். ஓயவு அல்ைது இயககத்திரைப புரிந்து தகோளவ�றகு நேககுத் �குந்� நிரையோை குறிபபோயம் க�ரவ.

்படம் 2 . 1 குறிபபோயம்

2.2

கவகேோக, தேதுவோக, மிக தேதுவோக என்பை கபோன்ற வோரத்ர�கர்ளக தகோண்டு அ்ளவீடு த்சயய இயைோது. அ்ளவீடு த்சயவது என்றோல் ஒவதவோரு வீரரின் ஓட்்த்திறகும் எண்கர்ள வழஙகி, அவதவண்கர்ள ஒபபீடு த்சயவ�ன் மூைம் ஒரு வீரரின் ஒட்்த்திரை ேறற வீரரகளின் ஓட்்த்க�ோடு ஒபபிட்டுப போரகக முடியும்.

இந்� அைகில், இயககத்திரை எண்ேதிபபு ேறறும் திர்சயின் அடிபபர்யில் பகுத்துப போரபப�றகுத் க�ரவயோை அடிபபர் கணி�வியல் முரறகள வி்ளககபபட்டுள்ளை. இயககத்திரை ஏறபடுத்தும் விர்சரயக கருத்தில் தகோள்ளோேல் இயககத்ர�ப பறறி ேட்டும் கூறுவது இயககவியல் (Kinematics) ஆகும். கிைேோ (Kinema) என்ற கிகரகக வோரத்ர�யின் தபோருள இயககேோகும். இயககவியரை இயஙகியல் என்றும் அரழககைோம்.

ஓய்வு மறறும் இயககம் ்பறறிய கருத்து

குறிப்போயம் எந்� ஒரு ஆய அச்சுத்த�ோகுபபிரைப தபோறுத்து தபோருத்ளோன்றின் நிரை குறிபபி்பபடுகிறக�ோ, அந்� ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிறகு குறிபபோயம் என்று தபயர.

எந்� ஒரு குறிபபிட்் கநரத்திலும் ஒரு தபோருளின் நிரையிரை விவரிககப பயன்படும், ஆய அச்சுககள (x, y, z) (அ�ோவது x,y ேறறும் z அச்சுகளில் தபோருளின் த�ோரைவு) தகோண்் குறிபபோயகே கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபு எைபபடும். இது ப்ம் 2.2 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.2 கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு

x, y ேறறும் z அச்சுககள வரிர்சபபடி கடிகோரமுள சுழலும் திர்சககு எதிரதிர்சயில் உள்ளவோறு வரரயபபடும் என்பர� நிரைவில் தகோள்ளவும். கேலும் அவறரற வைகரக கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு எை அரழககைோம். தவவகவறு ஆய அச்சுத்த�ோகுபபுகள இயறபியலில் உள்ளகபோதும், ேரபுபபடி நோம் வைகரக ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிரைகய பின்பறறுகிகறோம். வைகரக ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு ப்ம் 2.3 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2 . 3 வைகரக ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு

|——|——|——|——|

|——|——|

பின்வரும் ப்ம் 2.4 வைகரக ேறறும் இ்கரக ஆய அ்சசுத் த�ோகுபபுகளின் கவறுபோடுகர்ள எடுத்துககோட்டுகிறது.

்படம் 2 . 4 வைகரக ேறறும் இ்கரக ஆய அச்சுத்த�ோகுபபுகள

புள்ளி நிக்ற (Point mass) ஒரு குறிபபிட்் நிரற தகோண்் தபோருளின் இயககத்திரை வி்ளகக, “புளளி நிரற” என்ற கருத்து க�ரவபபடுகிறது. கேலும் புளளி நிரற

என்ற கருத்து மிகவும் பயனுள்ள�ோகவும் இருககிறது. தபோருளின் நிரற முழுவதும் ஒரு குறிபபிட்் புளளியில் த்சறிந்திருபப�ோகக கருதிைோல், இபபடிபபட்் நிரறகய “புளளி நிரற” எை அரழககபபடுகிறது. புளளி நிரறககு வடிவகேோ, அரேபகபோ இல்ரை. கணி�வியல்படி புளளி நிரற என்பது சுழி பரிேோணமுர்யது. ஆைோல் வரம்புககுட்பட்் நிரற உள்ளது. இருபபினும் புளளி நிரற என்பது நர்முரறயில் ்சோத்தியமில்ரை. சிை கநரஙகளில் இககருத்து நேது கணககீடுகர்ள எளிரேபபடுத்தும். புளளி நிரற என்பது ஒன்றிரைச் ்சோரந்� கருத்து, அது நோம் பகுபபோயவு த்சயயும் தபோருளின் இயககம் ேறறும் தபோருள இயஙகும் குறிபபோயம் இவறரறப தபோறுத்து ேட்டுகே அரத்�முர்ய�ோகிறது.

எடுத்துககோட்டுகள் „ சூரியரைப தபோறுத்து புவியின்

இயககத்திரைப பகுபபோயவு த்சயயும்கபோது, புவி ஒரு புளளி நிரறயோகக கரு�பபடும். ஏதைனில் புவியின் அ்ளவு்ன் ஒபபிடும் கபோது, புவிககும் சூரியனுககும் இர்கய உள்ள த�ோரைவு மிக அதிகம்.

„ கோறறில் வீசி எறியபபட்் சிறிய கல் கபோன்ற ஒழுஙகறற வடிவமுர்ய தபோருளின் இயககத்திரைப பகுபபோயவு த்சயயும் கபோது, இந்�க கல்லிரை ஒரு புளளி நிரறயோகக கரு�ைோம். ஏதைன்றோல், கல் க்ந்� த�ோரைவு்ன் ஒபபிடும் கபோது, கல்லின் அ்ளவு மிகச்சிறியது.

இயககத்தின் வகககள் அன்றோ் வோழ்வில் கீழ்ககண்் வரகயோை இயககஙகர்ள நோம் கோணைோம். அ) ந�ரகநகோட்டு இயககம்

ஒரு தபோருள கநரகககோட்டில் இயஙகிைோல் அவவியககம் கநரகககோட்டு இயககம் எை அரழககபபடும்.

எடுத்துககோட்டுகள் „ கநரோை ஓடுபோர�யில் ஓடும் �்க்ள வீரர „ புவியிரை கநோககி விழும் தபோருள

ஆ) வட்ட இயககம் வட்்பபோர�யில் இயஙகும் தபோருளின் இயககம், வட்் இயககம் எை அரழககபபடும்.

|——|——|

எடுத்துககோட்டுகள் „ கயிறறில் கட்்பபட்டு சுழறறபபடும் கல். „ புவியிரைச் சுறறிவரும் த்சயறரகக ககோளின்

இயககம். இரவ ப்ம் 2.5 இல் கோட்்பபட்டுள்ளை.

்படம் 2 . 5 வட்் இயககத்தின் எடுத்துககோட்டுகள

இ) சுழறசி இயககம் எந்� ஒரு திண்ேபதபோருளும் ஒரு அச்சிரைப தபோறுத்து சுழலும் கபோது, அவவியககம் சுழறசி இயககம் எை அரழககபபடும். அச்சுழறசியின் கபோது திண்ேபதபோருளில் உள்ள எந்� ஒரு புளளியும் அவவச்சிரை தபோறுத்து வட்் இயககத்ர� கேறதகோளளும். (சுழல் அச்சில் உள்ள புளளிரயத் �விரத்து)

எடுத்துககோட்டுகள் „ அச்சிரைப தபோறுத்து சுழலும் வட்் வடிவத்�ட்டு „ அச்சிரைப தபோறுத்து �ன்ரைத்�ோகை சுறறும்

புவி. இரவகள ப்ம் 2.6 இல் கோட்்பபட்டுள்ளை.

்படம் 2 . 6 சுழறசி இயககத்தின் எடுத்துககோட்டுகள

ஈ) அதிரவு இயககம் தபோருத்ளோன்று நிரையோை ஒரு புளளிரயப தபோறுத்து முன்னும் பின்னும் இயககத்திரை கேறதகோண்்ோல், அவவியககம் அதிரவியககம் எைபபடும். சிை கநரஙகளில் இவவியககம் அரைவு இயககம் எைவும் அரழககபபடும்.

எடுத்துககோட்டுகள் „ கிட்்ோர (Guitar) இர்சககருவியில் உள்ள

அதிரவர்யும் கம்பி „ ஊஞ்சலின் இயககம்

இரவ ப்ம் 2.7 இல் கோட்்பபட்டுள்ளை

்படம் 2 . 7 அதிரவியககத்தின் எடுத்துககோட்டுகள

கேகை கூறபபட்் இயககஙகள ேட்டுேல்ைோேல் நீளவட்் இயககம் ேறறும் வரிச்சுருள இயககம் (Helical) கபோன்ற கவறு இயககஙகளும் நர்முரறயில் ்சோத்தியேோகும்.

ஒரு்பரிமோண, இரு்பரிமோண மறறும் முப்பரிமோண இயககம் தவளியில் (Space) உள்ள துகள ஒன்றின் நிரையோைது x, y ேறறும் z த்சஙகுத்து ஆய அச்சுகளின் அடிபபர்யில் வரரயரற த்சயயபபடுகிறது எைககருதுக. இந்� ஆய அச்சு எண்கள கநரத்ர�ப தபோறுத்து ேோறறேர்யும் கபோது, துகள இயககத்தில் உள்ளது எைககூறைோம். இருபபினும் மூன்று ஆய அச்சுககூறு எண்களும் கநரத்ர�ப தபோறுத்து ேோறறேர்ய கவண்டிய அவசியமில்ரை. ஏக�னும் ஒன்று அல்ைது இரண்டு ஆய அச்சுககூறு எண்கள கநரத்ர�ப தபோருத்து ேோறறம் அர்ந்�ோலும், துகள இயககத்தில் உள்ளது எைககூறைோம். எைகவ ஒரு தபோருளின் இயககம் கீழ்ககண்்வோறு வரகபபடுத்�பபடுகிறது.

(i) ஒரு்பரிமோண இயககம்

துகைள ஒன்று நேரகநகைொட்டில் இயங்கிைொல் அவ்வியககைம் ஒரு்பரி�ொண இயககைம் எைப்படும். சிை கநரஙகளில் இவவியககம் கநரகககோட்டு இயககம் (Linear motion / Rectilinear motion) எைவும் அரழககபபடும். இவவரக இயககத்தில் மூன்று த்சஙகுத்து ஆய அச்சுகளில் ஏக�னும் ஒரு ஆய அச்சுககூறு எண் ேட்டுகே கநரத்ர�ப தபோறுத்து ேோறறேர்யும்.

எடுத்துககோட்்ோக, A புளளியில் இருந்து B புளளிககு x திர்சயில் நகரும் தபோருளின் இயககம் ப்ம் 2 . 8 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது. இஙகு x ஆய அச்சில் ேட்டுகே ேோறறம் ஏறபடுகிறது என்பர� கவனிககவும்.

்படம் 2 . 8 தபோருளின் ஒருபரிேோண இயககம்

x A B

எடுத்துககோட்டுகள் „ கநரோை இருபபுபபோர�யில் இயஙகும் இரயில்

வண்டி „ புவிஈரபபு விர்சயோல் �ர்யின்றி �ோகை

விழும் தபோருள (ii) இரு்பரிமோண இயககம்

த்ளம் ஒன்றில் வ்்ளவு ்பொ்தயில் இயங்கும் துகைளின் இயககைத்தி்ை, இரு்பரி�ொண இயககைம் என்று அரழககைோம். இவவரக இயககத்தில் மூன்று த்சஙகுத்து ஆய அச்சுகளில் இரண்டு ஆய அச்சுகள ேட்டுகே கநரத்ர�ப தபோருத்து ேோறறேர்யும். துகள ஒன்று y-z �்ளத்தில் இயஙகும்கபோது x- ஆய அச்சு எண்ணில் எவவி� ேோறறமும் இல்ரை ஆைோல் y ேறறும் z ஆய அச்சு எண்களில் ேோறறம் ஏறபடுகிறது. இது ப்ம் 2.9 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது.

(y1,z1)

(y2,z2)

்படம் 2 . 9 துகள ஒன்றின் இருபரிேோண இயககம்

எடுத்துககோட்டுகள் „ ககரம் பைரகயில் (Carrom board) இயஙகும்

வில்ரை. „ அரற ஒன்றின் �்ளத்தில் அல்ைது சுவறறில்

ஊரந்து த்சல்லும் பூச்சி. (iii) முப்பரிமோண இயககம்

முப்பரி�ொண மவளியில் இயங்கும் துகைளின் இயககைம், முப்பரி�ொண இயககைம் எைப்படும். இவவரக இயககத்தில் மூன்று ஆய அச்சுககூறுகளும், கநரத்ர�ப தபோருத்து ேோறறேர்யும். துகளின் முபபரிேோண இயககத்தில், ஆய அச்சுககூறுகள x, y ேறறும் z ஆகிய மூன்றும் ேோறறேர்யும்.

2.3

எடுத்துககோட்டுகள் „ வோனில் பறககும் பறரவ „ ஒழுஙகறற முரறயில் இயஙகும் வோயு

மூைககூறுகள „ வோனில் பறககும் பட்்ம்

கவகடர இயறகணி்தம் ்பறறிய அடிப்பகடக கருத்துககள்

இயறபியலில், சிை அ்ளவுகள எண்ேதிபரப ேட்டுகே தபறறுள்ளை. கவறு சிை அ்ளவுகள எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச இரண்ர்யும் தபறறுள்ளை. இந்� இயறபியல் அ்ளவுகர்ளப புரிந்துதகோளவ�றகு, தவக்ர ேறறும் ஸககைரின் பண்புகர்ளப பறறி அறிந்து தகோளவது அவசியேோகும்.

ஸநகலர எண்ேதிபபிைோல் ேட்டுகே குறிபபி்ககூடிய அ்ளவுகள ஸககைர எைபபடும். இயறபியலில் பல்கவறு அ்ளவுகள ஸககைரோல் குறிபபி்பபடுகின்றை.

எடுத்துககோட்டுகள் க்ந்� த�ோரைவு, நிரற, தவபபநிரை, கவகம் ேறறும் ஆறறல்

கவகடர எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச இரவ இரண்டிைோலும் குறிபபி்ககூடிய அ்ளவுகள தவக்ர எைபபடும். வடிவகணி� முரறயில் தவக்ர என்பது ஒரு குறிபபிட்் திர்சரயக கோட்டும் ககோட்டுத்துண்டு ஆகும். இது ப்ம் 2.10 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது. இயறபியலில் சிை அ்ளவுகள தவக்ரோல் ேட்டுகே குறிபபி் இயலும்.

்படம் 2 . 10 வடிவகணி� முரறயில் குறிபபி்பபட்் தவக்ர

எடுத்துககோட்டுகள் விர்ச, திர்சகவகம், இ்பதபயரச்சி, நிரை தவக்ர, முடுககம், கநரகககோட்டு உந்�ம் ேறறும் ககோண உந்�ம்

கவகடரின் எணமதிபபு

ஒரு தவக்ரின் நீ்ளம் அ�ன் எண்ேதிபபு எைபபடும். இது எபகபோதும் கநரககுறி ேதிபபு தபறறிருககும். சிை கநரஙகளில் தவக்ரின் எண்ேதிபபு தவக்ரின் �ரம் (Norm of the vector) எைவும் அரழககபபடும். 

A என்ற தவக்ரின் எண்ேதிபபு 

A அல்ைது எளிரேயோக ‘A ’ எைவும் குறிபபி்பபடுகிறது. (ப்ம் 2 . 11)

ªõ‚ìK¡ â‡ñFŠ¹

ªõ‚ì˜

்படம் 2 . 11 தவக்ரின் எண்ேதிபபு

கவகடரின் வகககள்

(1) சம கவகடரகள் : A

ேறறும் B

என்ற இரண்டு

தவக்ரகள ஒகர எண்ேதிபரபயும், ஒகர திர்சயிலும் த்சயல்பட்டு ஒகர இயறபியல் அ்ளவிரைக குறிபபிட்்ோல், அவதவக்ரகள ்சேதவக்ரகள என்று அரழககபபடும். (ப்ம் 2 . 12)

்படம் 2 . 12 வடிவகணி� முரறயில் ்சேதவக்ரகள

(அ) ஒரு நகோட்டு கவகடரகள் : ஒகர ககோட்டின் வழிகய த்சயல்படும் தவக்ரகள ஒரு ககோட்டு தவக்ரகள என்று அரழககபபடுகிறது. அவதவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணம் 0° அல்ைது 180° ஆகும். ஒரு ககோட்டு தவக்ரகள இரண்டு வரகபபடும்.

(i) இகணகவகடரகள் : A

ேறறும் A and B

என்ற இரண்டு தவக்ரகள, ஒகர திர்சயிலும் இரணககோடுகள வழியோகவும் த்சயல்பட்்ோல் அவறரற இரண தவக்ரகள என்று

|——|——|——| | HடÝ 2 . 10 வ}வக~� ¯ரறà ¤ப்பபØ் தவக்ர |

,̂ ˆ_i_

அரழககைோம். இரணககோடுகள வழிகய த்சயல்படுவ�ோல் அவறறுககு இர்கய உள்ள ககோணம் 0° ஆகும். (ப்ம் 2 . 13)

்படம் 2 . 13 வடிவகணி� முரறயில் இரண தவக்ரகள

(ii) எதிர – இகண கவகடரகள் : A

ேறறும் B

என்ற இரண்டு தவக்ரகள,

எதிதரதிர திர்சயில் ஒகர ககோட்டில் அல்ைது இரணககோடுகள வழியோக த்சயல்பட்்ோல் அவறரற எதிர-இரண தவக்ரகள என்று அரழககைோம். (ப்ம் 2 . 14)

180°

்படம் 2.14 வடிவகணி� முரறயில் எதிர இரண தவக்ரகள

(2) ஓரலகு கவகடர: ஒரு தவக்ரர அ�ன் எண்ேதிபபோல் வகுககககிர்பபது ஓரைகு தவக்ர ஆகும். A

தவக்ரின் ஓரைகு தவக்ர

ˆ_A is denoted by A_

எைக குறிபபி்பபடும் (A ககப அல்ைது A கேட் (hat) எைப படிககவும்) இ�ன் எண்ேதிபபு ஒன்று அல்ைது ஓரைகு ஆகும்.

ˆ AA A

எைகவ ˆ_A AA_

எைவும் எழு�ைோம்.

எைகவ, ஓரைகு தவக்ர, தவக்ரின் திர்சயிரை ேட்டுகே கோட்டும். (3) கசஙகுத்து ஓரலகு கவகடரகள் : மூன்று ஓரைகு

தவக்ரகள ˆ,̂ ˆ_i j and k ேறறும் ˆ,_ ˆ_i j and kஆகியவறரறக கருதுக. இந்� மூன்று ஓரைகு தவக்ரகளும் x, y ேறறும் z அச்சின் கநரகுறி திர்சயிரைக கோட்டுகின்றை. இவறறில், எந்� இரண்டு ஓரைகு தவக்ரகளுககு_

இர்கய உள்ள ககோணம் 90° ஆகும். இவவோறு ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோகச் த்சயல்படும் ஓரைகு தவக்ரகளுககு த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகள என்றும் தபயர. இஙகு ˆ,̂ ˆ_i j and k ேறறும்_ ˆ_j and k என்பரவ த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகர்ளக குறிககிறது. இது ப்ம் 2 . 15 ல் கோட்்பபட்டுள்ளது._

்படம் 2 . 15 த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகள

கவகடரகளின் கூடு்தல்

தவக்ரகள, எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச இவவிரண்ர்யும் தபறறுள்ள�ோல், ்சோ�ோரண இயறகணி� முரறயில் அவறறின் கூடு�ரைக கோண இயைோது. எைகவ, தவக்ரகர்ள வடிவியல் முரறயிகைோ அல்ைது பகுபபு முரறயிகைோ சிை விதிகர்ளபபயன்படுத்தி அவறறின் கூடு�ரைக கோண கவண்டும். இம்முரறககு தவக்ர இயறகணி�ம் என்று தபயர. ஒன்றுகதகோன்று ்சோயந்� நிரையில் உள்ள இரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�ரை (த�ோகுபயன்) (i) தவக்ரகளின் முகககோணக கூட்்ல் விதி (ii) தவக்ரகளின் இரணகரவிதி ஆகிய இரண்டு விதிகர்ளப பயன்படுத்திக கோணைோம்.

கவகடரகளின் முகநகோணவிதி: ப்ம் 2 . 16 யில் கோட்்பபட்டுள்ள A

ேறறும் B

என்ற இரண்டு தவக்ரகளின் த�ோகுபயரை தவக்ரகளின் முகககோணக கூட்்ல் விதிரயப பயன்படுத்தி கோணைோம்.

்படம் 2 . 16 தவக்ரகளின் �ரை ேறறும் வோல் பகுதிகள

இரண்டு தவக்ரகளின் த�ோகுபயரை, தவக்ரகளின் முகககோண விதியிரை பயன்படுத்தி கீழ்ககண்்வோறு கோணைோம். A

ேறறும் B

என்ற

இரண்டு சுழியறற தவக்ரகள வரிர்சபடி ஒரு முகககோணத்தின் அடுத்�டுத்� பககஙக்ளோகக கரு�பபட்்ோல், அவறறின் த�ோகுபயன், எதிரவரிர்சயில் எடுககபபட்் அம்முகககோணத்தின் மூன்றோவது பககத்திைோல் குறிபபி்பபடும். இது ப்ம் 2.17 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது. இது பின்வருேோறு வி்ளககபபட்டுள்ளது.

தவக்ரின் �ரைபபகுதி B

தவக்ரின் வோல்பகுதிகயோடு இரணககபபட்டுள்ளது. A

தவக்ர ேறறும் B

தவக்ரகளுககு இர்கய உள்ள ககோணம் θ என்க. A

தவக்ரின் வோல்பகுதிரயயும்,

இன் �ரைபபகுதிரயயும் இரணத்�ோல் த�ோகுபயன் தவக்ர



R கிர்ககும். வடிவியல் முரறயில் த�ோகுபயன் தவக்ர



R இன் எண்ேதிபபு அ�ன் நீ்ளம் OQ ககுச் ்சேம். கேலும் த�ோகுபயன் தவக்ர



R ேறறும் A

தவக்ருககு இர்கய உள்ள ககோணம், த�ோகுபயன் தவக்ரின் திர்சரயக தகோடுககும். எைகவ



R = A

+ B

எை எழு�ைோம். ஏதைனில்

OQ OP PQ= +

R = A+B

்படம் 2 . 17 தவக்ரகளின் முகககோணககூட்்ல் விதி

(1) க்தோகு்பயன் கவகடரின் எணமதிபபு: த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச கீழ்ககண்்வோறு கணககி்பபடுகிறது.

ப்ம் 2 . 18 இல் ABN என்ற த்சஙககோண முகககோணத்ர�க கருதுக. ப்த்தில் OA என்ற பககத்ர� ON வரர நீட்டுவ�ன் மூைம் ABN என்ற த்சஙககோண முகககோணம் கிர்ககிறது.

B R

O A N

B sin θ

B cos θ

θα

்படம் 2 . 18 தவக்ரகளின் முகககோணக கூட்்ல் விதிபபடி த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச

cos cosθ θ= ∴ =AN B

AN B and ேறறும்

sin sinθ θ= ∴ =BN B

BN B

DOBN ல் OB _ON BN_2 2 2= +

⇒ = + +_R A B B_2 2 2( cos ) ( sin )θ θ

⇒ = + + +_R A B AB B_2 2 2 2 2 22cos sinθ θ θcos

⇒ = + +( ) +_R A B cos sin AB_2 2 2 2 2 2θ θ θcos

⇒ = + +_R A B AB_2 2 2 cosθ 2

⇒ = + +_R A B AB_2 2 2 cosθ

இச்்சேன்போடு A

ேறறும் B

தவக்ரகளின் த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபரபத் �ருகிறது.

(2) க்தோகு்பயன் கவகடரின் திகச: A

ேறறும் B

தவக்ர இர்கய உள்ள ககோணம் θ எனில்

 

A B A B AB+ = + +2 2 2 cosθ (2.1) 

R தவக்ர A

தவக்ரு்ன் ஏறபடுத்தும் ககோணம் α எனில் ∆OBN ல்

tanα = = +

BN ON

BN OA AN

tan sin cos

α θ

α θ θ

= +

⇒ = +

  

  

−

B A B

Rα	B
θ

| R = A + B |B |

|——|——|——| | AB+= | |

BN BNOA + ANB sinθ
AB+ cos θ B sinθ−1
n  AB+ cos θ

எடுத்துககோட்டு 2 . 1 A

ேறறும் B

என்ற இரண்டு தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று 60° ககோணத்தில் ்சோயந்� நிரையில் உள்ளை. அவறறின் எண்ேதிபபுகள முரறகய 5 அைகுகள ேறறும் 7 அைகுகள ஆகும். த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபு ேறறும் A

ரயப தபோருத்து த�ோகுபயன் தவக்ரின் திர்ச ஆகியவறரறக கோண்க.

A60°

7 unit

5 unit

→

தீரவு தவக்ரகளின் முகககோணவிதிபபடி

த�ோகுபயன் தவக்ர   

R A B= + எை எழு�ைோம்.

கீழ்ககண்் ப்ம் தவக்ரகளின் கூடு�ரை எவவோறு முகககோணவிதியின் அடிபபர்யில் கோணைோம் என்பர� வி்ளககுகிறது.

R = A + B

→ → →

→

த�ோகுபயன் தவக்ரின் (R→) எண்ேதிபபு

R R= = + + × × °

5 7 2 5 7 602 2 cos

R = + + ×25 49 70 1 2

= 109 அைகுகள



R ேறறும் A

ககு இர்கய உள்ள ககோணம் α (த�ோகுபயன் தவக்ரின் திர்ச) கீழ்ககண்்வோறு கணககி்பபடுகிறது.

tan sin cos

α θ θ

= + B

A B (2.2)

எனவே,

tan sin cos

.α = × ° + °

= +

= ≅7 60 5 7 60

7 3 10 7

7 3 17

0 713

∴ ≅ °α 35

α = 35 °

→

கவகடரகளின் கழித்்தல்

தவக்ரகள எண்ேதிபரபயும், திர்சரயயும் தபறறிருபப�ோல் அவறரற ்சோ�ோரண இயறகணி� விதிகர்ளப பயன்படுத்திக கழிகக முடியோது. எைகவ தவக்ர கழித்�ரை வடிவியல் முரற அல்ைது பகுபபு முரறயில் கோண கவண்டும். வடிவியல் முரறயில் இரண்டு தவக்ரகர்ள எவவோறு கழிகக கவண்டும் என்பது ப்ம் 2.19 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.



A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு சுழியறற தவக்ரகள θ ககோணத்தில் ஒன்றுகதகோன்று ்சோயந்� நிரையில் உள்ளை.



A – 

B இன் த�ோகுபயன் ேதிபபு கீழ்ககோணுேோறு தபறபபடுகிறது. மு�லில் ப்ம் 2.19 இல் கோட்்பபட்டுள்ளவோறு –



B ஐப தபற கவண்டும்.



A ேறறும் – 

B ககு இர்பபட்் ககோணம் 180˚ – θ ஆகும்.

θ R = A+B

→ →

→ B →

A 180 − θ−B

α1

α2

R = A− B

→ →

→

்படம் 2 . 19 தவக்ரகளின் கழித்�ல்

த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்சரய தவக்ரகளின் இரணகர

விதிரயப பயன்படுத்தியும் கோணைோம். இது பின் இரணபபு 2 (A 2.1) இல் தகோடுககபபட்டுள்ளது.

குறிபபு

எனவே,76×°sin 0 73 73= =≅ 0.7157+° cos 60 10 + 7 17∴≅α 35→Rα = 35°→A

| tan α= |

B→60°

| R = A+B→→ →α |B→ |

−→	→B180	B → +→Bθ →R = Aαα 1 →A2− θR = A→ →− B→
HடÝ 2 . 19 தவக்ரகå கÚ�à

எ©Ú« ேறAஒå²கதர ைà ¯ரறகயத�ோ¤பயå  ரயபAஆxயவறர¶தவக்ரகத�ோ¤பயå âககÙ்எவவோ² கோணைோத�ோ¤பயå
RR==R =+
Rேற²Ý (த�ோ¤பயå கணகx



A, 

B இன் கவறுபோடு 

A – 

B என்பர�, 

A + (– 

B ) என்றும் எழு�ைோம். ்சேன்போடு (2.1) லிருந்து  

A B A B AB- = + + ° -2 2 2 180cos( )θ (2.3)

இஙகு cos cos180° −( ) = −θ θ

⇒ − = + −  

_A B A B AB_2 2 2 cosθ (2.4)

ப்ம் 2.19 ேறறும் ்சேன்போடு 2.2 ஐப கபோன்ற ேறதறோரு ்சேன்போட்டிலிருந்து

tan sin

cos α

θ θ2

180 180

= ° -( )

+ ° -( ) B

A B (2.5)

ஆைோல் sin sin cos180 180° -( ) = ° -( ) =θ θ θ and

⇒ = −

tan sin cos

α θ

θ2 B

A B (2.6)



A, 

B தவக்ரகளின் கவறுபோடு ( 

A– 

B ) ஒரு தவக்ரோகும். கேலும் அ�ன் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்சரய ்சேன்போடுகள (2.4) ேறறும் (2.6) ஆகியரவ தகோடுககின்றை.

எடுத்துககோட்டு 2 .2 

A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று 60˚ ககோணத்தில் ்சோயந்� நிரையில் உள்ளை. அவறறின் எண்ேதிபபுகள முரறகய 5 அைகுகள ேறறும் 7 அைகுகள ஆகும். த�ோகுபயன் தவக்ர



A – 

B இன் எண்ேதிபரபயும், 

A தவக்ரரப தபோருத்து த�ோகுபயன் தவக்ர 

A – 

B திர்சரயயும் கோண்க.

தீரவு ்சேன்போடு (2.4) லிருந்து

 

A B- = + - × × °5 7 2 5 7 602 2 cos

= + −25 49 35 = 39 units அைகுகள

cos- θ



Aதவக்ரரப தபோருத்து 

A – 

B ஏறபடுத்தும் திர்ச

tan sin cos

α2 7 60

5 7 60 7 3

10 7 = °

− ° =

− = 7 3

4 041= .

α2 1 4 041= ( )-tan . α2 76≅ °

கவகடர கூறுகள் (components of a vector)

கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபில், எந்� ஒரு தவக்ரரயும் (



A) x, y, ேறறும் z அச்சின் திர்சயில் த்சயல்படும் மூன்று கூறுக்ளோகப பிரிககைோம். இது ப்ம் 2.20 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

முபபரிேோண ஆய அச்சுத்த�ோகுபபின்படி தவக்ர ஒன்ரற (



A) அ�ன் கூறுக்ளோக கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம்.

ˆˆˆ

x y zA A i A j A k

்படம் 2.20 இருபரிேோண ேறறும் முபபரிேோண தவக்ர கூறுகள

|——| |  AB-= |

  A A Bதவக்ரரபதபோ±Ú« – ஏறப©Ú«Ý ர@76sin 0° 73 7tan α = = = =57−° cos 60 () 10 − 7 3α = tan. 4 041 ≅°762-12
4.04

⇒−
 AB

|——|——|

இஙகு Ax என்பது x - அச்சில் 

A தவக்ரின் கூறு Ay என்பது y - அச்சில்



A தவக்ரின் கூறு ேறறும்

Az என்பது z - அச்சில் 

A தவக்ரின் கூறு

இருபரிேோண ஆய அச்சுத் த�ோகுபபின் படி தவக்ர 

A இன் கூறுகர்ள கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம். (ப்ம் 2.20 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது)

ˆˆ

x yA A i A j 

A ஆைது, x அச்சு்ன் ஏறபடுத்தும் ககோணம் θ, கேலும் Ax ேறறும் Ay என்பரவ x அச்சு ேறறும் y அச்சில்



A தவக்ரின் கூறுகள எனில், ப்ம் (2.21) லிருந்து

A Ax = cosθ

A Ay = sinθ

இஙகு ‘A’ என்பது 

A தவக்ரின் எண்ேதிபபு (நீ்ளம்) ஆகும்.

A A Ax y= +2 2

x o

A y

= A

s in

Ax = A cos θ

்படம் 2.21 தவக்ர பகுபபு

எடுத்துககோட்டு 2 .3 எதிரககுறி x, y ேறறும் z அச்சுத் திர்சயில் த்சயல்படும் ஓரைகு தவக்ரகள யோரவ?

தீரவு பின்வரும் ப்ம், எதிரககுறி x, y ேறறும் z அச்சு திர்சயில் த்சயல்படும் ஓரைகு தவக்ரகர்ளக கோட்டுகிறது.

−x

−y

−z

−k

−i −j

∧ ∧

∧

ப்த்திலிருந்து, எதிரககுறி x அச்சு, y அச்சு ேறறும் z அச்சு திர்சகளில் த்சயல்படும் ஓரைகு தவக்ரகள முரறகய î , ĵ , ேறறும் k̂ ஆகும்.

கவகடர கூறுகளின் அடிப்பகடயில் கவகடரகளின் கூடு்தல்

இதுவரர வடிவியல் முரறயில் இரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�ல் ேறறும் கழித்�ல் ஆகியவறரறப பறறிப படித்க�ோம். �றகபோது ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிரைப பயன்படுத்தி எவவோறு இரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�ல் ேறறும் அவறறின் கழித்�ரை எளிரேயோகக கோணைோம் என்பர�ப பறறிப படிககைோம்.

கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபில் உள்ள இரண்டு தவக்ரகர்ள (



A ேறறும் 

B ) கீழ்ககோணுேோறு எழு�ைோம்.

ˆˆˆ

x y zA A i A j A k

ˆˆˆ

x y zB B i B j B k

தகோடுககபபட்் இவவிரண்டு தவக்ரகளின் x, y ேறறும் z அச்சுகளின் எண்களின் கூடு�ைோைது, இவவிரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�லுககுச் ்சேேோகும். அ�ோவது

ˆ( )ˆˆ

x x y y z zA B A B i A B j A B k

இக�கபோன்று தவக்ரகளின் கழித்�ரையும் கோணைோம்

ˆ( )ˆˆ

x x y y z zA B A B i A B j A B k

y −j∧	−i
−k∧

| Aθ |

கேறகண்் இரண்டு விதிகளும், பகுபபு முரறயில் தகோடுககபபட்் இரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�ல் ேறறும் கழித்�ரைக கோண்ப�றகோை வழிமுரறரயக தகோடுககின்றை.

எடுத்துககோட்டு 2 .4 

A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு தவக்ரகள அவறறின் கூறுகள வடிவில் தகோடுககபபட்டுள்ளை.

5 7 ˆˆˆ 4 A i j k ேறறும் 6 3 ˆˆˆ 2

B i j k எனில்

கீழ்ககண்்வறரறக கோண்க.

     

A B B A A B+ + -, , ,  

B A- தீரவு

7 4 3 2

11 1

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ(5 ) (6 ˆˆ 0

) ˆ 2

A B i j k i j k

i j k

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ(6 ) (5 )

ˆˆˆ(6 5) ˆˆ

3 2 7 4

(3 7) (2 4)

11 10 2ˆ

B A i j k i j k

i j k

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ(5 7 4 ) (6 3 2 ) ˆ6ˆ4ˆ

A B i j k i j k

i j k

4 ˆˆ 6ˆ

B A i j k

 

A B+ ேறறும்  

B A+ ஒன்றுகதகோன்று ்சேம், ஆைோல்

 

A B- ேறறும்  

B A- ஆகியரவ ஒன்றுகதகோன்று எதிரோக உள்ளர� கவனிககவும்.

இரண்டு தவக்ரகளின் கூடு�ரை கூறுகள முரறயில் கோண்பது, ஆய

அச்சுத்த�ோகுபபுகர்ளத் க�ரவு த்சயவர�ப தபோருத்�து. ஆைோல் வடிவியல் முரறயில் தவக்ரகளின் கூடு�ல் ேறறும் கழித்�ரைக கோண்ப�றகு ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு அவசியமில்ரை.

குறிபபு

ஒரு ஸநகலரோல் கவகடகரப க்பருககு்தல்

ஒரு ஸககைரோல் தவக்ரரப தபருககும் கபோது, ேறதறோரு தவக்ர கிர்ககும். λ என்ற ஒரு கநரககுறி எண்ரண



A தவக்ரு்ன் தபருககும்கபோது கிர்ககும் தவக்ர λ



A ஆகும். இ�ன் திர்ச 

Aஇன் திர்சயிகைகய இருககும். ஆைோல் λ ஒரு எதிரககுறி எண் எனில் λ



Aஇன் திர்ச 

A தவக்ரின் திர்சககு எதிரத்திர்சயில் இருககும்.

எடுத்துககோட்டு 2 .5 ˆ3ˆ2

A i j , எனில் 3



A ஐக கோண்க தீரவு

ˆ3 3 2 3 6 9ˆˆ ˆ A i j i j

3 

A தவக்ரின் திர்ச 

A தவக்ரின் திர்சயிகைகய இருககும்.

எடுத்துககோட்டு 2 .6 ப்த்தில் கோட்்பபட்டுள்ள



A தவக்ரிலிருந்து 4 

A ேறறும் -4



Aஐ க கோண்க. தீரவு

−4A

→

இயறபியலில் சிை தவக்ர அ்ளவுகள, ேறதறோரு தவக்ரின் ஸககைர ே்ஙகோக இருபபர�க கோணைோம்.

எடுத்துககோட்டோக (1) விர்ச



_F ma_= இஙகு நிரற ‘m’ ஒரு கநரககுறி ஸககைர ேறறும் முடுககம் a ஒரு தவக்ர ஆகும். இஙகு விர்சயின் திர்சயிகைகய தபோருள முடுககேர்கிறது.

எ©Ú« க கோ Ø© 2.5 A 2ijˆ 3  3 Aர¶ , எà ஐக கோÙக33Ai 23ˆˆ ˆji 69 ˆj 3 A Aதவக்å ர@ தவக்å ர@ கைகயஇ±க¤Ý.

எ©Ú« க கோ Ø© 2.4 A B ேற²Ý எåற இரÙ© தவக்ரகளA 57ijˆ ˆ  4k Bi63ˆ ˆjk2அவறå ·²கள வ}à தகோ©ககபப Ø©ளNை . ேற²Ý எà âககÙ் வற ரறக கோÙக.   AB++ ,,, BA AB- BA-ர¶ A Bi (5ˆˆ74ˆˆjk ˆˆ)( 6ij32 k 11ijˆ  10 ˆ  2kˆ BA (6ijˆˆ32ˆˆ kiˆˆ)( 5) 74jk(6 5)ijˆ (3 7) ˆ (2 4)kˆ11ijˆ 10 ˆ  2kˆ A Bi (5ˆˆ74ˆˆjk ˆˆ)(63ij  2)k ijˆ 4 ˆ 6kˆ BA ijˆ 4 ˆ 6kˆ   AB+ BA+   AB- BA-ேற²Ý ஒå²கதகோå² @ேÝ, ஆைோ à ேற²Ý ஆxயரவஒå²கதகோå² எரோக உளNர� கவகக¶Ý.

(2) உந்�ம் p = m_v இஙகு v_ என்பது தபோருளின்

திர்சகவகம். எைகவ, இஙகு தபோருள இயஙகும் திர்சயிகைகய கநரககோட்டு உந்�மும் த்சயல்படுகிறது.

(3) ஒரு மின்புைத்�ோல், மின்னூட்்முள்ள ஒரு துகளின் மீது த்சயல்படும் விர்ச

 

F qE= , இஙகு ‘q’ என்பது மின்னூட்்ம், ஒரு ஸககைர ேறறும் மின்புைம்



E ஒரு தவக்ர. விர்ச 

Fஇன் திர்ச மின்னூட்்ம் கநரககுறி எனில்



E இன் திர்சயிலும், மின்னூட்்ம் எதிரககுறி எனில்



E திர்சககு எதிரத்திர்சயிலும் இருககும்.

இரணடு கவகடரகளின் ஸநகலர க்பருககல் (புள்ளிப க்பருககல்)

வகரயக்ற இரண்டு தவக்ரகளின் ஸககைர தபருககல் (புளளிப தபருககல்) என்பது, அவவிரண்டு தவக்ரகளின் எண்ேதிபபுகள ேறறும் அவவிரண்டு தவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணத்தின் தகோர்சன் ேதிபபு ஆகியவறறின் தபருககல் பைனுககுச் ்சேேோகும்.



A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு தவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணம் θ எனில் அவறறின் ஸககைர தபருககல் கீழ்ககோணுேோறு வரரயரற த்சயயபபடுகிறது.

 

_A B AB_⋅ = cosθ இஙகு A ேறறும் B ஆகியரவ 

A ேறறும் 

B தவக்ரகளின் எண்ேதிபபுகள ஆகும்.

்பணபுகள் (i) ஸககைர தபருககலின் த�ோகுபயன் ேதிபபு

எபகபோதும் ஒரு ஸககைர ஆகும். இரண்டு தவக்ரகளுககு இர்கய உள்ள ககோணம் குறுஙககோணம் எனில் (θ < 90°) ஸககைர தபருககலின் எண்ேதிபபு கநரகுறியு்னும், விரிககோணம் எனில் (90° < θ < 180°) எதிரகுறியு்னும் இருககும்.

(ii) ஸககைர தபருககல் பரிேோறறு விதிககு உட்பட்்து. அ�ோவது

A B B A. .=

(iii) ஸககைர தபருககல் பஙகீட்டு விதிககு உட்பட்்து அ�ோவது

      

A B C A B A C. . .+( ) = +. . .( ) (iv) ஸககைர தபருககலின் படி இரண்டு

தவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணம்

θ = cos–1

 

A B AB

⋅

 



 

(v) இரண்டு தவக்ரகள இரணயோக உள்ளகபோது அ�ோவது θ = 0°, எனில் அவறறின் ஸககைர தபருககல் தபருேம் ஆகும். ஏதைனில் cos 0° = 1

(  

A B⋅ )தபருேம் = AB

(vi) இரண்டு தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று எதிரோக உள்ளகபோது அ�ோவது θ = 180° எனில், அவறறின் ஸககைர தபருககல் சிறுேம் ஆகும். ஏதைனில் cos 180° = –1

(  

A B⋅ )சிறுேம் = –AB

(vii) இரண்டு தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோக உள்ளகபோது, அ�ோவது θ = 90° எனில் அவறறின் ஸககைர தபருககல் சுழியோகும். ஏதைனில் cos 90° = 0 எைகவ அந்� தவக்ரகர்ள, த்சஙகுத்து தவக்ரகள (orthogonal vectors) எை அரழககைோம்

(viii) ஒரு தவக்ர, அக� தவக்ரு்ன் ஸககைர தபருககல் த்சயயபபட்்ோல், அ�றகு �ற்சோரபு ஸககைர தபருககல் என்று தபயர.   

A A A AA( ) = ⋅ = 2

cosθ = A2. இஙகு ககோணம் θ = 0°

A -இன் எண்ேதிபபு 

A =A =  

_A A_⋅

(ix) ஓரைகு தவக்ர n̂ ஐக கருதும்கபோது n̂ n̂ = 1 x 1 x cos 0_°_ = 1

எடுத்துககோட்்ோக î. î = ĵ. ̂j = k̂. k̂ = 1 (x) த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகர்ளக கருதும்கபோது

( î , ĵ ேறறும் k̂)

i. j j.k k.i 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ 1c s9 0ˆ o 0

(xi) தவக்ர கூறுகளின் அடிபபர்யில் 

A ேறறும் 

B தவக்ரகளின் ஸககைர தபருககரைக கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம்.

( ˆ ˆˆB ) ˆA ˆˆ _x y z x y zA i A j A k B i B j B k_

 

A B. = + +A B A B A Bx x y y z z , ேறற அரைத்துப தபருககறபைன்களும் சுழியோகும். 

A – இன் எண் ேதிபபு 

A =A A A Ax y z= + +2 2 2

எடுத்துககோட்டு 2 .7 தகோடுககபபட்் 2 4 ˆˆˆ 5

A i j k ேறறும்



B = ˆ6ˆ 3ˆ _i j k தவக்ரகளின் ஸககைர தபருககல்_  

A B. , ேறறும் 

A, 

B இன் எண்ேதிபபுகர்ளயும் கோண்க. கேலும் தகோடுககபபட்் இவவிரண்டு தவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணத்தின் ேதிபபு என்ை? தீரவு

 

A B. = + + =2 12 30 44 

A தவக்ரின் எண்ேதிபபு

A = 4 16 25 45+ + = அைகுகள 

B தவக்ரின் எண்ேதிபபு

B = 1 9 36 46+ + = அைகுகள

இரண்டு தவக்ரகளுககும் இர்பபட்் ககோணம்

θ = 

 



 

−cos .1

 

A B AB

×  

 

=  

 

= ( )

- -

cos cos .

cos .

1 1

44 45 46

44 45 49

0 967

∴ ≅ °θ 15

எடுத்துககோட்டு 2 .8 தகோடுககபபட்் தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்து தவக்ரக்ளோ எை ஆரோயக.

i) ˆ3ˆ2 A i j ேறறும் ˆ5ˆ4

B i j

ii) ˆ2ˆ5 C i j ேறறும் ˆ5ˆ2

D i j

தீரவு

(i)  

A B. = − = − ≠8 15 7 0

எைகவ 

A ேறறும் 

B தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்து தவக்ரகள அல்ை.

(ii)  

C D. = − =10 10 0

எைகவ 

C ேறறும்  

C D and ஆகியரவ ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்து தவக்ரகள ஆகும்.

கீழ்ககோணும் ப்ம் வடிவியல் முரறயில் எவவோறு



C ேறறும்  

C D and தவக்ரகள த்சஙகுத்து தவக்ரகள என்பர�த் த�ளிவோகக கோட்டுகிறது.

A→

→

C →

→

90°

இயறபியலில், 

F என்ற விர்சயிைோல் தபோருத்ளோன்று dr த�ோரைவு இ்பதபயரச்சி அர்யும்கபோது, அவவிர்சயிைோல் த்சயயபபட்் கவரைரய பின்வருேோறு வரரயரற த்சயயைோம்.

W F dr= 

. W F dr= cos θ

விர்சயிைோல் த்சயயபபட்் கவரை என்பது, விர்ச தவக்ருககும், இ்பதபயரச்சி தவக்ருககும்

→A
→B

→C
90°→D

எத@ஙஎத@ங	i) Aii) Ci	2ijˆ 3 Bi4ˆ 5 ˆj5ˆ 2 ˆj ேற²Ý Di2ˆ 5 ˆjேற²Ý=−81 57=− ≠ Bேற²Ý தவக்ரகள ஒå²கததவக்ரகள அàை.=−=10 10 0 ேற²Ý ஆxயர வ ஒå²கததவக்ரகள ஆ¤Ý. CªÝ ப்Ý வ}யà ¯ரறேற²Ý தவக்ரகள த@ங எåபர� Ú த�வோகக கோØ©xற«.y→Ax→By→C90° x→D

| ர¶ AB.(i)Aைகவ¤Ú«  CD.(ii)Cைகவ¤Ú« âககோவோ² க்ரகள |

| கோå² |

| கோå² à ¤Ú« |

எ©Ú« க கோ Ø© 2.7A 24ijˆ ˆ  5kதகோB =  ©கijˆ க3பபØ்ˆ 6kˆ  ேற²ÝAB. A, Bதவக்ரகå ஸககைரதப±ககà, ேற²Ý இå எÙேப®கரN °Ý கோÙக.கே³Ý தகோ©ககபபØ் இவரÙ© தவக்ரக´க¤இரர்¶ பபØ் ககோணÚå ேப® எåை? AB. =+21 23+= 04 4AதவA = க்å எ41++ Ùே62 54ப=® 5அை¤களBதவB = க்å எ19++ Ùே36ப =® 46அை¤களஇரÙ© தவக்ர க´க¤Ý இர் பபØ் ககோணÝ AB. θ= cos   AB  44   44 = cosc −1 () 45 × 46  = os  45.49 = cos. 0 967–11∴≅θ 15°-1

இர்கயயோை ஸககைர தபருககல் ஆகும். கவரைரயப கபோைகவ, கேலும் பல்கவறு இயறபியல் அ்ளவுகளும் ஸககைர தபருககலிைோல் வரரயரற த்சயயபபட்டுள்ளை என்பர� நிரைவில் தகோள்ளவும்.

சீரோை வட்் இயககத்தில் ரேயகநோககு விர்ச, தபோருளின் இ்பதபயரச்சிககுச்

த்சஙகுத்�ோக த்சயல்படுவ�ோல், ரேயகநோககு விர்சயிைோல் தபோருளின் மீது த்சயயபபட்் கவரை சுழியோகும்.

குறிபபு

இரணடு கவகடரகளின் கவகடர க்பருககல்

வகரயக்ற இரண்டு தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககல் அல்ைது குறுககு தபருககல் த்சயயும்கபோது கிர்ககும் த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபோைது, அவவிரு தவக்ரகளின் எண்ேதிபபுகளின் தபருககல்பைன் ேறறும் அவதவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணத்தின் ர்சன்ேதிபபு ஆகியவறறின்

C = A × B

A × B = −(B

கவகடர க்பருககல் (குறு 

A ேறறும் 

B ஆகியவறறின் தவக்ர தபருககலி தவக்ர



C ஆைது.

C A B A B= × =| || | sinθ n̂

்படம் 2.22 இரண்டு தவக்ரகளின் தவக்ர

தபருககல் பைனுககுச் ்சேேோகும். கேலும் வைதுரக திருகுவிதி அல்ைது வைதுரக தபருவிரல் விதியின் அடிபபர்யில், த�ோகுபயன் தவக்ரின் திர்சயோைது, இரண்டு தவக்ரகளின் �்ளத்திறகுச் த்சஙகுத்துத் திர்சயில் இருககும். (ப்ம் 2.22)



A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககலிைோல் கிர்ககும் த�ோகுபயன் தவக்ர



Cஐ கீழ்ககண்்வோறு குறிபபி்ைோம்.

  

C A B= × = (AB sin θ)n̂  

A B× இன் அைகு தவக்ர n̂ ன் திர்ச, அ�ோவது 

C இன் திர்ச, 

A ேறறும் 

B தவக்ரகளிைோைோை �்ளத்திறகுச் த்சஙகுத்�ோக இருககும். கேலும் வைதுரக திருகு ஒன்ரற



A தவக்ரில் இருந்து (மு�ல் தவக்ர) 

B தவக்ரர கநோககி (இரண்்ோவது தவக்ர) அவறறின் சிறிய ககோணத்தின் வழிகய சுழறறும் கபோது திருகு முன்கைறும் திர்சயில்



C தவக்ரின் திர்ச இருககும். இது ப்ம் 2.22 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

கவகடர க்பருககலின் (குறுககுப க்பருககல்) ்பணபுகள் (i) இரண்டு தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககல்

ேறதறோரு தவக்ரரகய �ரும். அவதவக்ரின்

× A)

−C = B × A

ககுப க்பருககல்) ைோல்

 

_A B_× கிர்ககும் மூன்றோவது

− = ×   

C B A

தபருககல்

திர்ச, அவவிரண்டு தவக்ரகளிைோைோை �்ளத்திறகுச் த்சஙகுத்�ோக இருககும். கேலும்



A ேறறும் 

B தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோக இருந்�ோலும், இல்ரைதயன்றோலும் த�ோகுபயன் தவக்ர



C இவவிரண்டு தவக்ரகளுககும் த்சஙகுத்�ோக இருககும்.

(ii) இரண்டு தவக்ரகளின் தவக்ர தபருககல் பரிேோறறுவிதிககு உட்ப்ோது அ�ோவது  

A B× ≠  

B A× ஆைோல்  

A B× = –[  

B A× ] கேலும் |

 

A B× | = |  

B A× | = AB sin θ_, அ�ோவது_

 

A B× ேறறும்  

B A× இவறறின் எண்ேதிபபுகள ்சேம். ஆைோல் இரவயிரண்டும் எதிதரதிரதிர்சயில் த்சயல்படும்.

(iii) இரண்டு தவக்ரகளின் தவக்ர தபருககல் sin θ = 1 என்ற நிபந்�ரையில் (θ = 90°) தபருே ேதிபரபப தபறும். அ�ோவது தகோடுககபபட்் தவக்ரகள த்சஙகுத்து தவக்ரகள எனில் தவக்ர தபருககல் தபருே ேதிபரபப தபரும்.

max A B ABnதபருேம் ˆ

max A B ABn

(iv) இரண்டு சுழியறற தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககல் sin , . .,θ θ= = = °_minimum i e o_0 0 sin , . .,θ θ= = = ° °_minimum i e or_0 0 180 என்ற நிபந்�ரையில் (θ = 0° அல்ைது 180°) சிறுே ேதிபரபப தபறும்.

வைதுரக விதியின்படி, வைதுரகயின் விரல்கள வர்ளயும் திர்சயில்

தபோருளின் சுழறசிரயக கருதிைோல், ே்ககபபட்் விரல்களுககுச் த்சஙகுத்�ோக உள்ள தபருவிரல், த�ோகுபயன் தவக்ர C→இன் திர்சரயக குறிககும்.

குறிபபு

A B min

× = 0( (சிறுேம் = 0

அ�ோவது தகோடுககபபட்் தவக்ரகள, ஒன்றுகதகோன்று இரணயோககவோ அல்ைது எதிரோககவோ உள்ளகபோது, அவறறின் தவக்ர தபருககல் பைன் சுழியோகும்.

(v) �ற்சோரபு தவக்ர தபருககல் அ�ோவது ஒரு தவக்ரர அக� தவக்ரு்ன் குறுககு தபருககல் த்சயயும்கபோது அது சுழிேதிபரபப தபறும். அ�ரை சுழிதவக்ர என்று அரழககைோம்.

sin0 0ˆ A A AA n .

இயறபியலில் சுழி தவக்ர எளிரேயோக சுழி என்கற குறிககபபடுகிறது.

(vi) ஓரைகு தவக்ரகளின் �ற்சோரபு தவக்ர தபருககலும் சுழியோகும்.

0ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ_i i j j k k_

(vii) வைதுரக திருகு விதியின்படி, த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகளின் தவக்ர தபருககல் கீழ்ககண்்வோறு கோணபபடும்.

,ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ _i j k j k i and k i j ேறறும் ,ˆ_ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ _i j k j k i and k i j_

கேலும், தவக்ர தபருககல் பரிேோறறு விதிககு உட்ப்ோ��ோல், கீழ்ககோணுேோறு எழு�ைோம்.

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ,

ˆ j i k k j i

and i k j

ேறறும்

(viii) தவக்ர கூறு முரறயில் இரண்டு தவக்ரகளின் தவக்ர தபருககரை கீழ்ககண்்வோறு கண்்றியைோம்.

ˆˆˆ

x y z

i j k A B A A A

B B B

°_r_ 180

y z z y

z x x z

x y y x

i A B A B

j A B A B

k A B A B

குறிபபு: ĵ கூறின் தபருககலின் வரிர்சயோைது ̂ thi கூறு ேறறும்,ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ _i j k j k i and k i j˘th கூறுகளின் தபருககலின் வரிர்சயிலிருந்து ேோறுபட்டு உள்ளர�க கவனிககவும்._

(ix) 

A ேறறும் 

B என்ற இரண்டு தவக்ரகர்ள இரணகரம் ஒன்றின் அடுத்�டுத்� பககஙக்ளோகக கருதிைோல்,

 

A B× – இன் எண்ேதிபபு

 

_A B_× அவவிரணகரத்தின் பரபப்ளரவக தகோடுககும். இ�ரை ப்ம் 2.23 கோட்டுகிறது.

A×B = A B sin θ

A×B

்படம் 2.23 இரணகரம் ஒன்றின் பரபப்ளவு

ஒரு இரணகரத்ர� நோம் இரண்டு ்சே அ்ளவுள்ள முகககோணேோகப பிரிகக முடியும். தவக்ர



A ேறறும் 

B இருபககேோகக தகோண்் ஒரு முகககோணத்தின் பரபப்ளவு என்பது 1 2  

_A B_× ககுச் ்சேேோக இருககும். இது ப்ம் 2.24 – யில் கோட்்பபட்டுள்ளது. [இந்� வழிமுரற அைகு – 6 இல் தகப்ளரின் விதிகர்ளப பயிலும் கபோது பயன்படுத்�பப்விருககிறது என்பர� ேைதிற தகோளக].

2 A×B

்படம் 2.24 முகககோணத்தின் பரபப்ளவு

இயறபியலில் பயன்படுத்�பபடும் பல்கவறு அ்ளவுகள தவக்ர தபருககலின் வோயிைோக வரரயரற த்சயயபபடுகின்றை. குறிபபோகச் சுழறசியின் விர்ளவுகர்ள, எடுத்துககோட்டும் திருபபுவிர்ச, ககோணஉந்�ம் கபோன்ற அ்ளவுகர்ள வரரயரற த்சயயும் கபோது தவக்ர தபருககல் பயன்படுகிறது.

எடுத்துககோட்டுகள் (i) திருபபு விர்ச  



τ = ×_r F . இஙகு_



F என்பது விர்ச ேறறும் r என்பது தபோருளின் நிரைதவக்ர ஆகும்.

(ii) ககோண உந்�ம் 

 

L r p= × இஙகு 

 

L r p= × என்பது கநரகககோட்டு உந்�ேோகும். (iii) கநரகககோட்டுத் திர்ச கவகம்   _v r_= ×ω இஙகு



ω என்பது ககோணத்திர்சகவகேோகும்.

எடுத்துககோட்டு 2.9 தகோடுககபபட்் தவக்ர 2 3 ˆˆˆ 5

_r i j k ேறறும் தவக்ர_ 3 2 ˆˆ 4 .ˆ

F i j k ஆகியவறறின்

த�ோகுபயன் தவக்ர  



τ = ×_r F ஐக கோண்க_

தீரவு

τ = 2 3 5 3

ˆˆˆ

2 4

_i j k r F_

(12 10 15 8 ˆˆˆ 4 9 i j k

22 7 ˆˆˆ 13 i j k

2.5.3. கவகடர கூறுகளின் ்பணபுகள் இரண்டு தவக்ரகள



A ேறறும் 

B ஆகியரவ ஒன்றுகதகோன்று ்சேேோக இருபபின், அவறறின் கூறுகளும் ஒன்றுகதகோன்று ்சேேோக இருககும்.

 

A B= என்க கூறுமுரறயில்

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ _x y z x y zA i A j A k B i B j B k எைகவ A Bx x_= , A By y= , A Bz z=

எ©Ú« க கோ Ø© 2.9ri 23ˆ ˆjk 5 ˆதகோ©ககபபØ் தவFiக்ர32ˆ ˆjk 4.ˆ ேற²Ý தவக்ர τ =×rF ஆxயவறåத�ோ¤பயå தவக்ர ஐக கோÙகர¶ijˆ ˆ kˆ  τ = rF 23 53 24   (121 01ijˆ 58 ˆ 49 k 22ijˆ 7 ˆ  13k

| A × B2 |B |

எடுத்துககோட்டு 2. 10 தகோடுககபபட்் தவக்ர ்சேன்போடுகளின் கூறுகர்ள ஒபபிடுக அ)



F = _ma_ இஙகு m ஒரு கநரககுறி எண் ஆ)



p = 0

தீரவு ந�ரவு: அ)

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ _x y z x y zF i F j F k ma i ma j ma k_



F = _ma_

தவக்ர கூறுகர்ள ஒபபிடும் கபோது

்ர கூறுகர்ள ஒபபிடும் கபோதுF ma F max x y y= =, , F maz z=

இது நேககு உணரத்துவது, ஒரு தவக்ர ்சேன்போடு, மூன்று ஸககைர ்சேன்போடுகளுககு இரணயோை�ோகும். ந�ரவு: ஆ)



p = 0

0 0ˆ 0ˆˆ ˆˆ ˆ _x y zp i p j p k i j k_

தவக்ர கூறுகர்ள ஒபபிடும் கபோது

px = 0, py = 0, pz =0

எடுத்துககோட்டு 2. 1 1 தகோடுககபபட்் தவக்ர ்சேன்போட்டிலிருந்து ‘T’ ன் ேதிபரபககோண்க.

5 6ˆ ˆ ˆ ˆ3 _j Tj j Tj_

தீரவு தவக்ர கூறுகர்ள ஒபபிடும்கபோது

5 6 3− = +T T

− =1 4_T_

T = − 1 4

எடுத்துககோட்டு 2. 12 தகோடுககபபட்் தவக்ர ்சேன்போட்டின் கூறுகர்ள ஒபபிடுக

   

_F F F F_1 2 3 4+ + =

தீரவு கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபின் அடிபபர்யில் தகோடுககபபட்் தவக்ர ்சேன்போட்ர் x, y ேறறும் z கூறுக்ளோகப பகுத்து அ�ன் கூறுகர்ள ஒபபி் கவண்டும்.

_F F F Fx x x x_1 2 3 4+ + =

_F F F Fy y y y_1 2 3 4+ + =

_F F F Fz z z z_1 2 3 4+ + =

நிகல கவகடர (position vector)

எந்� ஒரு குறிபபிட்் கநரத்திலும், துகள ஒன்றின் நிரையிரைக குறிபபோயம் அல்ைது ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிரைப தபோருத்து குறிபபிடும் தவக்ர, நிரைதவக்ர ஆகும்.

P என்ற புளளியில் உள்ள துகள ஒன்றின் நிரை தவக்ரர r



கீழ்ககோணுேோறு குறிபபி்ைோம்.

_r xi y j zk_

இஙகு x, y ேறறும் z ஆகியரவ நிரை தவக்ர r 

இன் கூறுகள ஆகும். கேலும் ,̂ , ˆˆ_i j k ேறறும் ,̂_ , ˆˆ_i j k ஆகியரவ த்சஙகுத்து அச்சுக்ளோை x, y ேறறும் z அச்சில் த்சயல்படும் த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகள ஆகும். ப்ம் 2.25 த்சஙகுத்து ஓரைகு தவக்ரகர்ளக கோட்டுகிறது._

56−= 3TT+−=14 T1T =−4

எ©Ú« க கோ Ø© 2.12 FF++ FF=தகோ©ககபபØ் தவக்ர @ேåபோ Ø}å ·²கரNஒப©க ர¶12 34கோரzயå ஆய அÖ¦Ú த�ோ¤பå அ}பபர் à தகோ©ககபபØ் தவக்ர @ேåபோØர் x, y ேற²Ý z ·²கNோகப ப¤Ú« அ�å ·²கரN ஒப்கவÙ©Ý.FF ++ FF =FF ++ FF =FF12xx ++ FF34xx =12yy 34yy12zz 34zz

எ©Ú« க கோ Ø© 2.10தகோ©க கபபØ் தவ க்ர @ேåபோ ©கå ·²கF ரN= ma ஒப©கஅ) இங¤ p m= ஒ± 0 கநரக¤ எÙஆ)ர¶ந�ர¶: அ)  F = maFiˆˆFj ˆˆ Fkˆˆma im aj  ma kதவகxy்ர ·²கரN zx ஒப©Ý கப ோ« yzFm= aF, = ma , Fm= a்ர ·²கரN ஒப©Ý கப ோ«இ« நxxேக¤ உணyy ரÚ«வ«, zz ஒ± தவக்ர@ேåபோ ©, Âå² ஸககைர @ேåபோ ©க´க¤ இரண யோை�ோ ¤Ý.ந�ர¶: ஆ) p = 0p ipˆˆ ˆˆjp kiˆ 00 jk 0 ˆதவக்ர ·²கxy p = ரN0, ஒpபz ©Ý = 0, கபpோ«=0x y z

P(x,y,z)

்படம் 2 . 25 கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபில் உள்ள நிரை தவக்ர

எடுத்துககோட்டு 2. 13 ப்த்தில் கோட்்பபட்டுள்ள P,Q,R,S புளளிகளில் உள்ள துகளகளின் நிரை தவக்ரகர்ளக கோண்க.

x−x

−y

தீரவு P புளளியில் உள்ள துகளின் நிரை தவக்ர

3ˆ _Pr i_

Q புளளியில் உள்ள துகளின் நிரை தவக்ர

ˆ5 4ˆ _Qr i j_

R புளளியில் உள்ள துகளின் நிரை தவக்ர

2 or 3 ?ˆ ˆ _Rr i i_

S புளளியில் உள்ள துகளின் நிரை தவக்ர

ˆˆ3 6_sr i j_

எடுத்துககோட்டு 2. 14 த�ோ்ககத்தில் ஓயவு நிரையில் உள்ள ேனி�ர ஒருவர, (1) வ்ககு கநோககி 2 மீட்்ரும், (2) கிழககு கநோககி 1 மீட்்ரும், பின்பு (3) த�றகு கநோககி 5 மீட்்ரும் ந்ககிறோர. இறுதியோக (4) கேறகு கநோககி 3 m ந்ந்து ஓயவு நிரைககு வருகிறோர. இறுதி நிரையில் அம்ேனி�ரின் நிரை தவக்ரரக கோண்க.

தீரவு ப்த்தில் கோட்டியுள்ளவோறு கநரகுறி x அச்ர்ச கிழககு திர்சயோகவும், கநரகுறி y அச்ர்ச வ்ககு திர்சயோகவும் கருதுக.

(1)

(3)

(4)

(2)

பயணமுடிவில் P புளளிரய அர்ந்� ேனி�ரின் நிரை தவக்ர ˆˆ2 3

_r i j ஆகும். கேலும் இ்பதபயரச்சியின் திர்ச த�ன் கேறகு ஆகும்._

கடந்த க்தோகலவு மறறும் இடபக்பயரச்சி

கடந்த க்தோகலவு தகோடுககபபட்் கோை இர்தவளியில், தபோருள க்ந்து த்சன்ற போர�யின் தேோத்� நீ்ளம் க்ந்� த�ோரைவு எைபபடும். இது ஒரு கநரகுறி ஸககைர அ்ளவு ஆகும்.

இடபக்பயரச்சி தகோடுககபபட்் கோை இர்தவளியில் தபோருளின் இறுதி நிரைககும், அ�ன் ஆரம்ப நிரைககும் உள்ள கவறுபோடு இ்பதபயரச்சி எைபபடும். கேலும் தபோருளின் இருநிரைகளுககு இர்கய உள்ள மிகககுரறந்� த�ோரைவு எைவும் வரரயரற

P(x,y,zz
r
x
y

(1)

|——|——| | P |

எ©Ú« க கோ Ø© 2.13ப்Úà கோØ்பபØ©ளN P,Q,R,S ®ளகà உளN «களகå ரை தவக்ரகரNககோÙக.yQ−x R PSர¶−yP ®ளà உளN «கå ri  3 ரை தவக்ரQ ®ளà உளN «கå ri P 54ˆ ˆj ரை தவக்ரR ®ளà உளN «கå Qri  2 ˆ or ரை 3?தவi க்ரS ®ளà உளN «கå ri R36ˆ j ரை தவக்ரs

த்சயயைோம். இ்பதபயரச்சியின் திர்சயோைது த�ோ்ககபபுளளியிலிருந்து இறுதிநிரைப புளளிரய கநோககி இருககும். இது ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும். ப்ம் 2.26 இ்பதபயரச்சிககும், க்ந்� த�ோரைவிறகும் உள்ள கவறுபோட்டிரைத் த�ளிவோகக கோட்டுகிறது.

்படம் 2 . 26 இ்பதபயரச்சி ேறறும் க்ந்� த�ோரைவு

எடுத்துககோட்டு 2. 15 உஙகள பளளிககூ்ம், உஙகள வீட்டிலிருந்து 2 km த�ோரைவில் உள்ளது எைககருதுக. வீட்டிலிருந்து பளளிககூ்த்திறகும், பின்ைர ேோரை பளளிககூ்த்திலிருந்து வீட்டிறகும் வருகிறீரகள எனில், இந்நிகழ்ச்சியில் நீஙகள க்ந்து த்சன்ற த�ோரைவு ேறறும் அர்ந்� இ்பதபயரச்சி என்ை?

தீரவு 2 km

இந்�ப பயணத்தில் அர்ந்� இ்பதபயரச்சி சுழி. ஏதைனில் ஆரம்பநிரை ேறறும் இறுதிநிரை ஆகிய இரண்டும் ஒகர புளளியோகும். ஆைோல் க்ந்� த�ோரைவு 4 km ஆகும்.

எடுத்துககோட்டு 2. 16 ஒரு �்க்ள வீரர 50 m ஆரமுர்ய வட்்வடிவ ஓடுபோர�யில் மூன்று முரற சுறறி வருகிறோர, அவர க்ந்� த�ோரைவு ேறறும் அர்ந்� இ்பதபயரச்சிரயக கோண்க.

தீரவு

R A

�்க்ள வீரர க்ந்� த�ோரைவு = 3 × ஓடுபோர�யின் சுறற்ளவு = 3 × ×2 50π m = 300× ×2 50π m m (அல்ைது) க்ந்� த�ோரைவு ≈ 300 x 3.14 ≈ 942 m �்க்ளவீரர அர்ந்� இ்பதபயரச்சி சுழி. ஏதைனில் �்க்ள வீரரின் த�ோ்ககநிரை ேறறும் இறுதிநிரை ஆகியரவ ஒகர புளளியில் உள்ளை.

கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்க்தோகுபபில் இடபக்பயரச்சி கவகடர

நிரைதவக்ரர அடிபபர்யோகக தகோண்டு இ்பதபயரச்சி தவக்ரர எவவோறு அரேபபது என்பது பின்வருேோறு வி்ளககபபட்டுள்ளது. துகள ஒன்று நிரை தவக்ர r1 = 1 1 1

ˆˆˆ _x i y j z k_ தகோண்் P1 புளளியிலிருந்து, நிரை தவக்ர _r_2 = 2 2 2

ˆˆˆ _x i y j z k தகோண்் P2 புளளிககு நகரகின்றது என்க. இத்துகளின் இ்பதபயரச்சி தவக்ரர கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம்._

2 1

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )

r r r

x x i y y j z z k

[இவவி்பதபயரச்சி ப்ம் 2.27 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.]

்படம் 2 . 27 இ்பதபயரச்சி தவக்ர

r2 − r1 = ∆r

எடுத்துககோட்டு 2. 17 ப்த்தில் கோட்்பபட்டுள்ளவோறு துகள ஒன்று P புளளியிலிருந்து Q புளளிககு நகரகின்றது எனில், அத்துகளின் இ்பதபயரச்சி தவக்ர ேறறும் இ்பதபயரச்சியின் எண்ேதிபரபயும் கோண்க.

∆r

Q 3

•

1 0

தீரவு இ்பதபயரச்சி தவக்ர ∆ = −

_r r r_2 1 ,

இஙகு

1 ˆˆ

ir j ேறறும் 2 ˆˆ4 2

r i j

2 1 ˆ ˆˆ ˆ4 2

_r r r i j i j_

4 1 2 1 ˆˆ _i j_

3 ˆˆ _r i j_

இ்பதபயரச்சி தவக்ரின் எண்ேதிபபு ∆ = + =r 3 1 102 2 அைகு.

(1) தகோடுககபபட்் கநரத்தில் இயஙகும் தபோருள க்ந்� த�ோரைவு எபகபோதும்

கநரககுறி ேதிபரப ேட்டுகே தபறறிருககும். சுழி அல்ைது எதிரககுறி ேதிபபிரைப தபறோது. (2) தகோடுககபபட்் கநரத்தில் தபோருள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி கநரககுறி, சுழி அல்ைது எதிரககுறி ேதிபபிரைப தபறறிருககைோம். (3) தபோருள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி, தபோருள க்ந்� த�ோரைவிறகுச் ்சேேோககவோ அல்ைது குரறவோககவோ இருககும். ஆைோல் ஒரு கபோதும் க்ந்� த�ோரைரவவி் அதிகேோக இருககோது. (4) இரண்டு புளளிகளுககு இர்கய தபோருள க்ந்� த�ோரைவு, பல்கவறு ேதிபபுகர்ளப தபறறிருககும். ஆைோல் அபபுளளிகளுககு இர்கயயோை இ்பதபயரச்சி ஒகர ஒரு ேதிபபிரை ேட்டுகே தபறறிருககும் (எண் ேதிபபில்)

குறிபபு

வகக நுணகணி்தம் (Differential Calculus)

சோரபு ்பறறிய கருத்து (Concept of a function) (i) எந்� ஒரு இயறபியல் அ்ளவும், கணி�வியலின்

ஒரு ்சோரபோக (function) குறிககபபடுகிறது. எடுத்துககோட்்ோக தவபபநிரை T ஐக கருதுகவோம். சுறறுச்சூழலின் தவபபம் நோள முழுவதும் ஒகர சீரோக இருபபதில்ரை. அது நண்பகலில் அதிகரிககவும், ேோரை கவர்ளயில் குரறயவும் த்சயகிறது.

நோம் கருதும் எந்�தவோரு “t” கநரத்திலும் தவபபநிரை T ஒரு குறிபபிட்் ேதிபபிரைப தபறறிருககும். கணி�விதிகளின் அடிபபர்யில் இ�ரை ‘T (t)’ எைக குறிபபி்ைோம். கேலும் இ�ரை “கநரத்ர�ச் ்சோரந்� தவபபநிரை” எை அரழககைோம். இதிலிருந்து நோம்

r − r = ∆r P2
P1r1	2 1
r2

Q•
P	∆r•
r1	r2

எ©Ú« ககோØ© 2.17ப ்Úà கோØ்பப Ø©ளNவோ² «கள ஒå² P ®ள±Û« Q ®ளக¤ நகரxåற« எà, அÚ«கå இ்பதப யரÖz தவக்ர ேற²Ý இ்பதப யரÖzå எÙேபரப °Ý கோÙக.y43Q2 ∆r •1 r P• rx0ர¶ 1 1 2 2 3  4 ∆=rr − rஇ்பதப யரÖz தவக்ர , இங¤ rj iˆ ri2142ˆ ˆjrr  riேற²Ý42ˆˆ ˆˆji  j41 ijˆ 211 2ri 3ˆ ˆj21இ∆=r ்பதப ய 31ரÖz += 10தவக்å எÙேப® அை¤.22

அறிந்துதகோளவது என்ைதவனில், கநரம் ‘t’ தகோடுககபபட்்ோல், அந்� குறிபபிட்் கநரத்தில் உள்ள தவபபநிரைரய ்சோரபு ‘T (t)’ தகோடுககும். இக�கபோன்று x அச்சின் திர்சயில் த்சல்லும் கபருந்து ஒன்றின் இயககத்திரை x(t) எைக குறிபபி்ைோம். அ�ோவது x என்பது கநரத்ர�ச் ்சோரந்� ஒரு ்சோரபு ஆகும். இஙகு x என்பது அந்� கபருந்தின் x ஆய அச்சிரைக குறிககிறது.

எடுத்துககோட்டு f(x) = x2 என்ற ்சோரரபக கருதுக. சிை கநரஙகளில் இ�ரை y = x2 எைவும் குறிபபி்ைோம் இஙகு y என்பது x ஐச் ்சோரந்� ேோறி, ஆைோல் x என்பது ்சோரபறற ேோறி ஆகும். x இல் ேோறறம் ஏறபடும் கபோத�ல்ைோம் y யிலும் ேோறறம் ஏறபடும் என்பர� இது உணரத்துகிறது.

இயறபியல் அ்ளவு ஒன்றிரைச் ்சோரபு வடிவில் குறிபபிட்் பின்பு, அந்� ்சோரபு கநரத்ர�ப தபோருத்து எவவோறு ேோறுபடுகிறது (அல்ைது) இயறபியல் அ்ளவு ்சோரபறற ேோறிகர்ளப தபோருத்து எவவோறு ேோறுபடுகிறது என்பர� அறியைோம். எந்� ஒரு இயறபியல் அ்ளவில் ஏறபடும் ேோறறத்ர�யும் பகுத்து ஆரோய நுண்கணி�ம் (Calculus) என்ற கணி�வியலின் பிரிவு பயன்படுத்�பபடுகிறது.

y = f(x) என்பது ஒரு ்சோரபு எனில், x ஐப

தபோருத்து y இன் மு�ல் வரககதகழுரவ dy dx

எைக

குறிபபி்ைோம். கணி�வியலின்படி y = f(x) என்பது

x-இன் பல்கவறு ேதிபபுகளுககு y - இல் ஏறபடும் ேோறறத்ர� எடுத்துக கோட்டுகிறது.

கணி� ககோட்போட்டின்படி வரககதகழு dy dxகீழ்ககண்்வோறு வரரயரற த்சயயபபடுகிறது.

dy dx

= lim D →

+ D( ) - ( ) D_x_

_y x x y x x_0

= lim D →

D D_x_

_y x_0

D_x சுழியிரை தநருஙகும்கபோது (D_ →_x does not_0 ) D D

y x

அர்யும் எல்ரைரய dy dx

கோட்டுகிறது.

்படம் 2.28 ்சோரபின் வரககதகழு

எடுத்துககோட்டு 2. 18 y x= 2 . என்ற ்சோரபிரைக கருதுக. “்சோரபு எல்ரை” கருத்ர�ப பயன்படுத்தி x = 2 என்ற புளளியில்

அ�ன் வரககதகழு dy dx

ஐக கோண்க.

தீரவு x1 = 2 ேறறும் x2 = 3 என்ற இரண்டு புளளிகர்ளக கருதிைோல் y1= 4 ேறறும் y2 = 9 என்ற இரண்டு புளளிகள கிர்ககும். இஙகு D =x 1 ேறறும் Δy = 5

எைகவ, D D

y x

= 9 4 3 2

5− −

x1 = 2 ேறறும் x2 = 2.5 எனில் y1 = 4 ேறறும் y2 = (2.5)2 = 6.25 எைக கிர்ககும்

இஙகு ∆ =x = 1 2

0 5. ேறறும் Δy = 2.25

எைகவ, D D

y x

= 6 25 4 0 5

4 5. .

.− =

x1 = 2 ேறறும் x2 = 2.25 எனில் y1 = 4 ேறறும் y2 = 5.0625 எைக கிர்ககும்

இஙகு ∆ = =x 1 4

0 25. ேறறும் Δy = 1.0625

எைகவ, D D

y x

= 5 0625 4 0 25

5 0625 4 1 4

4 5 0625 4 4 25

. .

− =

−( )

= −( ) = D =mean that x 0

|——|——|——|——|

எ©Ú«yx=எக±Úர�ப2அ�å வர¶x = 2ேறக±ைோ®ள1 கள
D=இங¤ எைகவ
x = 2y = 4ேறேற1 1
∆=இங¤ எைகவ
x = 2y = 4 ∆=ேறேற1 இங¤ 1
எanைகவthat

x1 = 2 ேறறும் x2 = 2.1 எனில் y1 = 4 ேறறும் y2 = 4.41 எைக கிர்ககும்.

இஙகு D = =x 0 1 1 10

. ேறறும் Δy = 0.41

D D

y x

= 4 41 4

1 10

10 4 41 4 4 1 .

. . −( )

= −( ) =

முடிவுகள கீழ்ககண்்வோறு அட்்வரணப படுத்�பபட்டுள்ளை.

_x_1 _x_2 Δ_x y_1 _y_2

y x

2 2.25 0.25 4 5.0625 4.25 2 2.1 0.1 4 4.41 4.1 2 2.01 0.01 4 4.0401 4.01 2 2.001 0.001 4 4.004001 4.001 2 2.0001 0.0001 4 4.00040001 4.0001

கேறகண்் அட்்வரணயிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகர்ளப தபறைோம்.

„ D_x சுழியிரை தநருஙகும்கபோது_ D D

y x

எண்ேதிபபு 4 என்ற எல்ரைரய தநருஙகுகிறது

„ x = 2 என்ற புளளியில், வரககதகழு dy dx

= 4 ஆகும்.

„ ேறதறோரு கவனிகக கவண்டிய அம்்சம் என்ைதவனில், Δx → 0என்பர� D → D =_x does not mean that x_0 0 எைக கரு�ககூ்ோது. ஏதைனில் D → D =_x does not mean that x_0 0 என்று பிரதியிட்்ோல் D

D y x

ஐ வரரயறுகக முடியோது.

தபோதுவோக, ்சோரபு y = x2 இன் வரககதகழுரவக கீழ்ககண்்வோறு கோணைோம்.

∆ ∆

= + ∆( ) −

∆ =

+ ∆ + ∆ − ∆

= ∆ + ∆

∆ = + ∆

y x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

2 2 2 2 2

2 2

dy dx

x x x x

= + ∆ = ∆ → lim

0 2 2

பின்வரும் அட்்வரண இயறபியலில் பயன்படுத்�பபடும் சிை தபோதுவோை ்சோரபுகர்ளயும், அவறறின் வரகக தகழுககர்ளயும் கோட்டுகிறது.

சோரபு வகககககழு y = x dy/dx = 1 y = x2 dy/dx = 2x y = x3 dy/dx = 3x2

y = xn dy/dx = nxn-1

y = sinx dy/dx = cosx y=cosx dy/dx = −sinx y = மாறிலி dy/dx = 0

y AB= dy dx A dB dx

dA dx

B/ = 

  

 + 

  

 

இயறபியலில், திர்சகவகம், கவகம் ேறறும் முடுககம் ஆகியரவ கநரம் t ஐப தபோருத்� வரககதகழுககள ஆகும். அவறரறபபறறி அடுத்� பகுதியில் கோணைோம்.

எடுத்துககோட்டு 2. 19 தகோடுககபபட்் ்சோரபு x = A0 + A1t + A2 t2 இன் வரககதகழுவிரை t ஐ தபோறுத்துக கோண்க. இஙகு A0, A1 ேறறும் A2 ஆகியரவ ேோறிலிகள ஆகும்.

தீரவு இஙகு ்சோரபறற ேோறி ‘t’ ேறறும் ்சோரபுர்ய ேோறி ‘x’ ஆகும். நேககுத் க�ரவயோை வரககதகழு dx/dt = 0+ A1+2A2t

இரண்்ோம்படி வரககதகழு d x dt

2 = 2A2 ஆகும்.

க்தோகக நுணகணி்தம் (Integral Calculus)

த�ோரகயி்ல் என்பது பரபபிரைக கண்்றியும் ஒரு த்சயைோகும். சிை ஒழுஙகோை வடிவஙகளுககு எளி�ோக பரபபிரைக கண்்றியைோம். ஆைோல் ஒழுஙகறற வடிவஙகளின் பரபபிரை அவவோறு கோணமுடியோது. இத்�ரகய கநரவுகளில் த�ோரக நுண்கணி�த்ர�ப பயன்படுத்தி எளிரேயோக

x = 2 x = 2.1y = 4 y = 4.41ேற²Ý எà ேறD=x ²Ý 01. = 1 எைகΔy x = 0.41ர்க¤Ý.1 ()2 10 ()இங¤ ேற²Ý 1 y 442 . 14− = =−10 44.. 14 = 41x 110âககÙ்வோ² அØ்வரணபØ©ளNை .

| DD |

| ¯}¶களப©Ú�பப | | yx x Δxxy y1 2 1 2 | | 2 2.25 0.25 4 5.0625 4.252 2.1 0.1 4 4.41 4.12 2.01 0.01 4 4.0401 4.012 2.001 0.001 4 4.004001 4.0012 2.0001 0.0001 4 4.00040001 4.0001கேறகÙ் அØ்வரண±Û« åவ±Ý Dy¯}¶கDx ரNப தபறைோÝ.Dx¦ரை தந±ங¤Ýகபோ« எÙேப® 4 எåற எàரைரயdyதநx = 2±ங¤xற« = 4dxஎåற ®ளà, வரககதகµ ஆ¤Ý.D=xேறதறோ± கவகக கவÙ}ய அÝ@Ý D=xஎåைதவ à, Δx → 0எåபர� Dyஎைக க±�க·்ோ«. ஏதை à Dxஎå² ரØ்ோà ஐ வரரய²கக¯}யோ«. y = xதபோ«வோக, @ோர® இå வரககதகµரவகâககÙ்வோ² கோணைோÝ.+∆ − x 2 xx+∆2 xx+∆ − x=∆x ∆xxx∆+ ∆x∆x 2 =+2 2xx 22 ∆ 2=+lim 22xx2 ∆= x∆→x 0 |

| ()∆y xx=∆x2=dydx |

பரபபிரைக கோணைோம். எடுத்துககோட்்ோக ப்ம் 2.29 யில் கோட்்பபட்டுள்ள த்சவவகம் ேறறும் ஒழுஙகறற வர்ளககோடு ஆகியவறரறக கருதுக. த்சவவகத்தின் பரபபு A= நீ்ளம் x அகைம் = (b-a) c எை எளி�ோகக கண்்றியைோம். ஆைோல் ஒழுஙகறற வர்ளககோட்டின் கீகழ அரேயும் பரபரப அவவோறு கோண முடியோது.

்படம் 2.29 த்சவவகம் ேறறும் ஒழுஙகறற வர்ளககோட்டின் கீகழ ஏறபடும் பரபபு

f(x) என்ற ்சோரபோகக கரு�பபடும் ஒழுஙகறற வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபிரைப ப்ம் 2.30 யில் கோட்்பபட்டுள்ளவோறு த்சவவகப பட்ர்க்ளோகக பிரித்து, அவறறின் கூடு�ரை ஒழுஙகறற வர்ளககோட்டிறகுக கீகழ உள்ள பரபபின் க�ோரோயேோகக தகோள்ளைோம்.

_A f a x f x x f x x f x x_≈ ( )D + ( )D + ( )D + ( )D1 2 3

இஙகு f (a) என்பது x = a என்ற நிரையில் f (x) இன் ேதிபபோகும், கேலும் f (x1) என்பது x = x1 என்ற நிரையில் f (x) இன் ேதிபபோகும். இவவோகற ேறற ேதிபபுகர்ளயும் கோண கவண்டும். த்சவவகபபட்ர்களின் எண்ணிகரக அதிகரிககும் கபோது, பரபரப அ்ளவிடு�லின் துல்லியத்�ன்ரே தேன்கேலும் அதிகரிககும்.

f(x2) f(x1) f(a)

f(x3) f(x)

a b∆x x1 x2 x3

f(b)

்படம் 2.30 வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபு த்சவவகபபட்ர்களின் தேோத்�பபரபபிைோல் குறிககபபடுகிறது

வர்ளககோட்டிறகுக கீகழ உள்ள பரபபிரை N பட்ர்க்ளோகப பகுககும்கபோது, வர்ளககோட்டிறகுக கீகழ உள்ள பரபரப

A ≈ f x xn n n

( )D =

∑ 1

எைக குறிபபி்ைோம்.

த்சவவகப பட்ர்களின் எண்ணிகரக ஈறிைோ ேதிபபிரை தநருஙகும்கபோது N →∞ அவறறின் கூடு�ல், த�ோரகயி்ைோக ேோறுகிறது.

A= ( )∫ a

f x dx

(குறிபபு : N →∞, எனில் ∆ →_x_ 0_)_

இந்�த் த�ோரகயி்ல், வர்ளககோடு f(x) ககு கீகழ உள்ள தேோத்�ப பரபபிரைக தகோடுககிறது. இது ப்ம் 2.31 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

|——|——|——|

f(x)

எடுத்துககோட்டுகள் தபோருத்ளோன்று a புளளியிலிருந்து b புளளிககு ஒரு பரிேோண இயககத்தில் நகரும்கபோது விர்ச F (x) ஆல் த்சயயபபட்் கவரைரய கீழ்ககண்்வோறு குறிபபி்ைோம்.

W F x dx

= ( )∫

(இஙகு ஸககைர தபருககல் அவசியமில்ரை. ஏதைனில் தபோருள ஒரு பரிேோண இயககத்ர� கேறதகோளகிறது.) (1) விர்சயிைோல் த்சயயபபட்் கவரை, விர்ச -

இ்பதபயரச்சி வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபிறகுச் ்சேம் என்பர� ப்ம் 2.32 கோட்டுகிறது.

்படம் 2.32 விர்சயிைோல் த்சயயபபட்் கவரை

(2) t = 0 ேறறும் t = t1 என்ற சிறிய கோை இர்தவளியில் விர்சயிைோல் ஏறபட்்

, xm = b – a

்படம் 2.31 கூடு�லுககும் த�ோரகயி்லு

கணத்�ோகரக த�ோரகயி்ல் மூைம் கணககி்ைோம்.

கணத்�ோககு I Fdt t

= ∫ 0

விர்சச் ்சோரபு F (t) ேறறும் கநரம் (t) வரரப்த்தின் பரபபு, கணத்�ோககிறகுச் ்சேம். இது ப்ம் 2.33 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது

்படம் 2.33 விர்சயிைோல் ஏறபடும் கணத்�ோககு

(s)

(N )

சரோசரித் திகசநவகம் த�ோ்ககத்தில் P என்ற புளளியில் உள்ள துகள ஒன்ரறக கருதுக. அ�ன் நிரைதவக்ர

r1. ஆகும். D_t என்ற சிறிய கோை இர்தவளியில் அத்துகள Q என்ற புளளிரய அர்கிறது அ�ன் நிரைதவக்ர_ _r_2 . ஆகும். துகளின் இ்பதபயரச்சிதவக்ர

∆   _r r r_= −2 1.

ககும் உள்ள த�ோ்ரபு

|——|——|——|

இ்பதபயரச்சி தவக்ர ேறறும் அ�றகோை கோை இர்தவளி ஆகியவறறின் விகி�ம், ்சரோ்சரி திர்சகவகத்திரைக தகோடுககும்.



v r tavg =

∆ ∆

இது ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும். ்சரோ்சரித் திர்சகவகத்தின் திர்ச, இ்பதபயரச்சி தவக்ரின் திர்சயில் (Δ



v r tavg =

∆ ∆

) அரேயும். இது ப்ம் 2.34 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது

r2− r1=∆r

∆r ∆t

Vavg =

்படம் 2.34 ்சரோ்சரித் திர்சகவகம்

சரோசரி நவகம் துகள க்ந்து த்சன்ற போர�யின் தேோத்� நீ்ளத்திறகும், எடுத்துக தகோண்் கோை இர்தவளிககும் உள்ள �கவு, ்சரோ்சரி கவகேோகும். ்சரோ்சரி கவகம் = போர�யின் தேோத்� நீ்ளம் /

தேோத்� கநரம்

எடுத்துககோட்டு 2.20 ப்த்தில் உள்ளவோறு தபோருத்ளோன்று O புளளியிலிருந்து P புளளிககு 5 விைோடியில் க்ந்து த்சல்கிறது. அபதபோருளின் ்சரோ்சரித் திர்சகவகம் ேறறும் ்சரோ்சரி கவகம் ஆகியவறரறக கோண்க.

xPo 10 cm

்சரோ்சரித் திர்சகவகம் vavg =  _r r_

_t P O_− ∆

இஙகு ∆t = 5 s _rO_ = 0

10ˆ _Pr i_

110 2 ˆ

̂ 5

i i cm s_ _vavg =

்சரோ்சரித் திர்சகவகம், கநரககுறி x அச்சு திர்சயில் உள்ளது.

்சரோ்சரி கவகம் = போர�யின் தேோத்� நீ்ளம் தேோத்� கநரம்

5 3 141 1

cm cm s cm s.

இஙகு ்சரோ்சரி கவகம், ்சரோ்சரித் திர்ச கவகத்ர� வி் அதிகம் என்பர�ப புரிந்து தகோள்ள கவண்டும்.

உடனடித் திகசநவகம் (அல்லது) திகசநவகம் t கநரத்தில் இருககும் உ்ைடித் திர்சகவகம் அல்ைது எளிரேயோக t கநரத்தில் திர்சகவகம் என்பது, ∆t → 0, என்ற நிபந்�ரையில் கிர்ககபதபறும் ்சரோ்சரித் திர்சகவகம் ஆகும்.

கேலும், திர்சகவகம் என்பது, கநரத்ர�ப தபோருத்து நிரைதவக்ர ேோறும் வீ�ேோகும். இது ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும்.



 

v r t

dr dtt

= = →

lim D

D D0

தவக்ர கூறுமுரறயில் துகள ஒன்றின் திர்சகவகம்

ˆˆˆ

dr dv xi yj zk dt dt dx dy dzi j k. dt dt dt

இஙகு dx dt

v xx= = − திர்சகவகத்தின் x கூறு

@ரோ@Ú	 rr −v =∆tர@கவ கÝ ∆t = 5 sஇங¤r = POsri av10g ˆv = 10i  2 ic m s5 O . Px avgர@கவ கÝ, கநரக¤ அÖ¦ கÝ = போர� å தேோÚ� N cm தேோÚ� கநரÝ cm sc  31. 4 m s5 கவகÝ, @ரோ@ 11 Ú ர@ கவஎåபர�ப ®Û« தகோளN கவ
@ரோ@Ú ர@ à உளN«.@ரோ@ கவ
Ý

| 5 |

| கÚர�Ù©Ý. | | இங¤ @ரோ@் அகÝ |

y	Q− r = ∆r1avg	∆r=∆tx
r VP 2r2
r1
HடÝ 2.34 @ரோ@Ú ர@கவ கÝ

dy dt

v yy= = − திர்சகவகத்தின் y கூறு

dz dt

v zz= = − திர்சகவகத்தின் z கூறு

திர்சகவகத்தின் எண்ேதிபபு கவகம் எைபபடும். அ�ரை v எை குறிபபி்ைோம்.

v v v vx y z= + +2 2 2 .

கவகம் எபகபோதும் ஒரு கநரககுறி ஸககைர ஆகும். கவகத்தின் அைகு m s-1 ஆகும்.

எடுத்துககோட்டு 2.21 துகத்ளோன்றின் நிரை தவக்ர

22 3 ˆˆˆ 5_r t i t j k_ + −= . அ) t என்ற எந்�தவோரு கநரத்திலும் உள்ள

திர்சகவகம் ேறறும் கவகத்திரைக கணககிடுக.

ஆ) t = 2 விைோடி என்ற கநரத்தில் உள்ள திர்சகவகம் ேறறும் கவகத்திரைக கணககிடுக.

தீரவு: திர்சகவகம் ˆ2 ˆ6_drv i tj_

கவகம் v t t ms( ) ( )= + −2 62 2 1

t = 2 விைோடியில் துகளின் திர்சகவகம் _v sec_2( ) ( s) = 2ˆ 2ˆ1_i j_

t = 2 விைோடியில் துகளின் கவகம் _v sec_2( ) ( s) v s

m s

2 2 12 4 144

148 12 16

2 2

( ) = + = +

= ≈ −.

துக்ளோைது x, y திர்சகளில் திர்சகவகத்தின் கூறுகர்ளப தபறறுள்ளது. z திர்சயில் நிரைதவக்ர (-5) என்ற ேோறோ� ேதிபபிரைப தபறறுள்ளது. இது கநரத்ர�ச் ்சோரந்��ல்ை. எைகவ z- திர்சயில் திர்சகவகத்தின் கூறு சுழியோகும்.

எடுத்துககோட்டு 2.22 A, B ேறறும் C என்ற மூன்று துகளகளின் திர்சகவகஙகள கீகழ தகோடுககபபட்டுள்ளை. இவறறுள எந்�த் துகள அதிக கவகத்தில் த்சல்லும்.

ˆ3 ˆ2ˆ5_Av i j k_

ˆˆ 2 ˆ3_Bv i j k_

ˆ5 ˆ4ˆ3_Cv i j k_

தீரவு நோம் அறிந்�படி கவகம் என்பது, திர்சகவகத்தின் எண்ேதிபபு ஆகும். எைகவ,

A துகளின் கவகம் = 5vA = ( ) + ( ) + ( )22 23 2−

= 9 25 4 38+ + = m s-1

B துகளின் கவகம் = vB

= ( ) + ( ) + ( )1 2 32 2 2

= 1 4 9 14+ + = m s-1

C துகளின் கவகம் = vC

= ( ) + ( ) + ( )5 3 42 2 2

= 25 9 16 50+ + = m s-1

C துகள ேறற துகளகர்ளவி் கவகேோகச் த்சல்லும்.

50 38 14> >

_எடுத்துககோட்டு 2.23 இரண்டு கோரகளில் ஒன்று v m s_1

110 என்ற திர்ச கவகத்தில் கிழககோகவும் ேறதறோன்று _v m s_2

110 என்ற திர்சகவகத்தில் கேறகோகவும் த்சல்கின்றை. அவறறின் கவகஙகர்ளக கணககிடுக.

தீரவு இரண்டு கோரகளும் தவவகவறோை திர்சயில் ஒகர எண்ேதிபபுர்ய திர்சகவகத்தில் த்சல்கின்றை.

கோ Ø© 2.22²Ý C எåற Âå² «களகå கஙகள கழ தகோ©ககபப Ø©ளNை. எÛ�Ú «கள அக கவ கÚà த@à³Ý.vi 3ˆ 5 ˆjk 2 ˆvi ˆ 2 ˆjk 3 ˆvi 5ˆ 3 ˆjk 4ABCப} கவ கÝ எåப ()«, ர@கவ( ) கÚå ()® ஆ¤Ý. எைகவ ,= v = 3 + −5 + 2கவ கÝ= 92++ 54 = 38 m s() () ()22 2A= v = 12 + + 3-1கவ கÝ= 14++ 91= 4 m s() 22 () () 2B= v = 53 + + 4-1கவ கÝ= 25 ++91 65= 0 m s22 2C-1ற கரN் கவ கேோகÖ த@à³Ý.50 » 38 14
எ©Ú« கA, B ேறர@கவஇவற²ளர¶நோÝ அÛ�எÙேப

கோ Ø© 2.22²Ý C எåற Âå² «களகå கஙகள கழ தகோ©ககபப Ø©ளNை. எÛ�Ú «கள அக கவ கÚà த@à³Ý.vi 3ˆ 5 ˆjk 2 ˆvi ˆ 2 ˆjk 3 ˆvi 5ˆ 3 ˆjk 4ABCப} கவ கÝ எåப ()«, ர@கவ( ) கÚå ()® ஆ¤Ý. எைகவ ,= v = 3 + −5 + 2கவ கÝ= 92++ 54 = 38 m s() () ()22 2A= v = 12 + + 3-1கவ கÝ= 14++ 91= 4 m s() 22 () () 2B= v = 53 + + 4-1கவ கÝ= 25 ++91 65= 0 m s22 2C-1ற கரN் கவ கேோகÖ த@à³Ý.50 » 38 14

எ©Ú« கA, B ேறர@கவஇவற²ளர¶நோÝ அÛ�எÙேப

| A «கå B «கå C «கå C«கள«கள ேற |

கோ Ø© 2.21jkˆ 5ரˆை தவக்ர.2 எÛ�தவோ± கந ரÚ³Ý உளN கÝ ேற²Ý கவ கÚரைகைோ} எåற கந ரÚà உளN கÝ ேற²Ý கவ கÚரைகx©க.vi dr 2ˆ  6tjdt=+ 26 () tm s()}à «கå v ( 2222 ec) = 2ijˆ ர@கவ1−21 ˆ கÝs}à «கå கவ கÝ22 ec) =+ 12 =+ 41 44s =≈ 148 12.16 m sx y 22z, ர@கà ர@கவ−1 கÚå தபற ²ளN«. ர@à க்ர (-5) எåற ேோறோ� ேபரைபஇ« கந ரÚர�Ö @ோரÛ��àை. - ர@à ர@கவ கÚå ·²
எ©Ú« க«கrt = தNோ23itˆ åå +−tஅ) எåறர@கவகணt =க 2x©க.ஆ) ர@கவகணகர¶:ர@கவ கÝ vt()கவ கÝ t = 2 ைோ

| t = 2 ைோ |

| ()v ( |

| «கNோை« ·²கரNபரைதவzதபற ²ளN«. எைகவ¦யோ¤Ý. |

எைகவ இரண்டு கோரகளும் தவவகவறு திர்சகவகத்தில் த்சல்கின்றை எைக கரு�ைோம். ஆைோல், திர்ச கவகத்தின் எண்ேதிபபு கவகம் ஆகும். இ�றகுத் திர்ச இல்ரை. எைகவ இரண்டு கோரகளும் தவவகவறு திர்சகளில் த்சன்றோலும் ்சே கவகத்தில் த்சல்கின்றை என்பர� அறியைோம்.

கவகம் கோட்டும் கருவி

உந்தம் துகள ஒன்றின் கநரகககோட்டு உந்�ம் அல்ைது உந்�ம் என்பது அத்துகளின் நிரறககும், அ�ன் திர்சகவகத்திறகும் உள்ள தபருககறபைன் ஆகும். இ�ரை



p எைக குறிபபி்ைோம். இது ஒரு தவக்ர அ்ளவு ஆகும்.

 _p mv_= .

திர்சகவகத்தின் திர்சயிகைகய உந்�த்தின் திர்சயும் இருககும். உந்�த்தின் எண்ேதிபபு துகளின் நிரற ேறறும் கவகத்தின் தபருககல் பைனுககுச்்சேம்.

p = mv

கூறுமுரறயில் உந்�த்திரை பின் வருேோறு குறிபபி்ைோம்.

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ _x y z x y zp i p j p k mv i mv j mv k_

இஙகு

px = உந்�த்தின் x-கூறு, இது mvx ககுச் ்சேம்.

py = உந்�த்தின் y-கூறு, இது mvy ககுச் ்சேம்.

pz = உந்�த்தின் z-கூறு, இது mvz ககுச் ்சேம்.

நியூட்்ன் விதிகளில் உந்�த்தின் பஙகு மிக முககியேோை�ோகும். பின்வரும் எடுத்துககோட்டிலிருந்து உந்�த்தின் இயறபியல் முககியத்துவத்திரை அறியைோம்.

ஒரு வண்ணத்துபபூச்சி, சிறிய கல் ஆகிய இரண்டும் 5 m s–1 என்ற திர்சகவகத்தில் உஙகள மீது கேோதுகிறது என்க. கேோ�லின் விர்ளவுகள இரண்டும் ்சேேோக இருபபதில்ரை. ஏதைனில் விர்ளவு திர்ச கவகத்திரை ேட்டும் தபோருத்�தில்ரை, நிரறரயயும் தபோருத்�து.

சிறிய கல்லின் நிரற, வண்ணத்துபபூச்சியின் நிரறரயவி் அதிகம். எைகவ, சிறிய கல்லின் உந்�ம் வண்ணத்துப பூச்சியின் உந்�த்ர�வி் அதிகம். ஆககவ இயககத்தில் உள்ள தபோருளின் நிரைரய வி்ளககுவதில் உந்�த்தின் பஙகு மிக அதிகேோகும்.

உந்�த்தின் அைகு kg m s-1 ஆகும்.

எடுத்துககோட்டு 2.24 10 g ேறறும் 1 kg நிரற தகோண் ்இரண்டு தபோருட்கள 10 m s-1 என்ற ஒகர கவகத்தில் த்சல்கின்றை. அவறறின் உந்�ஙகளின் எண்ேதிபரபக கோண்க. தீரவு

p = mv என்க 10 g நிரறயுர்ய தபோருளின் உந்�ம்

p = 0.01 × 10 = 0.1 kg m s-1

1 kg நிரறயுர்ய தபோருளின் உந்�ம் p = 1 × 10 = 10 kg m s-1

இரண்டும் ஒகர கவகத்தில் த்சன்றோலும் கைேோை தபோருளின் உந்�ம், கை்சோை தபோருளின் உந்�த்ர� வி் 100 ே்ஙகு அதிகம் என்பர� இந்� எடுத்துககோட்டிலிருந்து அறியைோம்.

ஒரு ்பரிமோண இயககம்

சரோசரித் திகசநவகம் துகத்ளோன்று ஒரு பரிேோணத்தில் இயஙகுகிறது என்க. எடுத்துககோட்்ோக x திர்சயில் இயஙகுகிறது என்று எடுத்துகதகோண்்ோல் அத்துகளின் ்சரோ்சரித் திர்சகவகம்

= ∆ ∆

x t

x x t t

= − −

2 1

ஒ± வÙணÚ«பÁÖz, zய கà ஆxய இரÙ©Ý 5 m s எåற ர@கவ கÚà உஙகள « கேோ«xற« எåக. கேோ�å ரN ¶கள இரÙ©Ý –1 @ேேோக இ±பப àரை . ஏதை à ரN ¶ ர@ கவகÚர ை ேØ©Ý தபோ ±Ú�àரை , ரறரய °Ý தபோ ±Ú�«.zய கàå ரற , வÙணÚ«பÁÖzå ரறரய ் அகÝ. எைகவ , zய கàå உÛ�Ý வÙணÚ«ப ÁÖzå உÛ�Úர� ்அகÝ. ஆககவ இயககÚà உளN தபோ ±å ர ைரய Nக¤வà உÛ�Úå ப ங¤ க அகேோ¤Ý. உÛ�Úå அை¤ kg m s ஆ¤Ý.-1

எ©Ú« க கோ Ø© 2.2410 g ேற²Ý 1 kg ர ற தகோÙ் இரÙ© தபோ±Øகள10 m s எåற ஒகர கவகÚà த@àxåறை . அவர¶ றå உÛ�ஙகå எÙேபரபக கோÙக.-1 p = mv10 g எåக ரறp °=ர் 0.01 ய தபோ 10 ±å உ= 0.1 kg m sÛ�Ý 1 kg ரறp = ° 1 ர் ய 10 தபோ= 10 kg m s±å உÛ�Ý -1இரÙ©Ý ஒகர கவகÚà த@åறோ³Ý -1கைேோை தபோ ±å உÛ�Ý, கை@ோை தபோ ±å உÛ�Úர� ் 100 ே்ங¤ அகÝ எåபர�இÛ� எ©Ú«ககோØ}±Û« அயைோÝ.

்சரோ்சரித் திர்சகவகம் ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும். ஆைோல் ஒரு பரிேோணத்தில், நேககு இரண்டு திர்சகள ேட்டுகே ்சோத்தியம் (கநரககுறி ேறறும் எதிரககுறி x திர்ச) எைகவ திர்சயிரைக குறிகக கநரககுறி ேறறும் எதிரககுறி இரண்டிரையும் பயன்படுத்�ைோம்.

உ்ைடித் திர்சகவகம் அல்ைது திர்சகவகத்திரைப பின்வருேோறு வரரயறுககைோம்.

v x t

dx dtt

= = →

lim ∆

∆ ∆0

வரரப்முரறயில், துகளின் இ்பதபயரச்சி- கநரம் வரரப்த்தின் ்சோயவு, துகளின் திர்சகவகத்திரைக தகோடுககும். அக� கநரத்தில் துகளின் திர்சகவகம்-கநரம் வரரப்த்தின் வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபு இ்பதபயரச்சி ேறறும் க்ந்� த�ோரைவிரைக தகோடுககும். அ�ரைப பின்வருேோறு வி்ளககைோம்.

நோேறிந்�படி, திர்சகவகம் = dx dt

எைகவ, dx vdt= எை எழு�ைோம். இரண்டு பககமும் த�ோரகபபடுத்�

dx v dt 1

∫ ∫= எைககிர்ககும்.

முறபகுதியில் கூறபபட்்படி த�ோரகயி்ல் என்பது வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபிரைக

கோண்ப�றகுச் ்சேம். எைகவ, t

v dt 1

∫ என்ற ப�ம்

திர்சகவகம், கோைத்தின் ்சோரபோக உள்ளகபோது ஏறபடும் வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபிரைக குறிககிறது.

இ்துரகப பககமுள்ள த�ோரகயி்ல் t1 கநரத்திலிருந்து t2 கநரத்தில் துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சிரயக குறிககிறது. திர்சகவகம்-

்படம் 2.35 திர்சகவகம் – கநரம் வரரப்த்தில்

கநரம் வர்ள ககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபு துகளின் இ்பதபயரச்சிரயக குறிககிறது. பரபபு எதிரககுறியோக இருபபின், இ்பதபயரச்சி எதிரககுறி ஆகும். எைகவ, துகள எதிரத்திர்சயில் த்சல்கிறது. இது ப்ம் 2.35 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

எடுத்துககோட்டு 2.25 துகள ஒன்று x-அச்சுத் திர்சயில் நகரகிறது என்க. அவவோறு அது நகரும் கபோது அ�ன் x- ஆய அச்சு கநரத்ர�ப தபோருத்து x = 2 - 5t + 6t2 என்ற ்சேன்போட்டின்படி ேோறுகிறது எனில் துகளின் ஆரம்பத் திர்சகவகம் என்ை?

தீரவு x t t= − +2 5 6 2

திர்சகவகம், v dx dt

d dt

t t= = − +( )2 5 6 2

(அல்ைது) v t= − +5 12 ஆரம்பத் திர்சகவகத்திறகு t = 0 என்க எைகவ, ஆரம்பத் திர்சகவகம் = -5 m s-1

ஆரம்பத் திர்சகவகத்தில் உள்ள எதிரககுறி என்பது, தபோரு்ளோைது ஆரம்பத்தில் எதிர x –அச்சு திர்சயில் திர்சகவகத்ர�க தகோண்டிருந்�து என்று குறிககிறது.

துகள க்ந்� தேோத்� போர�யின் நீ்ளத்திறகும், எடுத்துக தகோண்் கநரத்திறகும் உள்ள �கவு ்சரோ்சரி கவகம் எைபபடும்.

்சரோ்சரி கவகம் = போர�யின் தேோத்� நீ்ளம் எடுத்துக தகோண்்கநரம்

இ்பதபயரச்சி

xx«கள ஒå² -அÖ¦Ú ர@ à நகரxற« எåக. x = 2 - 5t + 6tஅவவோ² அ« நக±Ý கபோ« அ�å - ஆய அÖ¦ கநரÚர�ப தபோ±Ú« எåற@ேåபோØ}åப} ேோ²xற« எà «கå ஆரÝபÚ ர@கவ கÝ எåை? 2ர¶xt=−25 + 6tdx d, v == ()25−+ ttdt dt 2கÝvt=− 51+ 2(அàை«) t =ர@கவ கÚற¤ = -எ5 m såகÝபÚ ர@கவ கÝ Ú ர@கவ கÚà உளN ±Nோை« ஆரÝபÚà எர@கவ கÚர� க தகோÙ}±கxற«.்Û� தேோÚ� போர� å NÙ் கநரÚற¤Ý உளN கÝ எைபப©Ý.=போர� å தேோÚ� கÝ எ©Ú«க தகோÙ்கந
ர@கவஆரÝபÚ எைகவ, ஆர
62-1
ஆரÝபஎåப«, தபோர@ à எå² ¤«கள கஎ©Ú«க தகோ@ரோ@ கவ
xஎரக¤ ர –அÖ¦ Û�« Úற¤Ý, �க¶
@ரோ@ கவ
NÝரÝ

|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|

ஒரு ்பரிமோண மறறும் இரு்பரிமோண இயககத்தில் சோரபுத் திகசநவகம்

A ேறறும் B என்ற இரண்டு தபோருட்கள தவவகவறு திர்ச கவகஙகளில் த்சல்கின்றை என்க, B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் திர்சகவகம் என்பது, B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகம் எைபபடும் .

ந�ரவு -1 A, B என்ற இரண்டு தபோருளகள ப்த்தில் உள்ளவோறு VA ேறறும் VB, என்ற சீரோை திர்சகவகஙகளில் கநரகககோட்டுபபோர�யில் �ரரரயப தபோருத்து ஒகர திர்சயில் த்சல்கின்றை.

VA VB,

B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் ்சோரபுத்திர்சகவகம் VAB VA VB

A தபோருர்ளப தபோருத்து B தபோருளின் ்சோரபுத்திர்சகவகம் VBA VB VA

எைகவ, இரண்டு தபோருட்கள ஒகர திர்சயில் இயஙகும் கபோது, ஒரு தபோருர்ளப தபோருத்து ேறதறோன்றின் ்சோரபுத்திர்ச கவகத்தின் எண்ேதிபபு, இவவிரண்டு தபோருளகளின் திர்சகவகஙகளின் எண் ேதிபபுகளின் கவறுபோட்டிறகுச் ்சேேோகும்.

எடுத்துககோட்டு 2.26 A ேறறும் B என்ற இரண்டு கோரகள இரணயோை போர�யில் ஒகர திர்சயில் �ரரரயப தபோருத்து சீரோை திர்சகவகத்தில் த்சல்கின்றை. A ேறறும் B கோரகளின் திர்சகவகஙகள முரறகய 35 km h-1 ேறறும் 40 km h-1 கிழககோக த்சல்கின்றை. A கோரிரைப தபோருத்து B கோரின் ்சோரபுத் திர்சகவகம் என்ை?

தீரவு A கோரிரைப தபோருத்து B கோரின் ்சோரபுத் திர்சகவகம் _vBA_ =  _v vB A_- = 5 km h-1 கிழககு திர்சயில்

இக� கபோன்று B கோரிரைப தபோருத்து A கோரின் ்சோரபுத் திர்சகவகம் _vAB_ =  _v vA B_- = 5 km h-1 கேறகுத்திர்சயில்

A கோரில் உள்ள பயணிககு B கோரோைது கிழககு கநோககி 5 km h-1 என்ற திர்சகவகத்தில் த்சல்வது கபோன்று க�ோன்றும். B கோரில் உள்ள பயணிககு A கோரோைது கேறகு கநோககி 5 km h-1 என்ற திர்சகவகத்தில் த்சல்வது கபோன்று க�ோன்றும்.

ந�ரவு -2 A, B என்ற இரண்டு தபோருட்கள VA ேறறும் VB

என்ற சீரோை திர்சகவகஙகளில் ஒன்றுகதகோன்று எதிர திர்சயில் கநரோை போர�யில் த்சல்கின்றை.

 → ←  VB

B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகம்

V V V V VAB A B A B= − − = +( )

A தபோருர்ளப தபோருத்து B தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகம்

எைகவ, இரண்டு தபோருட்கள ஒன்றுகதகோன்று எதிர திர்சயில் இயஙகும் கபோது, ஒரு தபோருர்ளப தபோருத்து ேறதறோரு தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகேோைது, இரண்டு தபோருட்களின் திர்சகவகஙகளின் எண் ேதிபபுகளின் கூடு�லுககுச் ்சேேோகும்.

ந�ரவு -3 v A ேறறும் vB திர்சகவகத்தில் இரண்டு தபோருட்கள θ ககோணத்தில் இயஙகும் கபோது, B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகம்

  _v v vAB A B_= −

்சோரபுத் திர்சகவகத்தின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச கீழ்கண்்வோறு வழஙகபபடுகிறது.

vAB = v v v vA B A B 2 2 2+ − cosθ ேறறும்

tan β = v v v

A B

sin cos θ

θ−

(இஙகு β என்பது vAB ேறறும் vB ககு இர்பபட்் ககோணேோகும்.) (அ) இரு தபோருட்களும், கநரோை இரண போர�யில்

ஒகர திர்சயில் இயஙகும் கபோது θ = 0° எைகவ, vAB= (vA - vB)

கேலும் vAB இன் திர்ச v A இன் திர்சயில் இருககும். இக� கபோன்று,

vBA = (vB - vA) கேலும் vBA இன் திர்ச vB இன் திர்சயில் இருககும்.

(ஆ) இரு தபோருட்களும் கநரோை இரணப போர�யில் ஒன்றுக தகோன்று எதிரதிர்சயில் இயஙகும் கபோது θ = 180°. எைகவ,

vAB = (vA + vB) கேலும் இ�ன் திர்ச v A இன் திர்சயில் இருககும். இக�கபோன்று

vBA = (vB + vA) கேலும் இ�ன் திர்ச vB இன் திர்சயில் இருககும்.

(இ) இரு தபோருட்களும் ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோக த்சல்லும் கபோது θ = 90°

B தபோருர்ளப தபோருத்து A தபோருளின் ்சோரபுத் திர்சகவகத்தின் எண்ேதிபபு

vAB = v vA B 2 2+ .

்படம் 2.36 ேரழரயப தபோ

−v

θ vM

(ஈ) குர் பிடித்�படி கிர்த்�்ளப போர�யில் ந்ந்து த்சல்லும் ேனி�ரின் திர்சகவகம் V M

என்க.

அவரின் மீது த்சஙகுத்�ோக V R

திர்சகவகத்தில்

ேரழ தபோழிகிறது எனில், ேனி�ரரப தபோருத்து, ேரழயின் ்சோரபுத் திர்சகவகம் (ப்ம் 2.36)

V V VRM R M

= −

கேலும், V V VRM R M

= − இன் எண்ேதிபபு

V V VRM R M= +2 2

ேறறும் த்சஙகுத்து அச்ர்சப தபோறுத்து

திர்ச θ = 

 



 

−tan 1 V V

இது ப்ம் (2.36) இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

ேரழயிலிருந்து �ன்ரைப போதுகோத்துக தகோள்ள ேனி�ர த்சஙகுத்து அச்ர்சப தபோறுத்து θ ககோணத்தில் குர்யிரை ்சோயத்துப பிடிகக கவண்டும்.

எடுத்துககோட்டு 2.27 A ேறறும் B என்ற இரண்டு ரயில் வண்டிகள இரணயோை இரயில் போர�யில் ஒன்றுக தகோன்று எதிர திர்சயில் த்சல்கின்றை. இரயில் வண்டி A இன் திர்சகவகம் கிழககு கநோககி 40 km h-1 ேறறும் இரயில் வண்டி B இன் திர்சகவகம் கேறகு கநோககி 40 km h-1 . இரயில் வண்டிகளின் ்சோரபுத் திர்சகவகஙகர்ளக கோண்க.

தீரவு இரயில் வண்டி B ஐப தபோருத்து, இரயில்வண்டி A இன் ்சோரபுத் திர்சகவகம்,

ருத்து குர்யின் ககோணம்

vR vM

VAB = 80 km h-1 கிழககு கநோககி, அ�ோவது இரயில் வண்டி B இல் உள்ள பயணிககு, இரயில்வண்டி A கிழககு கநோககி 80 km h-1 திர்சகவகத்தில் த்சல்வது கபோன்று க�ோன்றும்.

இரயில் வண்டி A ஐப தபோருத்து, இரயில்வண்டி B இன் ்சோரபுத் திர்சகவகம்,

VBA = 80 km h-1 கேறகு கநோககி, அ�ோவது இரயில் வண்டி A இல் உள்ள பயணிககு, இரயில்வண்டி B கேறகு கநோககி 80 km h-1திர்சகவகத்தில் த்சல்வது கபோன்று க�ோன்றும்.

எடுத்துககோட்டு 2.28 A ேறறும் B என்ற இரண்டு இரயில் வண்டிகள இரணயோை இரயில் போர�யில் ஒகர திர்சயில் கிழககு கநோககி 50 km h-1 என்ற திர்சகவகத்தில் த்சல்கின்றை. இரயில் வண்டிகளின் ்சோரபுத் திர்சகவகஙகர்ளக கோண்க.

தீரவு இரயில் வண்டி A ரவப தபோருத்து இரயில் வண்டி B இன் ்சோரபுத் திர்சகவகம்,

_v_BA = vB - _v_A

= 50 km h-1 + (-50) km h-1

= 0 km h-1

இவவோகற, இரயில் வண்டி B ஐபதபோருத்து, இரயில் வண்டி A இன் ்சோரபுத் திர்சகவகம் vAB

சுழியோகும். எைகவ இந்� இரு இரயில் வண்டியும் ஒன்று

ேறதறோன்ரறப தபோருத்து ஓயவு நிரையில் இருபபது கபோன்று க�ோன்றும்.

எடுத்துககோட்டு 2.29 36 km h-1 கவகத்தில் த்சல்லும் இரயில் வண்டியின் ஜன்ைல் ஓரம் அேரந்திருககும் சிறுவன், எதிர திர்சயில் 18 km h-1 கவகத்தில் த்சல்லும் 90 m நீ்ளமுள்ள இரயிரை எவவ்ளவு கநரத்திறகுப போரகக முடியும்.

தீரவு: சிறுவரைப தபோருத்து எதிரதிர்சயில் த்சல்லும் இரயில் வண்டியின் ்சோரபுத் திர்சகவகம்

= (36 + 18) km h-1 = 54 km h-1

= 54 × 5 18

m s-1 = 15 m s-1

சிறுவன் எதிர திர்சயில் த்சல்லும் இரயில் வண்டிரய முழுவதும் போரபப�றகோை கநரத்திரைக கணககி் கவண்டும்.

15 = (அல்ைது)

எடுத்துககோட்டு 2.30 ஆறறு நீகரோட்்த்தின் திர்சயில் நீந்தும் நீச்்சல் வீரரின் திர்சகவகம் 12 km h-1. ஆறறு நீகரோட்்த்தின் திர்சககு எதிரதிர்சயில் அவரின் நீச்்சல் திர்சகவகம் 6 km h-1 எனில், அரேதி நிரையில் இருககும் நீரிரைப தபோருத்து நீச்்சல் வீரரின் கவகத்ர�யும் ேறறும் ஆறறு நீகரோட்்த்தின் திர்சகவகத்ர�யும் கோண்க.

தீரவு �ரரரயப தபோருத்து நீச்்சல் வீரர ேறறும் ஆறறு நீகரோட்்த்தின் திர்ச கவகஙகள முரறகய vs

ேறறும் vr என்க

_v_s + _v_r = 12 (1)

ேறறும் vs - vr = 6 (2)

இரண்டு ்சேன்போடுகர்ளயும் கூட்டும் கபோது, 2vs = 12 + 6 = 18 km h-1 (அல்ைது) vs = 9 km h-1

்சேன்போடு (1) இல் இருந்து 9 + vr = 12 (அல்ைது) vr = 3 km h-1

நீச்்சல் வீரர ஆறறு நீகரோட்்ம் போயந்து தகோண்டிருககும் அக� திர்சயில் நீந்தும் கபோது அவரின் த�ோகுபயன் திர்சகவகம் 12 km h-1.

முடுககிவிடப்பட்ட இயககம்: சீரறற இயககத்தில் உள்ள தபோருளின் திர்சகவகம் ஒவதவோரு கநரத்திலும் ேோறறேர்ந்து தகோண்க் இருககும். அ�ோவது திர்சகவகம் கநரத்ர�ப தபோருத்து ேோறறேர்ந்து தகோண்க் இருககும்.

= (36 + 18) km h = 54 km h5= 54 × m s = 15 m s18-1 -1z²வå எர ர@ à த@à³Ý இரà -1 -1வÙ}ரய ¯µவ«Ý போரபப�றகோைகநரÚர ைக கணகx் கவÙ©Ý.
15 =

| (அàை«) |

கோ Ø© 2.28åற இரÙ© இரà வÙ}கள50 km hஇரà போர� à ஒகர ர@ à ோகx எåற ர@கவ கÚà . இரà வÙ}கå @ோர®Ú கரNக கோÙக-1 .A ரவப தபோ±Ú« இரà வÙ} -®Ú v ர@கவ கÝ,m h + (-50) km hm hA-1 -1v, இரà வÙ} B ஐபதபோ±Ú«, -1A இå @ோர®Ú ர@கவ கÝ இÛ� இ± இரà வÙ}°Ý ஒå² AB தபோ±Ú« ஓய¶ ர ைà ோå² க�ோå²Ý.
எ©Ú« கA B எேற²Ý இரண யோைxழக¤ கநத@àxåறைரர@கவ¶ கங
இரà வÙ}B இå v = @ோரv= 50 k= 0 kBA B

கோ Ø© 2.28åற இரÙ© இரà வÙ}கள50 km hஇரà போர� à ஒகர ர@ à ோகx எåற ர@கவ கÚà . இரà வÙ}கå @ோர®Ú கரNக கோÙக-1 .A ரவப தபோ±Ú« இரà வÙ} -®Ú v ர@கவ கÝ,m h + (-50) km hm hA-1 -1v, இரà வÙ} B ஐபதபோ±Ú«, -1A இå @ோர®Ú ர@கவ கÝ இÛ� இ± இரà வÙ}°Ý ஒå² AB தபோ±Ú« ஓய¶ ர ைà ோå² க�ோå²Ý.

எ©Ú« கA B எேற²Ý இரண யோைxழக¤ கநத@àxåறைரர@கவ¶ கங

இரà வÙ}B இå v = @ோரv= 50 k= 0 kBA B

| இவவோகறஇரà வÙ}¦யோ¤Ý.எைகவேறதறோåரறபஇ±பப« கப |

எ©Ú« க கோ Ø© 2.3012 km hஆற² கரோØ்Úå ர@ à Û«Ý Ö@à ரå ர@கவ கÝ . ஆற² 6 km hகரோØ்Úå ர@க ¤ எரர@ à அவå -1Ö@à ர@கவ கÝ எà, அரே ர ைà இ±க¤Ý ர ைப தபோ±Ú« Ö@à ரå கவகÚர� °Ý -1 ேற²Ý ஆற² கரோØ்Úå ர@கவ கÚர� °Ý கோÙக.ர¶v�ர ரரயப தபோ±Ú« Ö@à ரர ேற²Ý ஆற² vகரோØ்Úå ர@ கவகஙகள ¯ரறகயேற²Ý எåகv + v = 12 (1)sr v - v = 6 (2)ேற²Ýs rஇரÙ© 2v @ேåபோ= 12 + ©க6 = ரN18 k°Ý ·Ø©Ý m h கபோ«,s rv = 9 km h (அàை«)-1@ேåபோ9 + vs© (1) இà இ±Û« = 12 v = 3 km h-1s (அàை«)Ö@à ரர ஆற² கரோØ்Ý போயÛ« 12 km h -1தகோÙ}±r க¤Ý அக� ர@ à rÛ«Ý கபோ« அவå த�ோ¤பயå ர@கவ கÝ .-1

இவவரகயோை இயககத்திறகு முடுககிவி்பபட்் இயககம் என்று தபயர. i) முடுககிவி்பபட்் இயககத்தில், ஓரைகு

கநரத்தில் ேோறறேர்ந்� தபோருளின் திர்சகவகம் ்சேேோக (ேோறிலியோக) இருபபின், அபதபோருள சீரோக முடுககிவி்பபட்் இயககத்தில் உள்ளது எைககரு�ைோம்.

ii) ஓரைகு கநரத்தில் ேோறறேர்ந்� தபோருளின் திர்சகவகம் தவவகவறு கநரத்தில் தவவகவறோக இருபபின் அபதபோருள சீரறற முடுககிவி்பபட்் இயககத்தில் உள்ளது எைககரு�ைோம்.

சரோசரி முடுககம்: ∆_t =_ (t2– t1) கோை இர்தவளியில், திர்சகவகம்  _v v_1 2 to லிருந்து  _v v_1 2 to ககு ேோறறேர்ந்� தபோருளின் ்சரோ்சரி முடுககத்ர�, திர்சகவக ேோறுபோடு ேறறும் எடுத்துகதகோண்் கோை இர்தவளி ∆t = (t2– t1) இவறறின் �கவு எை வரரயரற த்சயயைோம்.

எைகவ,    

a v v t t

v tavg =

− −

=2 1

2 1

∆ ∆

்சரோ்சரி முடுககம் ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும் அ�ன் திர்ச v

இன் திர்சயில் இருககும்.

உடனடி முடுககம்: தபோதுவோக ்சரோ்சரி முடுககம், முழு கோை இர்தவளியில் தபோருளின் திர்சகவகத்தில் ஏறபடும் ேோறுபோட்ர்க தகோடுககும். ஆைோல் இது ஒரு குறிபபிட்் கணகநரத்தில் (t) திர்சகவகத்தில் ஏறபட்் ேோறறத்ர�க தகோடுககோது.

Δt சுழிரய தநருஙகும்கபோது, கநரத்ர�ப தபோருத்து திர்சகவகத்தில் ஏறபட்் ேோறுபோடு உ்ைடி முடுககம் அல்ைது முடுககம் எை அரழககபபடுகிறது.

முடுககம் a = lim ∆

∆ ∆_t_

_v t_→0



= dv dt



கவறுவரகயில் கூறின், t கநரத்தில் தபோருளின் முடுககேோைது அந்கநரத்தில் ஏறபட்் திர்சகவக ேோறுபோட்டிறகுச் ்சேேோகும். (i) முடுககம் ஒரு தவக்ர அ்ளவு ஆகும். இ�ன் SI

அைகு ms-2 பரிேோண வோயபபோடு M0L1T-2

ii) திர்சகவகம் அதிகரிககும் கபோது ஏறபடும் முடுககத்ர� கநரககுறி முடுககம் எைவும் திர்சகவகம் குரறயும் கபோது ஏறபடும் முடுககத்ர� எதிரககுறி முடுககம் எைவும் அரழககிகறோம். இ�ரை எதிரமுடுககம் என்றும் அரழககைோம். கூறுமுரறயில் முடுககத்திரை கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம். இதிலிருந்து,

_yx z dvdv dva i j k_

dt dt dt = dv



எைகவ,

a dv dtx

x= , a dv dty

y= , a dv dtz

z= எை அறியைோம்,

இரவகள உ்ைடி முடுககத்தின் கூறுகள ஆகும். திர்சகவகத்தின் அரைத்து கூறுகளும்,

அ�றகுத் த�ோ்ரபுர்ய ஆய அச்சுக கூறுகளின் வரககதகழுகக்ளோகும். இக� கபோன்று முடுகக தவக்ர ax, ay, ேறறும் az, ஆகியவறரற கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம்.

a d x dtx =

2 , a d y dty =

2 , a d z dtz =

எைகவ, முடுகக தவக்ர a ஐ கீழ்ககண்்வோறும் எழு�ைோம்.

a d x dt

i d y dt

j d z dt

k = + +

2 = d r dt



கேறகண்் த�ோ்ரபிலிருந்து முடுககம், நிரைதவக்ரின் கநரத்ர�ப தபோருத்� இரண்்ோம் வரககதகழு என்று அறியைோம்.

வரரப் முரறயில் முடுககம் என்பது திர்சகவகம் – கநரம் வரரப்த்தின் ்சோயவு ஆகும்.

கேலும், வரரப் முரறயில் முடுககம் – கநரம் வரரப்ம் தகோடுககபபட்டிருபபின் வர்ளககோட்டிறகு கீகழ உள்ள பரபபு திர்சகவகத்ர�க தகோடுககும்.

dv dt

a= இதிலிருந்து dv adt= எை எழு�ைோம்,

எைகவ v adt t

= ∫ 1

இஙகு t1 ேறறும் t2 த�ோ்கக ேறறும் இறுதி கநரத்ர�க குறிககிறது.

எடுத்துககோட்டு 2.31 x- அச்சுத் திர்சயில் இயஙகும் துகத்ளோன்றின் திர்சகவகம் – கநரம் வரரப்ம் தகோடுககபபட்டுள்ளது. அதிலிருந்து கீழ்ககண்்வறரறக கோண்க.

அ) 0 மு�ல் 55 விைோடி கோை இர்தவளியில் துகளின் இயககத்திரை வி்ளககவும்.

ஆ) 0 மு�ல் 40 விைோடி கோை இர்தவளியில் துகள க்ந்� த�ோரைவு ேறறும் துகளின் இ்பதபயரச்சிரயக கணககி்வும்.

இ) t = 5 விைோடி ேறறும் t = 20 விைோடியில் துகளின் முடுககத்திரைக கணககி்வும்.

தீரவு: அ) O மு்தல் A வகர: (0 வினோடி மு்தல் 10 வினோடி

வகர) t = 0 விைோடியில் துகளின் திர்சகவகம் சுழி அ�ன் பின்பு துகள கநரககுறி திர்ச கவகத்ர�ப தபறும். எைகவ துகள கநரககுறி x திர்சயில் இயஙகும். 0 விைோடியிலிருந்து 10 விைோடி வரர

வர்ளககோட்டின் ்சோயவு (dv dt

) கநரககுறி ஆகும்.

இது துகளின் கநரககுறி முடுககத்திரைக கோட்டுகிறது. கேலும் 0 விைோடியிலிருந்து 10 விைோடி வரர துகளின் திர்சகவகம் அதிகரிபபர�க கோணைோம். A மு்தல் B வகர: (10 வினோடியிலிருநது 15 வினோடி வகர) 10 விைோடி மு�ல் 15 விைோடி வரர 60 m s–1 என்ற ேோறோ� திர்ச கவகத்தில் துகள உள்ளது. இது துகளின் சுழி முடுககத்திரைக கோட்டுகிறது. கேலும் துகள த�ோ்ரந்து கநரககுறி திர்சயில் இயஙகுவர� இது கோட்டுகிறது.

B மு்தல் C வகர: (15 வினோடியிலிருநது 30 வினோடி வகர) 15 விைோடியிலிருந்து 30 விைோடி வரர வர்ளககோட்டின் ்சோயவு எதிரககுறி ஆகும். இது 15 விைோடியிலிருந்து 30 விைோடிவரர துகளின் திர்சகவகம் குரறவர�க கோட்டுகிறது. இருபபினும் துகள கநரககுறி x அச்சு திர்சயிகைகய த�ோ்ரந்து இயஙகுகின்றது. 30 விைோடியில் துகளின் திர்சகவகம் சுழியோகிறது. துகள கநரககுறி x திர்சயில் தபருே தூரத்ர�க க்ந்து பின்பு கண கநர ஓயவிரை அர்கிறது. C யிலிருநது D வகர: (30 வினோடியிலிருநது 40 வினோடிவகர) 30 விைோடியிலிருந்து 40 விைோடி வரர துகள எதிரககுறி திர்சகவகத்திரை அர்யும். இது துகள எதிரககுறி x அச்சு திர்சயில் இயஙகத் த�ோ்ஙகுவர�க கோட்டுகிறது. திர்ச கவகத்தின் எண்ேதிபபு 40 m s-1 என்ற தபருே ேதிபபிரை அர்கிறது. D யிலிருநது E வகர (40 வினோடியிலிருநது 55 வினோடி வகர): 40 விைோடியிலிருந்து 55 விைோடிவரர திர்சகவகம் எதிரககுறியில்�ோன் இருககிறது. அது ேட்டுமின்றி குரறயத் த�ோ்ஙகுகிறது. t = 55 விைோடியில் துகளின் திர்சகவகம் சுழியிரை அர்ந்து துகள ஓயவுநிரைககு வரும்.

ஆ) 0 மு�ல் 40 விைோடி வரர தகோடுககபபட்் வர்ளககோட்டின் கீகழ உள்ள பரபபு துகளின் இ்பதபயரச்சிரயக தகோடுககும். இஙகு O மு�ல் C வரர உள்ள பரபபு துகள கநரககுறி x திர்சயில் அர்ந்� இ்பதபயரச்சிரயயும், C மு�ல் D உள்ள பரபபு துகள எதிரககுறி x திர்சயில் அர்ந்� இ்பதபயரச்சிரயயும் தகோடுககும்.

0 விைோடி மு�ல் 10 விைோடி வரர துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி

= 1 2

10 60 300 m

10 விைோடி மு�ல் 15 விைோடி வரர துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி

= 60 × 5 = 300 m

|——|——|

15 விைோடி மு�ல் 30 விைோடி வரர துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி

= 1 2

15 60 450× × = m

30 விைோடி மு�ல் 40 விைோடி வரர துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி

= 1 2

10 40 200× × −( ) = − m. இஙகு எதிரககுறியோைது, துகள எதிரககுறி

x அச்சு திர்சயில் 200 m த்சன்றர�க கோட்டுகிறது. 0 விைோடி மு�ல் 40 விைோடி வரர துகள

அர்ந்� தேோத்� இ்பதபயரச்சி

300 m + 300 m + 450 m - 200 m = +850 m.

இஙகு கநரககுறியோைது துகளின் த�ோகுபயன் இ்பதபயரச்சி கநரககுறி அச்சின் திர்சயில் உள்ளது என்பர�க கோட்டுகிறது.

0 விைோடியிலிருந்து 40 விைோடி வரர துகள க்ந்� தேோத்� தூரம் (போர�யின் நீ்ளம்)

= 300 + 300 + 450 + 200 = 1250 m.

(இ) திர்சகவகம் – கநரம் வரரப்த்தின் ்சோயவு துகளின் முடுககத்ர�க தகோடுககும். மு�ல் 10 விைோடிகளுககு திர்ச கவகம் ேோறோ� ்சோயவிரைக தகோண்டுள்ளது (ேோறோ� முடுககம்)

எைகவ, முடுககம் = v v t t

2 1

- -

இஙகு

v2 = 60 m s-1 ேறறும் v1 = 0

a = 60 0 10 0

6 2_m s_

கேலும் துகள 15 விைோடியிலிருந்து 30 விைோடிவரர ேோறோ� எதிரககுறி ்சோயவிரைக தகோண்டுள்ளது. இந்நிகழ்வில் v2 0= ேறறும் _v m s_1

160 . எைகவ t = 20 விைோடியில்

முடுககேோைது a = 0 60 30 15

4 2_m s . எதிரககுறி_

்சோயவோைது துகளின் எதிர முடுககத்ர�க கோட்டுகிறது.

எடுத்துககோட்டு 2.32 துகளின் நிரை தவக்ர 23 5 ˆˆ ,ˆ 4_r t i tj k_

இதிலிருந்து கீழ்ககண்்வறரறக கோண்க அ) t = 3 விைோடியில் துகளின் திர்ச கவகம் ஆ) t = 3 விைோடியில் துகளின் கவகம் இ) t = 3 விைோடியில் துகளின் முடுககம்

தீரவு: (அ) திர்சகவகம் ˆˆˆdr dx dy dzv i j k

dt dt dt dt

இஙகு, ˆˆ6 5_v t ti j_

திர்சகவகம் இரண்டு கூறுகர்ள ேட்டுகே தபறறுள்ளது. அ�ோவது v tx = 6 (கநரத்ர�ச் ்சோரந்துள்ளது) ேறறும் vy = 5 (கநரத்ர�ச் ்சோரோ�து).

t = 3 விைோடியில் திர்சகவகம்

ˆˆ3 18 5_v i j_

(ஆ) t = 3 விைோடியில் துகளின்கவகம்

v m s= + = ≈ −18 5 349 18 682 2 1.

(இ) முடுககம் = 2

2 ˆ6_d ra i_

முடுககம் x- கூறிரை ேட்டுகே தபறறுள்ளது. கேலும் இது கநரத்ர�ச் ்சோரோ�து. t = 3 விைோடியிலும் முடுககம் ேோறோ� ேதிபபோை

6ˆ_a i_ ஐ தபறறிருககும் என்பர� கவனிகக கவண்டும். கேலும் இந்நிகழ்வில் துகள சீரறற திர்ச கவகத்ர�யும் சீரோை முடுககத்ர�யும் தபறறுள்ளது.

எடுத்துககோட்டு 2.33 தபோருத்ளோன்ரற த்சஙகுத்�ோக கீழ் கநோககி எறியும்கபோது அது எவவரகயோை முடுககத்திரைப தபறும்?

தீரவு: நோம் அறிந்�படி, �ர்யின்றித் �ோகை புவிரய கநோககி விழும் தபோருள புவியீரபபு விர்சயிைோல் ஒரு முடுககத்ர�பதபறும் அது புவியீரபபு முடுககேோகும். g = 9.8 m s-2 ப்த்தில் உள்ளபடி நோம் �குந்� ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிரை க�ரவு த்சயய கவண்டும்.

.15 ைோ } ¯�à 30 ைோ } வரர«களஅர்Û� இ்ப1தபயரÖz= ××15 60 = 4502()30 ைோ } ¯�à 40 ைோ } வரர«களஅர்Û�= இ1 ××்10பதபயர −Öz40 =− 200 m2இங¤ எரக¤யோை «, «கள எரக¤ x அÖ¦ ர@à 200 m த@åறர�க கோØ©xற«.0 ைோ } ¯�à 40 ைோ } வரர«களஅர்Û�300 m தேோÚ�+ 300 m இ் + பதப450 m யரÖz - 200 m = +850 m.இங¤ கநரக¤யோை « «கå த�ோ¤பயå இ்பதபயரÖz கநரக¤ அÖzå ர@à உளN« எåபர�க கோØ©xற«.0 ைோ }±Û« 40 ைோ } வரர«க=ள 300 க்Û�+ 300 தேோÚ�+ 450 ¾ரÝ (ப+ 200 ோர�= 1250 m.å NÝ)(இ) ர@கவ கÝ – கந ரÝ வரரப்Úå @ோய¶ «கå ¯©ககÚர�க தகோ©க¤Ý. ¯�à 10 ைோ }க´க¤ ர@ கவ கÝ ேோறோ�@ோயரை க தகோÙ©ளN« (ேோறோ�¯©ககÝ) vv -=tt -எv ைகவ = 60, ¯©கm s கÝ v = 0 இங¤ 60ேற²Ý 0 21a = 6 m s 10 0 21-12 12க ே³Ý «கள 15 ைோ }±Û« 30ைோ }வரர ேோறோ� எரக¤ v =@ோய0 ரை கதகோvm Ù©ளN«. 60 s . இÛகâà = ேற²Ý06 0a =எைகவ t 4 20m s ைோ }à30 152¯©ககேோை « . எரக¤1@ோயவோை « «கå எர ¯©ககÚர�க2கோØ©xற«.

இதிலிருந்து முடுககேோைது எதிரககுறி y திர்சயில் த்சயல்படும் எை அறியைோம்.

ˆ ˆ_a g j gj_

சிை கநரஙகளில் கீழ்கநோககிய திர்சயிரை கநரககுறி y அச்சு என்றும் கருதுவதுண்டு.

�ர்யின்றி �ோகை த்சஙகுத்�ோக கீழ்கநோககி விழும் தபோருளின் முடுககம் ‘g’ ஐ, இந்நிகழ்வில் கநரககுறியோக கரு� கவண்டும். (a = g)

குறிபபு

நுணகணி்த முக்றயில் சீரோன முடுககமகடந்த க்போருளின் இயககச் சமன்்போடுகள்

கநரககோட்டில் இயஙகும் தபோருள ஒன்றிரைக கருதுக. அ�ன் சீரோை முடுககம் ‘a’ என்க. இஙகு சீரோை முடுககம் என்பது முடுககம் ஒரு ேோறிலி; அது கநரத்ர�ச் ்சோரோ�து என்று தபோருள.

கநரம் t = 0 விைோடியில் தபோருளின் திர்சகவகம் u என்க; கநரம் t விைோடியில் தபோருளின் திர்சகவகம் v என்க. திகசநவகம் – ந�ரம் க்தோடரபு (i) எந்� ஒரு கநரத்திலும் தபோருளின் முடுககம்

என்பது கநரத்ர�ப தபோருத்து, திர்சகவகத்தின் மு�ல் வரககதகழுவோகும்.

a dv dt

= or dv = a.dt(அல்ைது) a dv dt

= or dv = a.dt

இயகக நிபந்�ரையின்படி (அ�ோவது கநரம் 0 விலிருந்து t வரர ேோறும்கபோது, திர்சகவகம் u விலிருந்து v ககு ேோறும்) இரண்டுபககமும் த�ோரகபபடுத்துக.

dv = a dt = a dt

t t

∫ ∫∫ ⇒ [ ] = [ ]

− = = +

v a t

v u at or v u at u

( ) → ( . )2 7

இஙகு a கநரத்ர� ்சோரந்து இருபபின் இ�ரை த � ோ ர க யீ ட் டி லி ரு ந் து

தவளிகய எடுகக முடியோது.

குறிபபு

இடபக்பயரச்சி – ந�ரம் க்தோடரபு (ii) தபோருளின் திர்சகவகம் என்பது, கநரத்ர�ப

தபோருத்து தபோருளின் இ்பதபயரச்சியின் மு�ல் வரகக தகழுவோகும்.

v ds dt

or ds vdt= = (அல்ைது) v ds dt

or ds vdt= =

இஙகு v u at= + ,

எைகவ, ds u at dt= +( ) கநரம் t = 0 விைோடியில் தபோருள த�ோ்ககபபுளளியில் உள்ளது எைவும், ‘t’ கோை இர்தவளியில் தபோருளின் இ்பதபயரச்சி ‘s’ எைவும் கருதுக. கேலும் தபோருளின் முடுககம் கநரத்ர�ச் ்சோரந்��ல்ை எைக கருதுக.

0 0

21 2

s t

_ds udt at dt or s ut at_∫ ∫ ∫= + ( ) = + (அல்ைது) 0 0

21 2

s t

_ds udt at dt or s ut at_∫ ∫ ∫= + ( ) = + (2.8)

திகசநவகம் – இடபக்பயரச்சி க்தோடரபு (iii) தபோருளின் முடுககதேன்பது, கநரத்ர�ப

தபோருத்து திர்சகவகத்தின் மு�ல் வரககதகழுவோகும்.

a dv dt

dv ds

ds dt

dv ds

v= = =

[ds/dt = v] இஙகு s என்பது க்ந்� த�ோரைவு ஆகும்.

a d v

ds =

( )1 2

அல்ைது

ds a

d v= 1

2 2( )

கேகை உள்ள ்சேன்போட்ர் த�ோரகபபடுத்�, அ�ோவது திர்சகவகம் u விலிருந்து v ககு ேோறும்கபோது துகள 0 விலிருந்து s வரர இ்பதபயரச்சி அர்யும்.

myxஇ±Û« ¯©ககேோை« எரக¤ y ர@ à த@ய agàப ©Ý எை ˆˆjg அய jைோÝ.

21 2

ds a

_d v_∫ ∫= ( )

∴ = −( )s a

_v u_1 2

2 2

∴ = +_v u as_2 2 2 (2.9)

ஆரம்ப திர்சகவகம் ‘u’ ேறறும் இறுதித் திர்சகவகம் ‘v’ இவறரறப தபோருத்தும் துகளின் இ்பதபயரச்சிரய வருவிககைோம். ்சேன்போடு (2.7) லிருந்து

at v u= −

இ�ரைச் ்சேன்போடு (2.8) இல் பிரதியிடும்கபோது,

s ut v u t= + −( )1 2

s u v t

= +( ) 2

(2.10)

எைக கிர்ககும். ்சேன்போடுகள (2.7), (2.8), (2.9) ேறறும் (2.10) ஆகியரவ இயககச் ்சேன்போடுகள எைபபடும். இரவ நர்முரறயில் பல்கவறு இ்ஙகளில் நேககுப பயன்படுகின்றை.

இயக்கச் சமன்ாடு்கள்

v u at= +

s ut at= + 1 2

_v u as_2 2 2= +

s u v t

= +( ) 2

இயககச் ்சேன்போடுகள அரைத்தும், கநரகககோட்டில் இயஙகும் சீரோை முடுககம் தபறற தபோருட்களுககு ேட்டுகே தபோருந்தும் இரவ வட்்இயககம் ேறறும் அரைவியககத்தில் உள்ள தபோருட்களுககுப தபோருந்�ோது.

புவியீரபபினோல் இயஙகும் க்போருளின் இயககச் சமன்்போடுகள்: நர்முரறயில் புவிபபரபபிறகு ்சறகற கேகை இயஙகும் தபோருளின் இயககத்திரை சீரோை முடுககம்தபறற கநரகககோட்டில் இயஙகும் தபோருளின் இயககேோகக கரு�ைோம். நோம் அறிந்�படி புவிபபரபபிறகு அருகில் புவியீரபபு முடுககம் ‘g’ ஒரு ேோறிலி ஆகும். இந்� புவியீரபபு முடுககத்திைோல் கநரகககோட்டில் இயஙகும் தபோருளின் இயககத்திரை, இயககச் ்சேன்போடுகளின் துரணயு்ன் நன்கு புரிந்து தகோள்ள இயலும்.

நிகழ்வு (1): h உயரத்திலிருநது ்தோநன விழும் க்போருள்:

்படம் 2.37 �ர்யின்றி �ோகை விழும் தபோருள

‘m’ நிரறயுர்ய தபோருத்ளோன்று ‘h’ உயரத்திலிருந்து விழுகின்றது எைக கருதுக. இஙகு கோறறுத்�ர்ரயப புறககணிககவும். (neglect) ப்ம் 2.37 யில் கோட்டியுள்ளவோறு கீழ் கநோககிய திர்சரய கநரககுறி y அச்்சோகக கருதுக. தபோருள புவிபபரபபிறகு அருகக விழுவ�ோல் அது சீரோை புவியீரபபு முடுககத்ர�ப தபறும். நோம் இயககச் ்சேன்போடுகர்ளக தகோண்டு இவவியககத்திரை வி்ளககைோம்.

முடுககம் ˆ= _a gj_

கூறுகர்ள ஒபபிடும்கபோது

a a a gx z y= = =0 0, ,

எளிரேயோக a a gy = = எைக தகோளக.

‘u’ ஆரம்ப திர்சகவகத்து்ன் கநரககுறி y அச்சு திர்சயில் தபோருர்ள கீழ்கநோககி எறிவ�ோகக கருதுக.

t என்ற எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் இறுதித்திர்சகவகம்

v u gt= +-v u -gt= (2.11)

t என்ற எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் நிரை

y ut gt= + 1 2

2_ut gt_1 2

2−− −=y (2.12)

தபோருள ‘y’ புளளியில் உள்ளகபோது தபோருளின் இருேடி கவகம்

_v u gy_2 2 2= + (2.13)

(y என்பது ேரையின் உச்சியிலிருந்து உள்ள த�ோரைவு)

தபோருள ஓயவு நிரையிலிருந்து விழத்துவஙகிைோல் u = 0

எைகவ, எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் திர்சகவகம்

v gt= (2.14)

எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் நிரை

y gt= 1 2

2 (2.15)

தபோருள ‘y’ புளளியில் உள்ளகபோது அ�ன் இருேடி கவகம் _v gy_2 2= (2.16)

தபோருள �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோளளும் கநரம் (t=T) எனில்

(2.15) லிருந்து

h gT= 1 2

2 (2.17)

இஙகு y = h என்க.

T h g

= 2 (2.18)

்சேன்போடு (2.18) லிருந்து h இன் ேதிபபு அதிகரிககும்கபோது தபோருள �ரரரய அர்ய அதிககநரம் எடுத்துகதகோளளும் என்பர� அறியைோம். கேலும் h –இன் ேதிபபு குரறவு எனில் தபோருள �ரரரய அர்ய குரறந்� கநரேோகும் என்பர� அறியைோம்.

்சேன்போடு (2.16) லிருந்து, �ரரரய அர்யும் கபோது (y = h) தபோருளின் கவகத்திரைக கணககி்ைோம்.

v ghground = 2 (2.19)

்சேன்போடு (2.19) லிருந்து h இன் ேதிபபு அதிகரிககும்கபோது தபோருள மிக அதிக கவகத்து்ன் �ரரரய அர்யும் கேலும் h இன் ேதிபபு குரறயும் கபோது தபோருள குரறவோை கவகத்து்ன் �ரரரய அர்யும் என்பர� அறியைோம்.

குரறந்� த்சஙகுத்து உயரத்திலிருந்து (h « R) புவியீரபபு விர்சயிைோல் ேட்டுகே புவியிரை கநோககி விழும் தபோருளின் இயககத்திரை, �ர்யின்றித் �ோகை விழும் தபோருளின் இயககம் எை அரழககைோம். (இஙகு R என்பது புவியின் ஆரேோகும்.)

எடுத்துககோட்டு 2.34 10 m உயரத்திலிருந்து இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு இரண்டும் ஒகர கநரத்தில் விழுகின்றை. இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு இரண்டும் �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோளளும் கநரம் எவவ்ளவு? அ) இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு இரண்டும்

�ரரரய அர்யும்கபோது அவறறின் திர்ச கவகஙகள எவவ்ளவு? (கோறறுத் �ர்ரயப புறககணிககவும் கேலும் g = 10 m s-2 என்க)

தீரவு: இயககச் ்சேன்போடுகள நிரறரயச் ்சோரந்��ல்ை. ்சேன்போடு (2.18) இலிருந்து, இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு இரண்டும் ஒகர கநரத்தில் �ரரரய அர்யும். இ�ரைப பின்வருேோறு அறியைோம்.

T h g

× s s= = = ≈ 2 2 10

10 2 1414.

2.21 ICT இறகு மற்றும் இ

எடுத்துககோட்டு 2.35 இயககச் ்சேன்போடுகர்ளப பயன்படுத்தி கிணறறின் ஆழத்ர� அ்ளககமுடியுேோ?

�ண்ணீர இல்ைோ� கிணறு ஒன்ரறக கருதுக. அ�ன் ஆழம் d என்க. ஒரு சிறிய எலுமிச்்சம்பழம் ேறறும் நிறுத்து கடிகோரத்ர� எடுத்துகதகோளக. எலுமிச்்சம்பழத்ர� கிணறறின் விளிம்பிலிருந்து

எைகவ, இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு இரண்டும் ஒகர கநரத்தில் �ரரரய அர்யும் ்சேன்போடு (2.19) இலிருந்து இரும்புப பந்து ேறறும் இறகு �ரரரய அர்யும்கபோது அவறறின் திர்சகவகஙகள ்சேம். இ�ரைப பின்வருேோறு அறியைோம்.

v gh

m s m s

2 2 10 10

200 14 141 1.

தவறறி்த்தில் அரைத்துப தபோருட்க கீகழ விழும் என்பர�க கலிலிகயோ க

https://www.youtube.com/wa

ரும்புப்ந்து வசாதனன

ளும் ‘g’ என்ற ்சே முடுககத்து்ன் ண்்றிந்�ோர

கபோடும்கபோது கடிகோரத்ர� இயககவும். அது கிணறறின் �ரரரய அர்யும்கபோது கடிகோரத்ர� நிறுத்தி �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோண்் கநரத்ர�க கண்டுபிடிககவும். அ�ரை ‘t’ என்க.

எலுமிச்்சம்பழத்தின் ஆரம்ப திர்சகவகம் u = 0 கேலும் கிணறு முழுவதும் புவியீரபபு முடுககம் ‘g’ ேோறிலி. எைகவ சீரோை முடுககம் தபறற தபோருளின் இயககச் ்சேன்போடுகர்ள இஙகு பயன்படுத்�ைோம்.

s ut at= + 1 2

u s d a g= = =0, , (கீழ் கநோககிய இ்பதபயரச்சிரய கநரககுறி y அச்சு திர்சயில் கருதுக)

tch?v=E43-CfukEgs&t=5s

எைகவ , இ±Ý®ப பÛ« ேற²Ý இற¤ இரÙ©Ý ஒகர கந ரÚà �ரரரய அர்°Ý @ேåபோ© (2.19) இ±Û« இ±Ý®ப பÛ« ேற²Ý இற¤ �ரரரய அர்°Ýக போ« அவறå ர@கவ கஙகள @ேÝ. இ�ரை ப åவ±ேோ² அயைோÝ. h 10 10m sm 14.14 s11தவற்Úà அரைÚ« ப தபோ±Øக´Ý ‘g’¯©கஎåற @ே கÚ«்å கழ µÝ எåபர�க ககய ோ கÙ்Û�ோரhttps://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs&t=5s
vg 22 200

எைகவ , இ±Ý®ப பÛ« ேற²Ý இற¤ இரÙ©Ý ஒகர கந ரÚà �ரரரய அர்°Ý @ேåபோ© (2.19) இ±Û« இ±Ý®ப பÛ« ேற²Ý இற¤ �ரரரய அர்°Ýக போ« அவறå ர@கவ கஙகள @ேÝ. இ�ரை ப åவ±ேோ² அயைோÝ. h 10 10m sm 14.14 s11தவற்Úà அரைÚ« ப தபோ±Øக´Ý ‘g’¯©கஎåற @ே கÚ«்å கழ µÝ எåபர�க ககய ோ கÙ்Û�ோரhttps://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs&t=5s

vg 22 200

d gt= 1 2

g = 9.8m s–2 எைப பிரதியிட்டு கிணறறின் ஆழத்திரைக கணககி்ைோம்.

கணககீட்டில் ஏறபட்் பிரழயிரைக கண்்றிய நேககுக கிணறறின் ்சரியோை ஆழம் த�ரிய கவண்டும். இ�ரை ஒரு கயிறறிரைப பயன்படுத்தி அறியைோம். ஒரு கயிறறிரை எடுத்து அர�க கிணறறின் �ரரரயத்த�ோடும் அ்ளவுககு த�ோஙகவி் கவண்டும். இபகபோது கயிறறின் நீ்ளம் dcorrect குறிககபபடுகிறது.

பிரழ = dcorrect - d

்சோரபுபபிரழ = d_correct_ - d

d_correct_

்சோரபுபபிரழ ்ச�வீ�ம் = d_correct_ - d

d_correct_ × 100

பிகழககோன கோரணம் என்ன? க்சோ�ரைரய தவவகவறு நிரறகளுககு மீண்டும் நிகழ்த்தி அ�ன் முடிவிரை dcorrect உ்ன் ஒவதவோரு முரறயும் ஒபபி்வும்.

நீருள்ள கிணறு எனில் இம்முரறயிரைக தகோண்டு �ண்ணீர எவவ்ளவு ஆழத்தில்

உள்ளது என்ப�ரைக கண்்றியைோம். அ�ோவது �ண்ணீர உள்ள ேட்்ம் வரர கிணறறின் ஆழத்ர�க கோணைோம்.

குறிபபு

ந�ரவு (ii): க்போருக்ளோன்க்ற கசஙகுத்்தோக நமல்ந�ோககி எறி்தல் ‘m’ நிரறயுர்ய தபோருத்ளோன்ரற ‘u’ என்ற ஆரம்ப திர்சகவகத்து்ன் த்சஙகுத்�ோக கேல் கநோககி எறிக. கோறறுத் �ர்ரயப புறககணிககவும். ப்ம் 2.38 யின்படி கேல் கநோககிய த்சஙகுத்து திர்ச y அச்சின் திர்ச எைக கருதுக.

்படம் 2.38 தபோருள ஒன்றிரை த்சஙகுத்�ோக கேல் கநோககி எறி�ல்

இந்நிகழ்வில் முடுககம் a = –g, ஏதைனில் ‘g’ எதிரககுறி ‘y’ அச்சின் திர்சயில் த்சயல்படுகிறது. இவவரகயோை இயககத்திறகோை இயககச் ்சேன்போடுகள பின்வருேோறு.

எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் திர்சகவகம்

v u gt= − (2.20)

எந்�தவோரு கநரத்திலும் தபோருளின் நிரை

s ut gt= − 1 2

2 (2.21)

எந்�தவோரு நிரையிலும் y தபோருளின் திர்சகவகம்

_v u gy_2 2 2= − (2.22)

ஆழÚகதபயஅத�க@Ù©Ý ஒவ	1dg= t2m s2எைப ரØ© xணக கணகx்ைோÝ.–2ஏறபØ் ரழநேக¤க xணறå @யோைÙ©Ý. இ�ரை ஒ± கஅயைோÝ. ஒ± கறரறå �ரரரயÚத�ோ©Ý கவÙ©Ý. இபகபோ« ¤ககபப©xற«.= - ரழ d - d= d d@ோர®பரழ correctd - = × dcorrect dரழ @� �Ýdcorrectன க ோரணÝ எåனcorrect?correctரய தவவகவ² ரறஅ�å ¯}ரை dரற°Ý ஒப்¶Ý.correct±ளN xண² இÝ¯ரறரைக தகோ�ÙரஎவவN¶ ஆழÚà எåப�ரைக கÙ்ய�Ùர உளN ேØ்Ý Úர�க கோணைோÝ.
றå ரைகஆழÝ றரைபை எ©Ú« அN¶க¤ கறå
g = 9.8ரைகணகØ}à Ù்ய �ய கவåப©Ú ர�க xணோஙக்NÝ dcorrect@ோர®பகழ க கோோ�ரைகâÚ தவோ± ¯¤ப®உளN« அ�ோவ« xணறå ஆழ
100
க´க¤ உ்å எà Ù© ைோÝ. வரர

எடுத்துககோட்டு 2.36 இரயில் வண்டிதயோன்று 54 km h-1 என்ற ்சரோ்சரி கவகத்தில் த்சன்று தகோண்டிருககிறது. �ர்ரய த்சலுத்திய பின்பு அவவண்டி 225 m த்சன்று நிறகிறது எனில் இரயில் வண்டியின் எதிர முடுககத்ர�க கோண்க.

தீரவு: இரயில் வண்டியின் இறுதித் திர்சகவகம் v = 0

இரயில் வண்டியின் ஆரம்பத்திர்சகவகம்

_u m s m s_ 54 5 18

151 1

s = 225 m

எதிர முடுககம் எபகபோதும் திர்சகவகத்திறகு எதிரோக இருககும் எைகவ,

_v u aS_2 2 2= − s

0 = (15)2 – 2a (225)

450 a = 225

_a m s ms_ 1 2

0 52 2. _a m s ms_ 1 2

0 52 2.

எைகவ, எதிரமுடுககம் = 0.5 m s –2

எறிக்போருளின் இயககம் (projectile motion)

அறிமுகம் த�ோ்ககத் திர்சகவகம் ேட்டும் தகோடுககபபட்் பின்பு புவியீரபபு விர்சயிைோல் ேட்டும் கோறறில் இயஙகும் தபோருள எறிதபோருள எைபபடும். எறிதபோருள கேறதகோளளும் போர� எறிபோர� (trajectory) எைபபடும்.

எறிக்போருளுககு எடுத்துககோட்டுகள் 1. ஓடும் இரயிலின் ஜன்ைலிலிருந்து கீகழ கபோ்பபடும் தபோருள 2. துபபோககியிலிருந்து தவளிகயறும் குண்டு 3. ஏக�னும் ஒரு திர்சயில் வீசி எறியபபடும் பந்து 4. �்க்ள வீரர எறியும் ஈட்டி அல்ைது குண்டு. 5. �ண்ணீர த�ோட்டியின் அடிபபககத்தில் உள்ள குழோய வழியோக பீச்சி அடிககும் �ண்ணீர. எறிதபோருளின் இயககேோைது இரண்டு திர்சகவகஙகளின் கூட்டு விர்ளவு எைக கண்்றியபபட்டுள்ளது. (i) கோறறுத்�ர் இல்ைோ� நிரையில், கிர்த்�்ளத்

திர்சயில் உள்ள ேோறோத்திர்சகவகம். (ii) புவியீரபபு விர்சயிைோல் சீரோக ேோறும் (அ�ோவது

அதிகரிபபு அல்ைது குரறவு) த்சஙகுத்துத் திர்சகவகம்.

எறிதபோருளின் இயககம் இரண்டு வரகபபடும். (i) கிர்த்�்ளத்தில் எறியபபடும் எறிதபோருளின்

இயககம். (ii) கிர்த்�்ளத்து்ன் குறிபபிட்் ககோணத்தில்

எறியபபடும் எறிதபோருளின் இயககம்.

எறிதபோருள இயககத்திரை அறிந்துதகோள்ள கீழ்ககண்் கருத்துககர்ள நிரைவில் நிறுத்� கவண்டும். (i) கோறறுத் �ர்ரயப புறககணிகக கவண்டும். (ii) புவியின் சுழறசி விர்ளவு ேறறும் புவியின்

வர்ளவு ஆரப பண்புகர்ளப புறககணிகக கவண்டும்.

(iii) எறிதபோருளின் இயககம் முழுவதிலும் புவியீரபபு முடுககத்தின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச ேோறோது.

கிகடத்்த்ளத்தில் எறியப்படும் எறிக்போருளின் இயககம்

எறிதபோருள ஒன்ரறக கருதுக, அ�ோவது h உயரமுள்ள கட்டி்ம் ஒன்றின் உச்சியிலிருந்து (ப்ம் 2.39) u என்ற த�ோ்ககத் திர்சகவகத்து்ன் கிர்த்�்ளத்தில் எறியபபடும் பந்து ஒன்றிரைக கருதுக.

பந்து இயஙகும் கபோது u என்ற ேோறோ� கிர்த்�்ள திர்சகவகத்திைோல் க்ககும் கிர்த்�்ளத் த�ோரைரவயும் சீரோை புவியீரபபு முடுககத்திைோல் க்ககும் கீழ்கநோககிய த்சஙகுத்துத் த�ோரைரவயும்

கோ Ø© 2.36தயோå² 54 k m h எåற @ரோ@ த@å² தகோÙ}±கxற«. �ர்ரயå® அவவÙ} 225 m-1 த@å² எà இரà வÙ}å எர கோÙக.ர@கவ கÝ v = 0ÝபÚர@கவ கÝ554 sm 15 s18= 225 m1 1கÝ எபகபோ«Ý ர@கவ கÚற¤ க¤Ý எைகவ,vu =− 2as0 = (15) – 2a (225)22450 a = 22521 1a s sm 05.05. s s2 2= 0.5 2 m s22ர¯©ககÝ–2
எ©Ú« கஇரà வÙ}கவகÚà த@³Úய றxற« ¯©ககÚர�கர¶:இரà வÙ}å இ²Ú இரà வÙ}å ஆர

கோ Ø© 2.36தயோå² 54 k m h எåற @ரோ@ த@å² தகோÙ}±கxற«. �ர்ரயå® அவவÙ} 225 m-1 த@å² எà இரà வÙ}å எர கோÙக.ர@கவ கÝ v = 0ÝபÚர@கவ கÝ554 sm 15 s18= 225 m1 1கÝ எபகபோ«Ý ர@கவ கÚற¤ க¤Ý எைகவ,vu =− 2as0 = (15) – 2a (225)22450 a = 22521 1a s sm 05.05. s s2 2= 0.5 2 m s22ர¯©ககÝ–2

எ©Ú« கஇரà வÙ}கவகÚà த@³Úய றxற« ¯©ககÚர�கர¶:இரà வÙ}å இ²Ú இரà வÙ}å ஆர

| ums | | எர ¯©கஎரோக இ± |

| எைகவ, எ |

தபறறிருககும். எைகவ, இவவிரண்டு விர்ளவுகளிைோல் பந்து OPA என்ற போர�யில் இயஙகும். இவவியககம் இருபரிேோணத் �்ளத்தில் உள்ளது. பந்து �ரரயில் உள்ள A புளளிரய அர்ய எடுத்துக தகோளளும் கநரம் t என்க.

பந்து க்ந்� கிர்த்�்ளத் த�ோரைவு, x (t) = x

பந்து க்ந்� த்சஙகுத்துத் த�ோரைவு, y (t) = y

நோம் இயககச் ்சேன்போடுகர்ள �னித்�னிகய x அச்சுத் திர்சயிலும் ேறறும் y அச்சுத் திர்சயிலும் பயன்படுத்� கவண்டும். இஙகு எறிதபோருளின் இயககம் இருபரிேோணமுர்யது. எைகவ திர்சகவகம், கிர்த்�்ளக கூறு ux ேறறும் த்சஙகுத்துக கூறு uy ஆகிய இரு கூறுகர்ளயும் தபறறிருககும்.

கிகடத்்த்ளத்திகசயில் எறிக்போருளின் இயககம் பந்து ‘x’ அச்சுத் திர்சயில் எவவி� முடுககத்திரையும் தபறறிருககவில்ரை. எைகவ இயககம் முழுவதும் த�ோ்ககத் திர்சகவகம் ேோறோ� ேதிபரபப தபறறிருககும்.

y = h

A x

்படம் 2.39 கிர்த்�்ளத்தில் எறியபபடும் எறிதபோருளின் இயககம்

‘t’ கநரத்தில் எறிதபோருள க்ந்� கிர்த்�்ளத்

த�ோரைவு x u t atx= + 1 2

2_._

இஙகு x இன் திர்சயில் a = 0, எைகவ

x u tx= (2.23)

கீழ்ந�ோககியத்திகசயில் எறிக்போருளின் இயககம் இஙகு uy = 0 (ஆரம்பத் திர்சகவகத்திறகு கீழ் கநோககியக கூறு இல்ரை) a = g (கீழ்கநோககிய இயககத்ர� கநரககுறி y அச்சு வழிகய குறிபபி்வும்), கேலும் s = y

ஃ ்சேன்போட்டிலிருந்து y u t aty= + 1 2

2 , இதிலிருந்து

y gt= 1 2

2 (2.24)

்சேன்போடு (2.23) லிருந்து ‘t’ இன் ேதிபரப ்சேன்போடு (2.24) இல் பிரதியிட்்ோல்

y g x u

g u

x x x

= = 

 



 

1 2 2

2 2 2

y Kx= 2 (2.25)

இஙகு where K g u

is constant x

= 2 2 ஒரு ேோறிலி

்சேன்போடு (2.25) ஒரு பரவர்ளயச் ்சேன்போடு எைகவ எறிதபோருளின் போர� ஒரு பரவர்ளயம் ஆகும். (1) ்ப்றககும் ந�ரம் : எறிம்பொருள தன்னு்ைய

்பொ்த்ய நி்ைவு மெயய எடுத்துக மகைொளளும் நேரம் அல்்லது எறிம்பொருள எறியப்பட்ை கைணத்திலிருந்து, த்ர்ய அ்ைய எடுத்துகமகைொளளும் நேரம் ்பைககும் நேரம் எைப்படும்.

எடுத்துககோட்்ோக, கட்டி்த்தின் உயரம் h என்க. எறிதபோருள எறியபபட்் கணத்திலிருந்து அ�ன் போர� வழிகய �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோண்் கநரத்ர� T என்க.

υo

நோம் அறிந்�படி த்சஙகுத்து இயககத்திறகு

s u t aty y= + 1 2

இஙகு sy = h, t = T, uy = 0 (ஆரம்ப த்சஙகுத்துத் திர்சகவகம் சுழி)

a = g (எறிதபோருள புவி ஈரபபு விர்சயின் கோரணேோக கீகழ விழுகிறது)

h gT= 1 2

2 or T= 2h g

அல்ைது h gT= 1 2

2 or T= 2h g

எைகவ, பறககும் கநரம் கட்டி்த்தின் உயரத்ர�ச் ்சோரந்துள்ளது, ஆைோல் அது கிர்த்�்ளத் திர்சகவகத்ர�ச் ்சோரந்��ல்ை. ஒரு பந்து த்சஙகுத்�ோக கேலிருந்து கீழ் கநோககி விழுகிறது, அக� கநரத்தில் ஒரு குறிபபிட்் திர்சகவகத்தில் பந்து ஒன்று கிர்த்�்ளத்தில் வீசி எறியபபடுகிறது . இவவிரண்டு பந்துகளும் ஒகர கநரத்தில் �ரரரய அர்யும். இது ப்ம் 2.40 இல் சுட்டிககோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.40 ்சே கோை இர்தவளியில் ்சே த்சஙகுத்துத் த�ோரைரவக க்ககும் இரு தபோருட்கள

(2) கிகடத்்த்ள க�டுககம்: எறியபபட்் புளளிககு கநர கீகழ கட்டி்த்தின் �ரரயிலிருந்து எறிதபோருள �ரரரய அர்ந்� புளளி வரர உள்ள த�ோரைவு, கிர்த்�்ள தநடுககம் எைபபடும்.

நோம் அறிந்�படி கிர்த்�்ள இயககத்தில்

s u t atx x= + 1 2

இஙகு, sx = R (கிர்த்�்ள தநடுககம்), ux = u, a = 0 (கிர்த்�்ளத்திர்சயில் முடுககம் இல்ரை), பறககும் கநரம் ‘T’, எனநவ கிகடத்்த்ள க�டுககம் = uT.

நோம் அறிந்�படி பறககும் கநரம் T h g

= 2 .

எைகவ கிர்த்�்ள தநடுககம் R u h g

= 2

கேறகண்் ்சேன்போட்டிலிருந்து கிர்த்�்ள தநடுககம் ஆரம்பத் திர்ச கவகத்திறகு (u) கநரத்�கவிலும், புவியீரபபு முடுககத்தின் (g) இருேடி மூைத்திறகு எதிரத்�கவிலும் உள்ளர�க கோட்டுகிறது.

(3) க்தோகு்பயன் திகசநவகம் (ஒரு குறிபபிட்ட ந�ரத்தில் எறிக்போருளின் திகசநவகம்) ஒரு குறிபபிட்் கநரம் t யிலும் எறிதபோருளுககு x-அச்சு ேறறும் y-அச்சு ஆகிய இரண்டு அச்சுகளிலும் திர்சகவகக கூறுகள உள்ளை. இவவிரண்டு கூறுகளின் த�ோகுபயன், எறிதபோருளின் த�ோகுபயன் திர்சகவகத்ர�கதகோடுககும்.

v(t) β

்படம் 2.41 திர்சகவகத்தின் இரு கூறுகள

ப்ம் 2.41 லிருந்து கீழ்ககண்்வோறு ்சேன்போடுகர்ள எழு�ைோம்.

கிர்த்�்ளத்திர்சயில் (x-அச்சில்) திர்சகவகககூறு v u a tx x x= +

இஙகு, ux = u, ax = 0 எைகவ

vx = u → (2.26)

த்சஙகுத்துத்திர்சயில் (y அச்சில்) திர்சகவகககூறு v u a ty y y= +

இஙகு, uy = 0, ay = g எைகவ

vy = gt → (2.27)

எந்�தவோரு குறிபபிட்் கநரத்திலும் எறி தபோருளின் திர்சகவகம்

ˆˆ_v ui gtj_

எந்�தவோரு குறிபபிட்் கநரத்திலும் எறிதபோருளின் கவகம்

v v v

v u g t

x y= +

= +

2 2

2 2 2

எறிதபோருள �ரரரயத் த�ோடும்கபோது அ�ன் கவகம் v v v

v u g t

x y= +

= +

2 2

2 2 2

்படம் 2.42 எறிதபோருளின் இயககம்

எறிதபோருள எறியபபட்் கணத்திலிருந்து, �ரரரய அர்ய எடுத்துக தகோளளும் கநரம்

T = 2h g

எறிதபோருளின் கிர்த்�்ளத்திர்ச- கவகககூறு ேோறோ�து அ�ோவது

vx= u

T கநரத்தில் எறிதபோருளின் த்சஙகுத்துத் திர்சகவகககூறு

v gT g h g

ghy 2 2

எைகவ எறிதபோருள �ரரரயத் த�ோடும் கபோது அ�ன் கவகம்

v u gh= +2 2

கிகடத்்த்ளத்துடன் குறிபபிட்ட நகோணத்தில் எறியப்படும் எறிக்போருளின் இயககம்.

எறிதபோருள ஒன்று, கிர்த்�்ளத்து்ன் குறிபபிட்் ககோணத்தில் எறியபபடுகிறது. இது ப்ம் 2.42 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது. (்சோயநிரையில் எறியபபட்் எறிதபோருள). (ப்ம் 2.42)

|——|——|——|——|

எடுத்துககோட்டுகள் „ ்சோயநிரையில் பிடிககபபட்் �ண்ணீர

குழோயிலிருந்து தவளிகயறும் நீர „ பீரஙகியிலிருந்து சு்பபட்் குண்டு.

கிர்த்�்ளத்து்ன் θ ககோணத்தில் எறியபபடும் எறிதபோருளின் ஆரம்ப திர்சகவகம் u என்க இ�ரைக கீழ்ககண்்வோறு எழு�ைோம்,

ˆ _xu u i_

+ ˆ yu j

ஆரம்ப திர்சகவகத்தின் கிர்த்�்ளககூறு u ux = cosθ ேறறும் அ�ன் த்சஙகுத்துககூறு uy = u sin θ. இஙகு புவியீரபபு விர்ச த்சஙகுத்துககூறுககு uy எதிரதிர்சயில் த்சயல்படுகிறது, இது த்சஙகுத்துக கூறிரை படிபபடியோகக குரறத்து எறிதபோருளின் தபருே உயரத்தில் அ�ரை சுழியோககும், uy = 0_. இக� புவியீரபபு விர்ச எறிதபோருர்ள கீழ்கநோககி இயஙகரவத்து �ரரரய அர்யச் த்சயயும். எறிதபோருளின் இயககம் முழுரேககும் x-அச்சுத்திர்சயில் எவவி�ேோை முடுககமும் இல்ரை. எைகவ திர்சகவகத்தின் கிர்த்�்ளக கூறு (ux = u cosθ) எறிதபோருள �ரரரய அர்யும் வரர ேோறோது._

t கோைத்திறகு பின்பு கிர்த்�்ளத்திர்சகவகம் , vx = ux+ axt

இஙகு ax = 0 எைகவ vx = ux = u cos θ

t கநரத்தில் எறிதபோருள கிர்த்�்ளத்தில் க்ந்�

த�ோரைவு s u t a tx x x= + 1 2

்படம் 2.43 ஆரம்பத்திர்சகவகத்தின் இரு கூறுகள

u sin θ

u cos θ θ

hmax

B x C R

இஙகு, sx = x, ux = u cosθ, ax = 0 எைகவ,

hus, x u t or t x u

= =cos . cos

θ θ

அல்ைது Thus, x u t or t x u

= =cos . cos

θ θ

(2.28)

t கநரத்திறகு பின்பு த்சஙகுத்துத்திர்சகவகம் vy = uy+ ayt

இஙகு uy= u sinθ, ay = –g (புவியீரபபு முடுககம் இயககத்திறகு எதிரத்திர்சயில் த்சயல்படுகிறது)

எைகவ, vy = usinθ – gt (2.29)

எறிதபோருள அக� t கநரத்தில் அர்ந்�

த்சஙகுத்துத் த�ோரைவு s u t a ty y y= + 1 2

இஙகு, sy = y, uy = u sinθ, ay = -g எைகவ,

y u t gt= − sinθ 1 2

2 (2.30)

்சேன்போடு (2.28) லிருந்து t இன் ேதிபரப ்சேன்போடு (2.30) இல் பிரதியிடும் கபோது,

y = usinθ θ

_x u_cos

- 1 2

g x u

2 2cos θ

y = x tan θ - 1 2

g x u

2 2cos θ (2.31)

கேறகண்் ்சேன்போட்ர் உறறு கநோககும் கபோது எறிதபோருள கேறதகோண்் போர� ஒரு �ரைகீழோை பரவர்ளயம் எை அறியைோம்.

க்பரும உயரம் (hmax) எறிதபோருள �ன்னுர்ய பயணத்தில் அர்யும் அதிகபட்்ச த்சஙகுத்து உயரம், தபருே உயரம் (hmax) எைபபடும். அ�ரைக கீழ்ககண்்வோறு கணககி்ைோம்.

v u a sy y y 2 2 2= +

இஙகு, vy = u sinθ, ay = -g, s = hmax, கேலும் தபருே உயரத்தில் vy = 0

yu sin θ	uAPhBmax
xθ
O	u cos θ C

எைகவ,

0 22 2 2( ) = −_u gh_sin maxθ

(அல்ைது) h _u g_max

sin =

2 2

2 θ (2.32)

்ப்றககும் ந�ரம்: (Tf ) எறியபபட்் புளளியிலிருந்து, எறியபபட்் புளளி உள்ள கிர்த்�்ளத் �ரரரய அர்ய எறிதபோருள எடுத்துகதகோளளும் கநரம், பறககும் கநரம் எைபபடும். இஙகு பறககும் கநரம் என்பது எறிதபோருள O புளளியிலிருந்து A புளளி வழியோக B புளளிரய அர்ய எடுத்துகதகோளளும் கநரேோகும். (ப்ம் 2.43)

நோம் அறிந்�படி s u t a ty y y= + 1 2

இஙகு, sy = y = 0 (y-அச்சு திர்சயில் த�ோகுபயன் இ்பதபயரச்சி சுழி), uy = u sinθ, ay = -g, t = Tf

0 = _u T gTf f_sinθ − 1 2

T u gf = 2 sinθ

கிகடத்்த்ள க�டுககம் (R) எறியபபட்் புளளிககும், எறியபபட்் புளளி உள்ள கிர்த்�்ளத்தில் எறிதபோருள விழுந்� இ்த்திறகும் இர்கய உள்ள த�ோரைவு எறிதபோருளின் கிர்த்�்ள தநடுககம் எைபபடும். ஆரம்பத்திர்சகவகத்தின் கிர்த்�்ளக கூறில் எவவி� ேோறறமும் இல்ரை எைகவ, கிர்த்�்ள தநடுககம் R = திர்சகவகத்தின் கிர்த்�்ளக கூறு × பறககும் கநரம் R = _u Tf_cosθ ×

R u u

g u

g = × =cos

sin sin cos θ

θ θ θ2 2 2

∴ =R u g

2 2sin θ (2.33)

கிர்த்�்ள தநடுககேோைது ஆரம்பத்திர்சகவகம் (u), எறிககோணத்தின் இருே்ஙகின் ர்சன் ேதிபபு _(_sin2θ ) இவறறிறகு கநரத்�கவிலும் புவியிரபபு முடுககத்திறகு (g) எதிரத்�கவிலும் இருககும்.

தபருே கிர்த்�்ள தநடுககத்திறகு sin2θ தபருேேோக இருகக கவண்டும். sin2θ = 1 இதிலிருந்து 2 2θ π= / எைக கிர்ககும்.

எைகவ, θ π =

எைகவ கிர்த்�்ளத்து்ன் 45° ககோணத்தில் எறிதபோருளிரை எறிந்�ோல், அது தபருே கிர்த்�்ள தநடுககத்ர� அர்யும் என்பர� அறியைோம்.

R u gmax =

(2.34)

எறிக்போருள் இயககம்

�மிழகத்தில் ஆரவமூட்டும் ஒரு போரம்பரியேோை விர்ளயோட்டு உள்ளது. அ�றகு “கிட்டிபுள” என்று தபயர. கிட்டியிைோல் புளர்ள அடிககும்கபோது புள பரவர்ளய போர�யில் (parabolic path) த்சல்லும்.

எடுத்துககோட்டு 2.37 எறிதபோருள ஒன்று 10 m s–1 என்ற ஆரம்பத் திர்சகவகத்து்ன், கிர்த்�்ளத்து்ன் p

4 ககோண

அ்ளவில் எறியபபடுகிறது. அ�ன் கிர்த்�்ளத் தநடுககத்ர�க கண்டுபிடி, அக� எறிதபோருர்ள முன்ைர எறிந்�வோகற நிைவில் எறியும் கபோது அ�ன் கிர்த்�்ள தநடுககத்தில் ஏக�னும் ேோறறம் நிகழுேோ? நிகழும் எனில் எவவரகயோை ேோறறம் என்று வி்ளககுக.

(நிைவின் ஈரபபு முடுககம் gநிலவு g gmoon = 1 6

)

தீரவு எறிதபோருள இயககத்தில் கிர்த்�்ள தநடுககம்

R u g

= 2 2sin θ

θ π= /4

v m s-1 0 10_u_ =

Rபுவி ∴ = ( )

=Rearth

10 2 9 8

100 9 8 2 sin

. / .

π /

Rபுவி R mearth =10 20. (க�ோரோயேோக 10 m) இக� எறிதபோருர்ள நிைவில் எறியும் கபோது அ�ன் கிர்த்�்ள தநடுககம் அதிகரிககும் ஏதைனில் நிைவின் ஈரபபு முடுககம், புவியின் ஈரபபு முடுககத்ர�வி்க குரறவு.

g g

= 6

R u

g =

2 2sin θ

= v

g 0

2 2 6

sin /

Rநிைவு = 6Rபுவி

R 6 10 20 61 20. .

(க�ோரோயேோக 60 m)

நிைவில் எறிதபோருளின் கிர்த்�்ள தநடுககம், புவியில் எறிதபோருளின் கிர்த்�்ள தநடுககத்ர� வி் ஆறுே்ஙகு அதிகம்.

எடுத்துககோட்டு 2.38 ப்த்தில் கோட்டியவோறு கிரிகதகட் வீரர பந்து ஒன்றிரை ேட்ர்யோல் அடித்� பின்பு, அபபந்து 30 m s–1 என்ற திர்சகவகத்து்னும், 300

ககோணத்திலும் பறந்து த்சல்கிறது. ரே�ோைத்தின் எல்ரையோைது பந்திரை அடித்� கிரிகதகட் வீரரிலிருந்து 75 m த�ோரைவில் உள்ளது. அபபந்து ரே�ோைத்தின் எல்ரைரய பறந்து த்சன்று கிரிகதகட் வீரருககு ஆறு ரன்கர்ளப தபறறுத்�ருேோ? (கோறறுத்�ர்ரயப புறககணிககவும் ேறறும் புவியீரபபு முடுககம் g = 10 m s-2 எைக கருதுக).

75m

தீரவு கிரிகதகட் பந்தின் இயககத்ர� எறிதபோருளின் இயககேோகக கரு�ைோம். நோம் முன்ைர போரத்�படி கிர்த்�்ளத் த�ோரைவு

R u g

= 2 2sin θ

_ஆரம்பத்திர்ச கவகம் u m s_30 1

எறிககோணம் θ = °30

எ©Ú« க கோ Ø© 2.3710 m sஎதபோ±ள ஒå² எåற ஆரÝபÚ pர@கவ கÚ«்å, xர்Ú�N Ú«்å 4 க கோண –1அNà எயபப©xற«. அ�å xர் Ú�NÚ தந©ககÚர�க கÙ©}, அக� எதபோ±ரN¯åைர எÛ�வோகற ைà எ°Ý கப ோ« அ�å xர்Ú�N தந©ககÚà ஏக� Ý ேோறறÝ கµேோ? கµÝ எà எவவரக யோை ேோறறÝ எå² Nக¤க. = 16(ைå ஈரப® ¯©ககÝ g )ர¶ல¶எதபோ±ள இயககuÚà xsin 2θ ர்Ú�N தந©ககÝR =gθπ= /42u = vm()  10 s10 si n π /2R = 1009/. 898. -10= 10.20 m2R (க �ோரோயேோக 10 m)®இக� எதபோ±ரN ைà எ°Ý கப ோ« அ�å xர்Ú�N g® தந©க = கgÝ அகக¤Ý ஏதைà ைå ஈரப® 6¯©ககÝ, ®å ஈரப® ¯©ககÚர� ்க ¤ரற ¶.u sin 2θR =g= v 2 sin 2θg / 62RR = 6 61R0 02.. 06 12mை¶ ®(க �ோரோயேோக 60 )ைà எதபோ±å xர்Ú�N தந©ககÝ, ®à எதபோ±å xர்Ú�N தந©ககÚர�் ஆ²ே்ங¤ அகÝ.

கிரிகதகட் பந்தின் கிர்த்�்ள தநடுககம்

R sin

m= ( ) × °

= ×

= 30 60

900 3 2

10 77 94

கிர்த்�்ள தநடுககம் ரே�ோைத்தின் எல்ரையோை 75 மீட்்ரர வி் அதிகேோக உள்ளது. எைகவ, பந்து எல்ரைரயக க்ந்து பறந்து வீரருககு ஆறு ரன்கர்ளப தபறறுத்�ரும்.

டிகிரி மறறும் நரடியன்கள் அறிமுகம்

்படம் 2.44 ஒரு கரடியன் (ேஞ்சள நிறத்தில் கோட்்பபட்டுள்ளது)

ககோணஙகர்ள அ்ளவீடு த்சயவ�றகு பல்கவறு அைகுகள பயன்படுத்�பபடுகின்றை. அவறறுள தபோதுவோக அரைவரோலும் பயன்படுத்�பபடும் அைகு டிகிரி ேறறும் கரடியன் ஆகும். பரபபு, பருேன், சுறற்ளவு கபோன்றவறரற அ்ளபப�றகு கரடியன் பயன்படுகிறது.

நரடியன்: வட்்வில் வட்்ரேயத்தில் ஒரு �்ளக ககோணத்ர� உருவோககுகிறது. வட்்வில்லின் நீ்ளத்ர�, வட்்த்தின் ஆரத்�ோல் வகுககககிர்ககும் ேதிபகப கரடியன் ஆகும். வட்்த்தின் ஆரத்திறகு ்சேேோை நீ்ளமுள்ள வட்்வில், வட்்ரேயத்தில் ஏறபடுத்தும் ககோணம் ஒரு கரடியன் ஆகும். இது ப்ம் 2.44 யில் கோட்்பபடுள்ளது.

ககோணத்தின் அ்ளவிரை அ்ளபப�றகுப பயன்படும் ஒரு அைகு டிகிரி எைபபடும். இது

ககோணத் திர்சயிரைக கோட்டுகிறது. ஒரு ககோணம், வட்்த்ர� ஒரு முழுசுறறு சுறறும் கபோது அ�ன் தேோத்�க ககோணம் 360°. எைகவ ஒரு முழு வட்்ம் 360° ரயபதபறறுள்ளது. ஒரு முழுவட்்ம் என்பது 2π கரடியரை குறிககிறது.

எைகவ 360° = 2π rad

அல்ைது 1 rad = 180 π

degree

1 rad ≅ 57.27°

எடுத்துககோட்டு 2.39 ப்த்தில் உள்ள வட்்ச்்சககரத்தின் அருகருகக உள்ள இரண்டு ஆரச்்சட்்ஙகளுககு (SPOKES) இர்கய உள்ள ககோணம் θ ரவ கோண்க. உஙகளின் விர்ரய கரடியன் ேறறும் டிகிரி இரண்டிலும் குறிபபி்வும்.

தீரவு முழுச்்சககரம் ரேயத்தில் 2π கரடியன்கர்ள ஏறபடுத்தும் ்சககரம் 12 பிரிவுக்ளோகப (வட்்வில்) பிரிககபபட்டுள்ளது. எைகவ, ஒரு பிரிவு ஏறபடுத்தும் ககோணம்

θ π π = =

2 12 6

நோம் அறிந்�படி, = π rad = °180 , π 6 rad = 30°

ஃ எைகவ, 2 ஆரச்்சட்்ஙகளுககு இர்பபட்் ககோணம் = 30°

xகதக() Ø பÛå xர்Ú�N தந©ககÝ3900 ×R = 30 ×°sin 60 = 2 = 77.9410 102xர்Ú�N தந©ககÝ ரே�ோைÚå எàரையோை 75 Ø்ரர ் அகேோக உளN«. எைகவ, பÛ« எàரைரயக க்Û« பறÛ« ர±க¤ ஆ² ரåகரNப தபற²Ú�±Ý.

இயறபியல் ேறறும் கணி�த்தில் π என்ற எண் அதிமுககியத்துவம் வோயந்�து.

இது ஒரு பகோ எண். இருபபினும் π யிரைத்

க�ோரோயேோக ≈ 3.14. அல்ைது 22 7

எை கணககீடுகளில் நோம் பயன்படுத்துகிகறோம். இந்� இரண்டுகே π இன் உண்ரேயோை ேதிபபு இல்ரை அது ஒரு க�ோரோயகே.

குறிபபு

நகோண இடபக்பயரச்சி துகத்ளோன்று, O என்ற புளளிரய ரேயேோக தகோண்டு r ஆரமுர்ய வட்்பபோர�ரய சுறறி வருகிறது என்க (ப்ம் 2.45). t = 0 என்ற கநரத்தில் துகள A புளளியிலும், t கநரத்திறகு பின்பு அத்துகள B புளளியிலும் உள்ளது என்க. எைகவ, சுழறசி ரேயத்ர�ப தபோருத்து (அல்ைது வட்்ரேயம் O) தகோடுககபபட்் கநரத்தில் துகள ஏறபடுத்தும் ககோணம், ககோண இ்பதபயரச்சி எைபபடும்.

்படம் 2.45 ககோண இ்பதபயரச்சி

அ�ோவது ககோண இ்பதபயரச்சி = ∠ =AOB θ ககோண இ்பதபயரச்சியின் அைகு கரடியன்

ஆகும்.

ககோண இ்பதபயரச்சி (θ), வட்்வில்லின் நீ்ளம் s (AB) ேறறும் ஆரம் r இவறறுககு இர்கய உள்ளத் த�ோ்ரபு

θ = S r

, அல்ைது S r= θ

நகோணத்திகசநவகம் ( ω**)** ககோண இ்பதபயரச்சி ேோறும் வீ�கே, ககோணத்திர்ச கவகம் எைபபடும்.

t கநரத்தில் ஏறபட்் ககோண இ்பதபயரச்சி θ எனில், ககோணத்திர்சகவகம்

ω θ =

→∆

∆ ∆_t_

_lim t_0 =

d dt θ

ககோணத்திர்சகவகத்தின் அைகு கரடியன்/ விைோடி (rad s-1).

ககோணத்திர்சகவகத்தின் திர்ச வைது ரக தபருவிரல் விதியின் படி சுழல் அச்சின் திர்சயில் இருககும். இது ப்ம் 2.46 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.46 ககோணத் திர்சகவகத்தின் திர்ச

நகோண முடுககம் (α ) நகைொணத் தி்ெநவகைம் �ொறும் வீதம், நகைொண முடுககைம் எைப்படும்.



α ω =

d dt

ககோண முடுககம் ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும். இ�ன் திர்ச ககோணத்திர்சகவகத்தின் திர்சயிகைகய இருகக கவண்டிய அவசியமில்ரை.

 _v_ = ω

க்தோடுநகோட்டு முடுககம் தபோருத்ளோன்று r ஆரமுர்ய வட்்பபோர�யில் இயஙகுகிறது என்க. Dt , என்ற கோை இர்தவளியில் தபோருள Ds என்ற வட்்வில் த�ோரைரவக க்ககிறது. இது ப்ம் 2.47 இல் கோட்்பபட்டுள்ளது. அது ஏறபடுத்தும் ககோணம் Dsθ ஆகும்.

்படம் 2.47 வட்் இயககம்

r∆θ

∆s

Δθ ரவப பயன்படுத்தி Ds ஐ பின்வருேோறு எழு�ைோம்

∆ ∆_s r_= θ (2.35)

_t_∆ என்ற கோை இர்தவளியில்

∆ ∆

s t

r t

= θ (2.36)

∆_t_ → 0, என்ற எல்ரையில் கேறகண்் ்சேன்போட்டிரை

ds dt

r= ω (2.37)

எை எழு�ைோம். இஙகு ds dt

என்பது கநரகககோட்டு

கவகேோகும் (v). இது வட்்த்தின் த�ோடுககோட்டின் வழிகய த்சயல்படும். கேலும் ω என்பது ககோண கவகேோகும்.

எைகவ ்சேன்போடு (2.37) ஐ

v r= ω (2.38)

எை எழு�ைோம். இச்்சேன்போடு, கநரககோட்டு கவகத்திறகும், ககோண கவகத்திறகும் உள்ள த�ோ்ரரபக கோட்டுகிறது.

க ந ர க க க ோ ட் டு த் தி ர ்ச கவகத்தின் (v ) திர்ச வட்்த்தின் த�ோடுககோட்டின்

வழியோகவும் , ககணத்திர்ச கவகத்தின் ( ω ) திர்ச, சுழல் அச்சின் வழியோகவும் உள்ளது. கேலும் ஆரமும் (r ) வட்்ரேயத்திலிருந்து ஆரம் வழியோக தவளிகநோககிச் த்சயல்படும் ஒரு தவக்ரோக குறிபபி்பபடுகிறது.

குறிபபு

இச்்சேன்போடு (2.38) வட்் இயககத்திறகு ேட்டுகே தபோருந்தும். தபோதுவோக கநரகககோட்டு திர்ச கவகத்திறகும், ககோணத்திர்சகவகத்திறகும் உள்ள த�ோ்ரபு

  _v r_= ×ω (2.39)

வட்்பபோர� இயககத்தில் ்சேன்போடு (2.39), ்சேன்போடு (2.38) ஆக ேோறும். ஏதைனில்   _v r_= ×ω ேறறும் _r_× ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோகும்.

கநரத்ர�பதபோருத்து ்சேன்போடு (2.38) ஐ வரகபபடுத்திைோல் (இஙகு r என்பது ேோறிலி)

dv dt

rd dt

r= = ω α (2.40)

இஙகு dv dt

என்பது த�ோடுககோட்டு முடுககேோகும்;

இ�ரை at எைவும். d dt ω என்பது ககோண முடுககம்.

_இ�ரை (_α ) எைவும் எழு�ைோம். எைகவ ்சேன்போடு, (2.40) ஆைது

a rt = α (2.41)

இஙகு at என்பது தபோருள தபரும் த�ோடுககோட்டு முடுககேோகும், இது ப்ம் 2.48 யில் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.48 த�ோடுககோட்டு முடுககம்

v at

த�ோடுககோட்டு முடுககம், கநரகககோட்டுத்திர்ச கவகத்தின் திர்சயில் த்சயல்படுவர� இஙகு நிரைவில் தகோள்ளவும்.

வட்ட இயககம் (Cirular Motion) ஒரு புளளிபதபோருள ேோறோ� கவகத்தில் ஒரு வட்்பபோர� வழிகய சுறறி வருகிறது. அபதபோருள ்சே கோை இர்தவளிகளில் வட்்பபோர�யின் ்சே தூரத்ர�க க்ககிறது எனில், அபதபோருள சீரோை வட்் இயககத்தில் உள்ளது எைக கூறைோம். இது ப்ம் (2.49) இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.49 சீரோை வட்் இயககம்

சீரோை வட்் இயககத்தில், திர்சகவகம் எபகபோதும் ேோறறேர்ந்து தகோண்க் இருககும். ஆைோல் கவகம் ேோறோது இயறபியல்படி திர்சகவக தவக்ரின் எண்ேதிபபு நிரையோகவும், அ�ன்திர்ச த�ோ்ரந்து ேோறறேர்வர� இது கோட்டுகிறது.

வட்் இயககத்தில் திர்சகவகத்தின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச இவவிரண்டும் ேோறறேர்ந்�ோல் நேககு சீரறற வட்் இயககம் கிர்ககும்.

கமயந�ோககு முடுககம் : சீரோை வட்் இயககத்தில் திர்சகவக தவக்ரின் எண் ேதிபபு (கவகம்) ேோறோேல் அ�ன் திர்ச த�ோ்ரந்து ேோறறேர்ந்து தகோண்க் வரும் என்பர� நோம் முன்ைர போரத்க�ோம். இது ப்ம் (2.50) யில் கோட்்பபட்டுள்ளது.

்படம் 2.50 சீரோை வட்் இயககத்தில் திர்சகவகம்

v v

சீரோை வட்் இயககம் நர்தபறும் கபோது திர்சகவக தவக்ரின் (நீை வண்ணம்) நீ்ளம் ேோறறேர்யோேல் உள்ளர� கவனிககவும், இது கவகம் ேோறோேல் உள்ளர�க கோட்டுகிறது. இருபபினும் திர்சகவகம் வட்்த்தின் ஒவதவோரு புளளியிலும் த�ோடு ககோட்டுத்திர்சயில் த்சயல்படுகிறது. கேலும், முடுககம் வட்்த்தின் ஆரத்தின் வழிகய ரேயத்ர� கநோககி த்சயல்படுகிறது. இம்முடுககத்ர� ரேய கநோககு முடுககம் எை அரழககைோம். இது எபகபோதும் வட்்ரேயத்ர� கநோககிகய த்சயல்படும். இது ப்ம் (2.51) இல் கோட்்பபட்டுள்ளது.

∆v ∆t

aaa

a a v2

∆v

்படம் 2.51 ரேயகநோககு முடுககம்

v
r

v
ro	r

| rr |r |

| v |

நிரை தவக்ர ேறறும் திர்சகவக தவக்ரின் எளிய வடிவியல் த�ோ்ரபிலிருந்து, ரேய கநோககு முடுககச் ்சேன்போட்ர் வருவிககைோம்.

்படம் 2.52 நிரைதவக்ர ேறறும் திர்சகவக தவக்ரின் வடிவியல் த�ோ்ரபு

∆v

∆r

r2 θ θ

θ v1

v1 r2

நிரை தவக்ர ேறறும் திர்சகவக தவக்ர இரண்டும் Dt என்ற சிறிய கோை இர்தவளியில் θ ககோணம் இ்பதபயரச்சி அர்வர� ப்ம் (2.52) கோட்டுகிறது. சீரோை வட்் இயககத்தில் r r r= =

 

1 2 ேறறும் v v v= =

 

1 2 . துகளின் நிரைதவக்ர r1 லிருந்து r2ககு ேோறும்கபோது ஏறபடும் இ்பதபயரச்சிரய ∆

  _r r r_= −2 1 எைவும் அ�ன் திர்சகவகம் v1 லிருந்து v2 ககு ேோறறேர்வர� ∆   _v v v_= −2 1 எைவும் குறிபபி்ைோம். இ்பதபயரச்சி

தவக்ரின் எண்ேதிபபு ேறறும் திர்சகவக தவக்ரின் எண்ேதிபபு இரண்டும் பின்வரும் த�ோ்ரபிரை நிரறகவறற கவண்டும்.

∆ ∆_r r_

v v

= − = θ

இஙகு எதிரககுறி, Δv வட்் ரேயத்ர� கநோககி (ஆரம் வழிகய உளகநோககி) த்சயல்படுவர�க கோட்டுகிறது.

∆ ∆_v v r r_

= −   

  

a v t

v r

r t

v r

= = -  

 

= -D D

D D

சீரோை வட்் இயககத்திலிருந்து v r= ω , இஙகு ω என்பது ரேயத்ர�ப தபோருத்து துகளின்

ககோணத்திர்சகவகேோகும். எைகவ ரேய கநோககு முடுககத்ர� பின்வருேோறு எழு�ைோம்.

a r= −ω2

சீரோை வட்் இயககத்தில் ரேய கநோககு முடுககத்தின் எண் ேதிபபு ேோறிலி. ஆைோல்

ரேய கநோககு முடுககம் ேோறிலிஅல்ை. அ�ன் திர்ச த�ோ்ரந்து ேோறறேர்ந்து தகோண்க் இருககும்.

குறிபபு

சீரற்ற வட்ட இயககம் வட்் இயககத்தில் கவகம் ேோறறேர்ந்து தகோண்க் இருந்�ோல். அ�ரை சீரறற வட்் இயககம் எை அரழககைோம். எடுத்துககோட்்ோக ஊ்சல் குண்டு கட்்பபட்் கயிறு த்சஙகுத்து வட்்த்தில் சுறறிவரும்கபோது குண்டின் கவகம் எல்ைோ கநரஙகளிலும் ்சேேோக இருபபதில்ரை. வட்் இயககத்தின் கவகம் ேோறறேர்யும் கபோத�ல்ைோம் துகள, ப்ம் (2.53) இல் உள்ளவோறு ரேயகநோககு முடுககம் (ac) ேறறும் த�ோடுககோட்டு முடுககம் (at) இரண்ர்யும் தபறும்.

்படம் 2.53 சீரறற வட்் இயககத்தில் த�ோகுபயன் முடுககம் aR

ரேய கநோககு முடுககம் ேறறும் த�ோடுககோட்டு முடுககம் இவறறின் தவக்ர கூடு�லின் வழிகய த�ோகுபயன் முடுககத்திரை (aR) தபறைோம்.

v

| rθ2 |

| rθ2 |∆ |

aatθaRr c

ரேய கநோககு முடுககம் v r

2 எனில், த�ோகுபயன்

முடுககத்தின் எண்ேதிபரப பின்வருேோறு குறிபபி்ைோம்.

aR = a v rt

2 2 2

+ 

 



 

இந்�த் த�ோகுபயன் முடுககம், ஆரதவக்ரு்ன் θ ககோணத்ர� ஏறபடுத்துவர� ப்ம் (2.53) கோட்டுகிறது. கேலும் ககோணம் θ ரவ பின்வருேோறு குறிபபி்ைோம். tanθ =

a v

t 2 r( )

ஆகும்

எடுத்துககோட்டு 2.40 துகத்ளோன்று 10 m ஆரமுர்ய வட்்பபோர�யில் சுறறுகிறது. அ�ன் கநரகககோட்டு கவகம் v t= 3 . இஙகு t விைோடியிலும் ேறறும் v ஆைது m s-1 லும் உள்ளது. (அ) t = 2 விைோடியில் துகளின் ரேயகநோககு

முடுககம் ேறறும் த�ோடுககோட்டு முடுககம் ஆகியவறரறக கோண்க.

(ஆ) த�ோகுபயன்தவக்ர, ஆரதவக்ரு்ன் ஏறபடுத்தும் ககோணத்ர�க கோண்க.

தீரவு t = 2 விைோடியில் துகளின் கவகம்

v t m s= = −3 6 1

t = 2 விைோடியில் துகளின் ரேய கநோககு முடுககம்

a v r

m sc = = ( )

= − 2 2

26 10

3 6.

த�ோடுககோட்டு முடுககம் a dv dt

m st = = −3 2

ஆர தவக்ருககும், த�ோகுபயன் தவக்ருககும் உள்ள ககோணம்

tan .

.θ = = = a a

3 3 6

0 833

θ = −tan 1(0.833) = 0.69 கரடியன் டி்கிாியில் θ = × ° ≈ °0 69 57 27 40. .

இரவு ்பகல் இரு நவக்ளகளிலும் சூரியகனப க்போறுத்து �ோம் ஒநர நவகத்தில் கசல்கிந்றோமோ?

புவி, சூரியரை நீளவட்்பபோர�யில் சுறறி வருகிறது. சூரியரைப தபோறுத்து புவிரேயத்தின் திர்சகவகத்ர� vc என்க. இந்� vc சூரியரைப தபோறுத்து புவி நீளவட்்பபோர�யில் சுறறி வருவ�ோல் ஏறபடுகிறது. அக� கநரத்தில் புவி �ன் அச்சிரைப தபோறுத்து �றசுழறசி இயககத்ர� கேறதகோளகிறது. புவியின் கேறபரபபில் உள்ள அரைத்துப தபோருட்களும் புவியின் �றசுழறசி அச்சிரை ரேயேோகக தகோண்டு vs( ) என்ற திர்சகவகத்தில் வட்்பபோர� இயககத்ர� கேறதகோளகின்றை. இரவு கநரஙகளில் vc

ேறறும் vs( ) இரண்டும் ஒகர திர்சயில் அல்ைது ஒன்றுகதகோன்று குறுஙககோண கவறுபோட்டு திர்சயில் த்சயல்படுகின்றை. எைகவ, இரவில் சூரியரைபதபோருத்து புவியின் கேறபரபபில் உள்ள தபோருளின் திர்சகவகம். _v v vc s_= + ஆகும். ஆைோல் பகல் கநரஙகளில் vc ேறறும் _vs_( ) இரண்டும் ஒன்றுகதகோன்று எதிரதிர்சயில் அல்ைது விரிககோண கவறுபோட்டு திர்சயில் த்சயல்படுகின்றை. எைகவ, பகறதபோழுதில் சூரியரைப தபோறுத்து புவிபபரபபில் உள்ள தபோருட்களின் திர்சகவகம் _v v v c s_= − ஆகும். இதிலிருந்து புவியின் பரபபில் எந்� ஒரு தபோருளும் பகரைவி் இரவு கநரத்தில் சூரியரைப தபோறுத்து கவகேோகச் த்சல்லும் எை அறியைோம். இது புவியின் சுழறசியோல் ஏறபடுகிறது. இ�ரை பின்வரும் ப்த்தின் மூைம் அறியைோம்.

எ©Ú« க கோ Ø© 2.4010 m«கதNோå² ஆர¯ர்ய வØ்பபோர�àvt= 3¦ற²xற«. அ�å கநரகககோØ© கவகÝ m s. இங¤ t ைோ }³Ý ேற²Ý v ஆை « ³Ý உளN«.(அ) t = 2 ைோ }à «கå ரேயகநோக¤ -1¯©ககÝ ேற²Ý த�ோ©ககோØ© ¯©ககÝ ஆxயவறரறக கோÙக.(ஆ) த�ோ¤பயåதவக்ர, ஆரதவக்±்å ஏறப©Ú«Ý ககோணÚர�க கோÙக.ர¶t = 2 ைோ }à «கå vt==36 கவm s கÝ()}à v «கå 6 ரேய −1 கநோக¤ ¯©ககÝ== = 36. m sr 102 a 2 ==dvdt 3 m − sc கÝ ்±க¤Ý, த�ோ¤பயå தவக்±க¤Ý −2ோணÝ a t 3tanθ == = 0.83a 36.θ = tan (0.833) = 0.69 θ =×06 t.. 95 72 74°≈ 0கர° }யåc−

| t = 2 ைோ |

| a |

| ᾊܛிாியி᾿ |

வட்ட இயககத்தின் இயககச் சமன்்போடுகள் ேோறோ� ககோண முடுககத்து்ன் α, தபோருத்ளோன்று வட்் இயககத்ர� கேறதகோண்்ோல் கநரகககோட்டு இயககத்ர�ப கபோன்கற வட்் இயககத்திறகும் இயககச் ்சேன்போடுகர்ள �ருவிககைோம்.

வட்் இயககத்திலுள்ள துகத்ளோன்றின் ஆரம்பகககோணத் திர்சகவகம் ω0 என்க. t கோைத்திறகுப பின்பு அத்துகள அர்யும் இறுதி ககோணத்திர்சகவகம் ω . இககோை இர்தவளியில் துகள அர்ந்� ககோண இ்பதபயரச்சி θ என்க. ககோணத்திர்ச கவகத்தில் ேோறறம் உள்ள�ோல் துகள α என்ற ககோண முடுககத்ர�ப தபறறிருககும்.

பிரிவு (2.4.3) இல் கநரகககோட்டு இயககத்திறகு உள்ளர�ப கபோன்கற வட்் இயககத்திறகும் இயககச் ்சேன்போடுகர்ள எழு�ைோம்.

கநரகககோட்டு இ்பதபயரச்சி (s) ஐ ககோண இ்பதபயரச்சி θ எைவும்

திர்சகவகம் (v) ஐ ககோணத்திர்சகவகம் (ω ) எைவும்

முடுககம் (a) ரவ, ககோண முடுககம் (α ) எைவும் ஆரம்ப திர்சகவகம் (u) ஐ

ஆரம்பகககோணத்திர்சகவகம் (ω0) எைவும் ேோறறவும்.

இம்ேரபிரை பின்பறறிய பின்பு கிர்ககும் வட்் இயககத்தின் இயககச் ்சேன்போடுகள பின்வரும் அட்்வரணயில் �ரபபட்டுள்ளை.

கநரகககோட்டு இயககத்தின் இயககச் ்சேன்போடுகள

வட்் இயககத்தின் இயககச் ்சேன்போடுகள

v u at= + ω ω α= +0 t

s ut at= + 1 2

2 θ ω α= +0 21

2 t t

_v u as_2 2 2= + 2 0 2 2

s v u t

= +( ) 2

θ ω ω

= +( )0

2 t

கநரகககோட்டு இயககத்தின் இயககச்்சேன்போடுகள ேோறோ� கநரகககோட்டு முடுககம்

உர்ய தபோருட்களுககு ேட்டுகே தபோருந்தும். அக� கபோன்று ககோண இயககத்தின் இயககச் ்சேன்போடுகள ேோறோ� ககோண முடுககம் உர்ய தபோருட்களுககு ேட்டுகே பயன்படுத்� முடியும்.

குறிபபு

எடுத்துககோட்டு 2.41 வட்்பபோர� இயககத்திலுள்ள துகள ஒன்றின் ககோண முடுககம் α = −0 2 2. rad s . (அ) இத்துகள 5 விைோடிகளுககுப பின்ைர

அர்ந்� ககோண இ்பதபயரச்சி ேறறும் (ஆ) கநரம் t = 5 விைோடியில் இத்துகளின்

ககோணத்திர்ச கவகம் ஆகியவறரறக கோண்க. (துகளின் ஆரம்பகககோணத்திர்சகவகம் சுழி எைக கருதுக).

தீரவு துகளின் ஆரம்பக ககோணத்திர்சகவகம் (ω0 0= ) துகளின் ககோண இ்பதபயரச்சி

θ ω α= +0 21

2 t t

1 2

2 10 25 2 51 . rad

டிகிரியில் θ= × °≈ °2 5 57 27 143. .

எ©Ú« க கோ Ø© 2.41α = 02. radsவØ்பபோர� இயககÚ³ளN «கள ஒåå ககோண ¯©ககÝ .(அ) இÚ«கள 5 ைோ}க´க¤ப åைர−2அர்Û� ககோண இ்பதபயரÖz ேற²Ý(ஆ) கநரÝ t = 5 ைோ}à இÚ«கåககோணÚர @ கவகÝ ஆxயவறர றக கோÙக.(«கå ஆரÝபகககோணÚர@கவ கÝ ¦எைக க±«க).ர¶ω = 0«கå ஆரÝபக ககோணÚர@கவ கÝ ( )«கå ககோண இ்பதபயரÖz1θω=+ tt α 02121 02 52 .5 rad220θ =×25.. 57 27°≈ 143°1 }xà

்போடச்சுருககம்

„ குறிபபோயத்ர�ப தபோருத்து ஓயவு நிரை அல்ைது

„ இயறபியலில் ேரபுபபடி தபோருளின் இயககத்திர த�ோகுபபு முரறரயப பின்பறறுகிகறோம்.

„ தபோருளின் இயககத்திரை வி்ளகக புளளிநிரற

„ தவக்ர என்பது எண்ேதிபபு ேறறும் திர்ச தக எண்ேதிபரப ேட்டும் தபறறிருககும்.

„ தவக்ரின் நீ்ளம் அ�ன் எண்ேதிபபிரைக குறிக

„ கோரட்டீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபில் ஓரைகு தவ

„ தவக்ரகளின் முகககோணவிதி அல்ைது இர கூடு�ரைக கோண இயலும்.

„ கோரடீசியன் ஆய அச்சுத் த�ோகுபபிரைப பயன்ப கூறுக்ளோகப பகுகக முடியும்.

„ ஒரு தவக்ரின் எண்ேதிபபிரை பின்வருேோறு

„ இரண்டு தவக்ரகள ்சேதேனில், அவறறின் �னி

„ கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபிரைப தபோறுத்து எை வழஙகபபடும்.

„ தவக்ரகளின், ஸககைர தபருககரை  

A B A. = A

ேறறும் B

ககு இர்பபட்் ககோணம்)

„ _தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககரை A B_

தவக்ர n^ இன் திர்சரய, வைதுரக தபருவிர பயன்படுத்தி அறியைோம்.

„ இயறபியலில் பல்கவறு கருத்துககர்ள ஸககை வி்ளகக முடியும்.

„ துகள க்ந்� தேோத்�ப போர�யின் நீ்ளம் க்ந்� ேறறும் ஆரம்ப நிரைகளுககு இர்கய உள்ள க்ந்� த�ோரைவு ஒரு ஸககைர அ்ளவோகும் ேறறு

„ ்சரோ்சரித்திர்ச கவகம்

v r t

= ∆ ∆

எைவும் உ்

வரரயறுககபபடுகிறது.

„ உந்�ம் 

_p mv_= எை வரரயறுககபபடுகிறது.

இயகக நிரைரய வரரயறுகக முடியும்.

ை வி்ளகக வைகரக கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்

க கருத்து பயன்படுகிறது.

ோண்் ஒரு அ்ளவோகும். ஆைோல் ஸககைர என்பது

கும்.

க்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோக இருககும்.

ணகர விதிரயப பயன்படுத்தி தவக்ரகளின்

டுத்தி எந்� ஒரு தவக்ரரயும் அவறறின் மூன்று

எழு�ைோம். 

A = A A A Ax y z= + +2 2 2

த்�னிக கூறுகளும் ஒன்றுகதகோன்று ்சேேோகும்.

_துகள ஒன்றின் நிரைதவக்ர ˆˆˆr xi yj zk_

B cosθ எை வரரயறுககைோம். (இஙகு θ என்பது

si ˆn_AB n_ எை வரரயறுககைோம். ஓரைகு ல் விதி அல்ைது வைது ரக திருகு விதியிரைப

ர ேறறும் தவக்ர தபருககல்கர்ள பயன்படுத்தி

த�ோரைவு எைவும், அத்துகளின் இறுதி நிரை கவறுபோடு இ்பதபயரச்சி எைவும் அரழககபபடும். ம் இ்பதபயரச்சி ஒரு தவக்ர அ்ளவோகும்.

ைடித்திர்ச கவகம்

v r t

dr dtt

= = →∆

∆ ∆

lim 0

எைவும்

்போடச்சுருககம் (க்தோடரச்சி)

„ ்சரோ்சரி முடுககம்    

a v v t t

v tavg =

− −

=2 1

2 1

∆ ∆

எைவும்

வரரயறுககபபடுகிறது.

„ சீரோக முடுககம் தபறற துகளின் இயககத்ர�, த்சயய இயலும்.

„ எறிதபோருள இயககத்தில், சீரோக முடுககம் தபறற

„ எறிதபோருள இயககத்தில் துகள ஒன்றின் தபருே முடுககத்திறகு எதிரவிகி�த் த�ோ்ரபுர்யது.

„ துகத்ளோன்றின் ககோணஇ்பதபயரச்சிரய θ 



ω θ =

d dt

எைவும் வரரயறுககைோம்.

„ கநரகககோட்டுத் திர்சகவகத்திறகும், ககோணத் ஆகும்.

„ ரேய கநோககு முடுககம் a v rc =

- அல்ைது ω-

முடுககம் எபகபோதும் வட்் ரேயத்ர� கநோககிக

, உ்ைடி முடுககம் a = ∆

∆ ∆_t_

_v t_→

lim 0

= dv



எைவும்

இயககச் ்சேன்போடுகர்ளக தகோண்டு பகுபபோயவு

துகளின் போர� ஒரு பரவர்ளயேோகும்.

உயரம் ேறறும் கிர்த்�்ள தநடுககம், புவியீரபபு

= s r

என்றும் அ�ன் ககோணத்திர்சகவகத்ர�

திர்ச கவகத்திறகும் உள்ள த�ோ்ரபு   _v r_= ×ω

2r எை வரரயறுககைோம். கேலும் ரேய கநோககு

ய த்சயல்படும்.

கருத்து வ

Range(m)

Time(s) Height(m)

கர்படம்

|——|——|——|

மதிபபீடு

I. சரியோன விகடகய ந்தரநக்தடுத்து எழுதுக. 1. பின்வரும் எந்� கோரடீசியன் ஆய

அச்சுத்த�ோகுபபு இயறபியலில் பயன்படுத்�பபடுவதில்ரை.

(a) (b)

zz x

x y

y (c) (d)

2. பின்வருவைவறறுள எது ஓரைகு தவக்ர?

(a) ˆî _j_ (b) ˆ

2 i

ˆˆ

2 _i j_

3. பின்வருவைவறறுள எந்� இயறபியல் அ்ளவு ஸககைரோல் குறிபபி் இயைோது? (a) நிரற (b) நீ்ளம் (c) உந்�ம் (d) முடுககத்தின் எண்ேதிபபு

4. m1 ேறறும் m2 நிரற தகோண்் இரண்டு தபோருட்கள h1 ேறறும் h2 உயரத்திலிருந்து விழுகின்றை. அரவ �ரரரய அர்யும்கபோது அவறறின் உந்�ஙகளின் எண்ேதிபபுகளின் விகி�ம் என்ை?

(a) h h

(b) m h m h

1 1

2 2

h h

(d) m m

5. துகத்ளோன்று எதிரகுறி திர்சகவகத்ர�யும், எதிரகுறி முடுககத்ர�யும் தபறறுள்ளது எனில், அத்துகளின் கவகம் (a) அதிகரிககும் (b) குரறயும் (c) ேோறோது (d) சுழி

6. துகத்ளோன்றின் திர்சகவகம் 2ˆ2 9ˆ_v i t j k_

எனில், t = 0.5 விைோடியில் அத்துகளின் முடுககத்தின் எண்ேதிபபு யோது? (a) 1m s–2 (b) 2 m s–2

7. தபோருத்ளோன்று கட்டி்த்தின் உச்சியிலிருந்து கீகழ விழுகிறது, அபதபோருள 4 விைோடியில் �ரரரய அர்ந்�ோல் கட்டி்த்தின் உயரதேன்ை? (கோறறுத்�ர்ரயப புறககணிகக) (a) 77.3 m (b) 78.4 m (c) 80.5 m (d) 79.2 m

8. v என்ற திர்சகவகத்து்ன் பந்து ஒன்று த்சஙகுத்�ோக கேல்கநோககி எறியபபடுகிறது அது t கநரத்தில் �ரரரய அர்கிறது. பின்வரும் எந்� v – t வரரப்ம் இவவியககத்திரை ்சரியோக வி்ளஙகுகிறது.

(NSEP 2000-2001) v v

t t

(a) (b)

v v

t t

(a) (b) v v

t t

v v

t t

z

y

x
z

y

|——|

v v
t
t

9. ்சேஉயரத்தில் உள்ள இரு தபோருட்களில் ஒன்று �ோைோக கீழ்கநோககி விழுகிறது. ே ற த ற ோ ன் று கி ர ் த் � ்ள த் தி ல் எறியபபடுகிறது. ‘t’ விைோடியில் அரவ க்ந்� த்சஙகுத்து த�ோரைவுகளின் விகி�ம் என்ை? (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 0.5

10. குறிபபிட்் உயரத்திலிருந்து பந்து ஒன்று கீகழ விழுகிறது. பின்வருவைவறறுள எபப்ம் பந்தின் இயககத்திரைச் ்சரியோக வி்ளககுகிறது?

x (a) (b)

11. xy �்ளம் ஒன்றில் துகத்ளோன்று கடிகோரமுள சுழலும் திர்சயில் சீரோை வட்் இயககத்ர� கேறதகோளகிறது. அத்துகளின் ககோணத் திர்சகவகத்தின் திர்ச (a) +y திர்சயில் (b) +z திர்சயில் (c) –z திர்சயில் (d) –x திர்சயில்

12. துகத்ளோன்று சீரோை வட்் இயககத்ர� கேறதகோளகிறது. இ�றகோை ்சரியோை கூறரற க�ரவு த்சயக.

(NEET 2016) (a) துகளின் திர்சகவகம் ேறறும் கவகம்

ேோறிலி (b) துகளின் முடுககம் ேறறும் கவகம்

ேோறிலி (c) துகளின் திர்சகவகம் ேறறும் முடுககம்

ேோறிலி (d) துகளின் கவகம் ேறறும் முடுககத்தின்

எண்ேதிபபு ேோறிலி

13. தபோருத்ளோன்று u ஆரம்பத்திர்ச கவகத்து்ன் �ரரயிலிருந்து த்சஙகுத்�ோக கேல் கநோககி எறியபபடுகிறது. அபதபோருள மீண்டும் �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோளளும் கநரம்

(a) u g

2 (b) u

(d) 2_u g_

14. கிர்த்�்ளத்ர�ப தபோருத்து 30° ேறறும் 60° ககோணத்தில் இரண்டு தபோருட்கள எறியபபடுகின்றை. அவறறின் கிர்த்�்ள தநடுககம் முரறகய R

300 ேறறும் R 600

எைககருதிைோல், பின்வருவைவறறுள தபோருத்�ேோை இரணரய க�ரவு த்சயக. (a) R

300 = R 600

(b) R 300 = 4

600_R_

(c)R 300 =

R 600

2 (d) R

300 =2 R 600

15. ககோள ஒன்றில், 50 m உயரத்திலிருந்து தபோருத்ளோன்று கீகழ விழுகிறது. அது �ரரரய அர்ய எடுத்துகதகோளளும் கநரம் 2 விைோடி எனில், ககோளின் ஈரபபு முடுககத்தின் ேதிபபு என்ை ? (a) g = 20 m s–2 (b) g = 25 m s–2

விகடகள் 1) d 2) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) b 8) c 9) a 10) a 11) c 12) d 13) d 14) a 15) b

II. சிறு வினோககள்: 1. கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபு என்றோல்

என்ை? 2. தவக்ர – வரரயறு. எடுத்துககோட்டுகள

�ருக

3. ஸககைர – வரரயறு. எடுத்துககோட்டுகள �ருக

4. இரண்டு தவக்ரகளின் ஸககைர தபருககல் பறறி சிறுகுறிபபு வரரக.

5. இரண்டு தவக்ரகளின் தவக்ர தபருககல் பறறி சிறுகுறிபபு வரரக.

6. இரண்டு தவக்ரகள ஒன்றுகதகோன்று த்சஙகுத்�ோக உள்ளைவோ எை எவவோறு கண்்றிவோய?

7. இ்பதபயரச்சி ேறறும் க்ந்�த் த�ோரைரவ வரரயறு.

8. திர்சகவகம் ேறறும் கவகத்ர� வரரயறு. 9. முடுககம் - வரரயறு. 10. திர்சகவகம் ேறறும் ்சரோ்சரித் திர்சகவகம்

இவறறிககிர்கயயோை கவறுபோடுகள யோரவ?

11. ஒரு கரடியன் - வரரயறு. 12. ககோண இ்பதபயரச்சி ேறறும்

ககோணத்திர்ச கவகம் இவறரற வரரயறு.

13. சீரறற வட்் இயககம் என்றோல் என்ை? 14. ககோண இயககத்தின் இயககச்

்சேன்போடுகர்ள எழுதுக. 15. சீரறற வட்் இயககத்தில் த�ோகுபயன்

முடுககம் ஆர தவக்ரு்ன் ஏறபடுத்தும் ககோணத்திறகோை ககோரவரய எழுதுக.

III. க�டு வினோககள் 1. தவக்ர கூடு�லின் முகககோண விதிரய

விரிவோக வி்ளககவும். 2. ஸககைோர ேறறும் தவக்ர தபருககல்களின்

பண்புகர்ள விவரி. 3. ேோறோ� முடுககம் தபறற தபோருளின் இயககச்

்சேன்போடுகர்ள வருவிககவும். 4. பின்வரும் தபோருட்களின் இயககச்

்சேன்போடுகர்ள வருவிககவும் (அ) த்சஙகுத்�ோக கீகழ விழும் தபோருள (ஆ) த்சஙகுத்�ோக எறியபபட்் தபோருள.

5. கிர்த்�்ளத்து்ன் θ ககோணம் ்சோயவோக எறியபபட்் எறிதபோருள ஒன்றின்

கிர்த்�்ள தநடுககம் ேறறும் தபருே உயரம் ஆகியவறறிறகோை ்சேன்போடுகர்ளப தபறுக.

6. ரேய கநோககு முடுககத்திறகோை ககோரவரயப தபறுக.

7. சீரறற வட்் இயககத்தின் த�ோகுபயன் முடுககத்திறகோை ககோரவரயப தபறுக.

IV. ்பயிறசிக கணககுகள் 1. துகத்ளோன்றின் நிரை தவக்ரின் நீ்ளம்

1m. அது x அச்சு்ன் 30° ககோணத்தில் உள்ளது எனில், நிரைதவக்ரின் x ேறறும் y கூறுகளின் நீ்ளஙகர்ளக கோண்க.

(விர்: l lx y= = 3

2 0 5, . )

2. துகத்ளோன்று நிரை 1 ˆˆ3 4_r i j_

லிருந்து

2 ˆˆ 2_r i j_

ககு இ்ம்தபயரகிறது எனில், அத்துகளின் இ்பதபயரச்சி தவக்ரரக ∆ _r_( ) கோண்க. கேலும் இரு பரிேோண

கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்த�ோகுபபில் r1, _r_2

ேறறும் r இன் நிரையிரை வரரந்து கோட்்வும்.

(விர்: ˆˆ2 2_r i j)_

3. துகள ஒன்று 5 விைோடிகளில் நிரைதவக்ர 1

ˆˆ5 6_r i j_ லிருந்து நிரைதவக்ர

2 ˆˆ2 3_r i j_

ககு ேோறுகிறது அத்துகளின் ்சரோ்சரி திர்சகவகம் என்ை?

(விர்: 3 ˆˆ

5_avgv i j )_

4. தகோடுககபபட்் தவக்ர r ˆ3ˆ 2_i j_ இவதவக்ரர ஓரைகு தவக்ரோக ேோறறுக.

(விர்:

ˆˆ

ˆ 3 2

i j r )

5. தகோடுககபபட்் இவவிரண்டு தவக்ரகளின், தவக்ர தபருககலின் த�ோகுபயன் தவக்ரரக கோண்க.

ˆ4 2 ˆˆ_A i j k_

ேறறும் ˆ5 3 4ˆ ˆ_B i j k_

(விர்: ˆˆ ˆ5 21 22_i j k_ )

6. தபோருத்ளோன்ரற கிர்த்�்ளத்து்ன் எகககோணத்தில் எறிந்�ோல், அபதபோருளின் கிர்த்�்ள தநடுககம் தபருே உயரத்ர�ப கபோன்று நோன்கு ே்ஙகோக இருககும்?

(விர்: θ = 45°)

7. பின்வரும் திர்சகவகம்–கநரம் வரரப்ஙகளிைோல் குறிபபி்பபடும் துகளின் இயகக வரகயிரைக கோண்க.

(விர்: அ) a constant= ேோறிலி, ஆ) v constant= ேோறிலி, இ) _a constant_= ேோறிலி ஆைோல் மு�ல் வரரப்த்தில் உள்ளர�வி் அதிகம், ஈ) a constant= ேோறி

8. கநரகுறி x அச்சுத்திர்சயில் இயஙகும் துகத்ளோன்றின் திர்சகவகம் – கநரம் வரரப்ம் கோட்்பபட்டுள்ளது. 0 விலிருந்து 7 விைோடி வரர உள்ள கோை இர்தவளியில் அத்துகளின் இயககத்திரைப பகுபபோயவு த்சயக. கேலும் 0 மு�ல் 2 விைோடிவரர துகள அர்ந்� இ்பதபயரச்சி ேறறும் அத்துகள க்ந்� த�ோரைவு ஆகியவறரறக கணககிடுக.

1 2 3 4 5 6 7 t(s)

V(m s-1)

(விர்: க்ந்� த�ோரைவு = 1.75 m, இ்பதபயரச்சி = –1.25 m)

9. தபோருத்ளோன்று கிர்த்�்ளத்து்ன் θ ககோணத்தில் எறியபபடுகின்றது. இந்நிகழ்விரை அடிபபர்யோகக தகோண்டு கீழ்ககண்்வறரறப தபோருத்துக. vx – குரறயும் ேறறும்

அதிகரிககும்

vy – ேோறோது

முடுககம் – ேோறறேர்யும்

நிரைதவக்ர – எபகபோதும் கீழ்கநோககிச் த்சயல்படும்.

(விர்)

vx – ேோறோது vy – குரறயும் ேறறும்

அதிகரிககும் முடுககம் – எபகபோதும் கீழ்கநோககிச்

த்சயல்படும் நிரைதவக்ர – ேோறறேர்யும்.

10. �ரரயிலுள்ள நீரத்த�ளிபபோன் ஒன்று அ�ரைச்சுறறியுள்ள பகுதி முழுவதும் நீரிரைத் த�ளிககிறது. நீரத்த�ளிபபோனிலிருந்து தவளிகயறும் நீரின் கவகம் v எனில் நீர த�ளிககபபட்் பரபபிரைக கோண்க.

(விர்: பரபபு = 4

v g )

11. பின்வரும் அட்்வரண தவவகவறு ககோளகளில் எறியபபட்் எறிதபோருள அர்ந்� கிர்த்�்ள தநடுககத்ர�க கோட்டுகிறது. அரைத்து தபோருட்களும் ஒகர கிர்த்�்ள ககோணத்து்னும் ்சே ஆரம்பத்திர்சகவகத்து்னும் எறியபபட்டுள்ளை. இவவிவரஙகளிலிருந்து மிக அதிக ேறறும் மிகக குரறந்� ஈரபபு முடுககமுர்ய ககோளகர்ளக கண்டுபிடி. கேலும் ககோளகர்ள அவறறின் ஈரபபு முடுககத்தின் (g) அடிபபர்யில் ஏறுவரிர்சயில் அரேககவும்.

|——|——|——|

|——|——|

நகோள் கிகடத்்த்ள வீச்சு வியோழன் 50 m

புவி 75 m

த்சவவோய 90 m

பு�ன் 95 m

(விர்: வியோழனின் ஈரபபு முடுககம் மிக அதிகம் பு�னின் ஈரபபு முடுககம் மிக குரறவு)

12. A ேறறும் B தவக்ரகளின் த�ோகுபயன் தவக்ர, A தவக்ருககு த்சஙகுத்�ோக உள்ளது. கேலும் த�ோகுபயன் தவக்ரின் எண்ேதிபபு B தவக்ரின் எண்ேதிபபில் போதியோக உள்ளது எனில், A ேறறும் B தவக்ரகளுககு இர்பபட்் ககோணத்தின் ேதிபபு என்ை?

a) 30° b) 45° c) 150° d) 120°

(விர்: θ = °150 )

13. தகோடுககபபட்் தவக்ரகளின் கூறுகர்ள ஒபபிடுக

a) ˆ ˆ ˆ_Tj mgj maj_

b)    

T F A B+ = +

c)    

_T F A B_− = −

d) ˆ ˆ ˆ_Tj mgj maj_

(விர்: (a) T mg ma_− = (b) T F A Bx x x x+ = + ; Ty + Fy = Ay + By;_ Tz + Fz = Az + Bz_)_

14. 3ˆˆ5_A i j_

, 6ˆˆ4_B i j_

, தவக்ரகர்ள பககஙக்ளோகக தகோண்் முகககோணத்தின் பரபபிரைக கணககிடுக.

(விர்: பரபபு = 21 பரபபு அைகுகள)

15. ஒரு முழுசுறறிரை நிரறவு த்சயய புவி எடுத்துகதகோளளும் கநரம் 24 ேணிகநரேோகும். இந்நிரையில் புவி ஒரு ேணி கநரத்தில் அர்ந்� ககோண

இ்பதபயரச்சிரயக கணககிடு. விர்ரய கரடியன் ேறறும் டிகிரி இரண்டிலும் �ருக.

(விர்: θ π

= °15 12

or அல்ைது θ π = °15

12 or )

16. எறிதபோருத்ளோன்று 30° எறிககோணத்தில் எறியபபடுகிறது. அ�ன் ஆரம்பத்திர்ச கவகம் 5 m s-1 எனில் எறிதபோருள அர்ந்� தபருே உயரம் ேறறும் கிர்த்�்ள தநடுககத்ர�க கணககிடுக.

(விர்: உயரம் = 0.318 m தநடுககம் = 2.21 m

17. ஒரு கோல்பந்துவீரர 20 m s-1 திர்சகவகத்தில் கிர்த்�்ளத்து்ன் 30° ககோணத்தில் பந்து ஒன்றிரை உர�ககிறோர. பந்தின் இயககம் ப்த்தில் கோட்்பபட்டுள்ளது. இைககுக கம்பஙகள (goal post) அவரி்மிருந்து 40 m த�ோரைவில் உள்ளை, பந்து இைககிரை அர்யுேோ?

x 30

(விர்: பந்து இைககிரை அர்யோது. ஏதைனில் கிர்த்�்ள தநடுககம் = 35.3 m)

18. 100 m உயரம் உள்ள கட்டி்ம் ஒன்றின் உச்சியிலிருந்து, 10 m s-1

திர்சகவகத்து்ன் எறிதபோருத்ளோன்று கிர்த்�்ளத்தில் வீசி எறியபபடுகிறது. எறிதபோருள அர்ந்� கிர்த்�்ள தநடுககம் என்ை?

(விர்: R = 45 m)

19. தபோருத்ளோன்று 12

rad s–1 என்ற ககோண கவகத்து்ன் சீரோை வட்் இயககத்திரை கேறதகோளகிறது. t = 0 விைோடியில் அபதபோருள A புளளியிலிருந்து வட்் இயககத்திரை கேறதகோளகிறது எைக கருதுக. 4 விைோடிகளுககுப பிறகு அபதபோருள அர்ந்� ககோண இ்பதபயரச்சி என்ை?

(விர்: 60°)

20. x அச்சிரை கிழககுத் திர்சயோகவும் y அச்சிரை வ்ககுத்திர்சயோகவும் கேலும் z அச்சிரை த்சஙகுத்�ோை கேல் கநோககிய திர்சயோகவும் கருதி கீழ்ககண்்வறரற தவக்ர முரறயில் குறிபபிடுக.

a) 5 மீட்்ர வ் கிழககு ேறறும் 2 மீட்்ர கேல் கநோககியத்திர்சயில்

b) 4 மீட்்ர த�ன்கிழககு ேறறும் 3 மீட்்ர கேல் கநோககியத்திர்சயில்

c) 2 மீட்்ர வ்கேறகு ேறறும் 4 மீட்்ர கேல்கநோககியத் திர்சயில்

(விர்: (a)

2ˆ5

î j k (b)

ˆ 3ˆ4

î j k

நமறநகோள் நூல்கள்

1. Charles Kittel, Walter Knight, Malvin Ru Mec_h_anics, 2nd edition, Mc Graw Hill Pvt

2. A.P.French, Newtonian Mec_h_anics, Viva-

3. SomnathDatta, Mec_h_anics, Pearson Publ

4. H.C.Verma, Concepts of p_h_ysics volume 1

5. Serway and Jewett, P_h_ysics for scientist an Coole publishers, Eighth edition

6. Halliday, Resnick & Walker, Fundamenta

21. நிைவு, புவிரய க�ோரோயேோக 27 நோட்களுககு ஒரு முரற முழு சுறறு சுறறி வருகிறது. இந்நிரையில் நிைவு ஒரு நோளில் பூமிரய சுறறும் ககோணத்தின் ேதிபபு என்ை?

(விர்: 13°3ʹ)

22. m நிரறயுர்ய தபோருத்ளோன்றின் ககோண முடுககம் α = −0 2 2. .rad s 3 விைோடிகளில் அபதபோருள எவவ்ளவு ககோண இ்பதபயரச்சிரய அர்யும்? (தபோருள சுழி திர்ச கவகத்து்ன் சுழி ககோணத்தில் �ன்னுர்ய இயககத்ர� துவககுகிறது எைக கருதுக).

(விர்: 0.9 rad (அல்ைது) 51°)

derman, Carl Helmholtz and Moyer, Ltd,

Norton Student edition

ication

and Volume 2, Bharati Bhawan Publishers

_d Engineers wit_h modern p_h_ysics, Brook/

ls of P_h_ysics, Wiley Publishers, 10th edition

எறிக்போருள்

குறி ்போரத்து எறி இந்�ச் த்சயல்போட்டின் மூைம் எறிதபோருளின்

திர்சகவகம், எறிககோணம் ேறறும் கிர்த்�்ள தநடுககம் ஆகியவறறிறகு இர்கயயோை த�ோ்ரபிரை அறியைோம்.

படிகள • கீழ்ககோணும் உரலி / விரரவுக குறியீட்ர்ப பயன்படுத்தி Ph

த்சல்ைவும். ‘Intro’ என்பர�ச் த்சோடுககிச் த்சயல்போட்ர்த் துவ • சிவபபு நிறத்தில் இருககும் சுடும் தபோத்�ோரை (shoot button) அ

அ�ன் இைகரக அர்ய கவண்டும். • உருர்ளயின் (cylinder) உயரத்ர� ேோறற ‘up & down’ என்பர

குரறகக இ்பபுற வைபபுற தபோத்�ோன்கர்ள அழுத்�வும். • இைககுப தபட்டிரயச் (target box) ்சரி த்சயது இைகரக அர்

பீரஙகியிலிருந்து தவளிவரும் பந்தின் தநடுககத்ர� மீட்்ர நோ முடுககத்ர�யும் த�ரிந்துதகோள்ள வைபபகக கேல்பகுதியில் உ

உரலி: https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion projectile-motion_en.html *ப்ஙகள அர்யோ்ளத்திறகு ேட்டும். * Flash Player or Java Script க�ரவதயனில் அனுேதிகக.

இகணயச் கசயல்்போடு

படி 1

படி 3

இயககம்

ET – projectile-motion என்னும் இரணயப பககத்திறகுச் ஙகவும்.

ழுத்�வும். பீரஙகியிலிருந்து தவளிவரும் பந்�ோைது

�ச் த்சோடுககவும். பந்தின் கவகத்ர�க கூட்் (அ)

யும் கநரம், தநடுககம் ேறறும் உயரத்ர� அ்ளககைோம். ்ோரவப பயன்படுத்தி அ்ளககைோம். திர்சகவகத்ர�யும் ள்ள தபட்டிகர்ளச் த்சோடுககவும்.

/latest/

படி 4

படி 2

அறிமுகம்

கவகடரின் எணமதிபபு

கவகடரின் வகககள்

கவகடரகளின் கூடு்தல்

கவகடரகளின் கழித்்தல்

கவகடர கூறுகள் (components of a vector)

கவகடர கூறுகளின் அடிப்பகடயில் கவகடரகளின் கூடு்தல்

ஒரு ஸநகலரோல் கவகடகரப க்பருககு்தல்

இரணடு கவகடரகளின் ஸநகலர க்பருககல் (புள்ளிப க்பருககல்)

இரணடு கவகடரகளின் கவகடர க்பருககல்

நிகல கவகடர (position vector)

கடந்த க்தோகலவு மறறும் இடபக்பயரச்சி

கோரடீசியன் ஆய அச்சுத்க்தோகுபபில் இடபக்பயரச்சி கவகடர

வகக நுணகணி்தம் (Differential Calculus)

க்தோகக நுணகணி்தம் (Integral Calculus)

ஒரு ்பரிமோண இயககம்

ஒரு ்பரிமோண மறறும் இரு்பரிமோண இயககத்தில் சோரபுத் திகசநவகம்

நுணகணி்த முக்றயில் சீரோன முடுககமகடந்த க்போருளின் இயககச் சமன்்போடுகள்

எறிக்போருளின் இயககம் (projectile motion)

கிகடத்்த்ளத்தில் எறியப்படும் எறிக்போருளின் இயககம்

கிகடத்்த்ளத்துடன் குறிபபிட்ட நகோணத்தில் எறியப்படும் எறிக்போருளின் இயககம்.

டிகிரி மறறும் நரடியன்கள் அறிமுகம்

Jerry's Event

jerry

Jerry's Event

jerry

Videos

References

Books